4 一次函数的应用
第1 课时 一次函数的应用(1)
教学目标
【知识与技能】
会用待定系数法求一次函数的表达式,并能运用一次函数知识解决简单的实际问题.
【过程与方法】
通过运用一次函数知识解决实际问题,进一步加深理解并掌握所学知识.
【情感、态度与价值观】
体会数形结合的思想,了解数学来源于生活,又服务于生活,培养学生的数学应用意识.
教学重难点
【重点】
用待定系数法求一次函数的表达式,并能解决简单的实际问题.
【难点】
灵活运用所学知识解决实际问题.
教学过程
一、复习引入
1.提问:(1)什么是一次函数?
(2)一次函数的图象是什么?
(3)一次函数的相关性质.
2.做一做.
(1)直线y=3x+1 经过点(1, ),与y 轴的交点是( , ),与x 轴的交点是( , ).
(2)点(-2,7)是否在直线y=-5x-3 上?
3.引入.
在前面学习一次函数时,我们根据函数关系式知道它的图象,知道图象上相应的点的坐
标满足关系式,那么反过来,我们是否能根据图象、点的坐标等信息确定函数关系式呢?这就是
我们今天要学习的内容——待定系数法求函数关系式.
二、讲授新课
师:下面我们来看几个例题.
【例1】在弹性限度内,弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.某弹簧不挂物
体时长14.5 cm,当所挂物体的质量为3 kg 时,弹簧长16 cm.写出y 与x 之间的关系式,并求当
所挂物体的质量为4 kg 时弹簧的长度.
【答案】设y=kx+b,根据题意,得
14.5=b,①
16=3k+b.②
将①代入②,得k=0.5,所以在弹性限度内,y=0.5x+14.5.当x=4 时,
y=0.5×4+14.5=16.5(cm).即物体的质量为4 kg 时,弹簧长度为16.5 cm.
师:在这个例题中,我们首先根据题意设出一次函数的表达式,再利用待定系数法将已知
数据代入表达式中,求得了一次函数的表达式,从而进一步解决了实际问题.
【例2】某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒)的关系如图所示.
(1)写出v 与t 之间的关系式;
(2)下滑3 秒时物体的速度是多少?
【答案】(1)设v=kt;∵点(2,5)在图象上,∴5=2k,k=2.5,∴v=2.5t
(2)当t=3 时,v=2.5×3=7.5 m/s.
师:大家思考一下,在上面的两个题中,有哪些步骤是相同的,你能否总结出求一次函数表
达式的步骤,求函数表达式的步骤有:
(1)设一次函数y=kx+b.
(2)根据已知条件列出有关方程.
(3)解方程.
(4)把求出的值代回到表达式中即可.
师:确定正比例函数的表达式需要几个条件?确定一次函数的表达式呢?
生:正比例函数需要1 个;一次函数需要2 个.
【例3】某种摩托车的油箱加满油后,油箱中的剩余油量y(L)与摩托车行驶路程x(km)之间
的关系如图所示.根据图象回答下列问题:
(1)油箱最多可储油多少升?
(2)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米?
(3)摩托车每行驶100 km 消耗多少升汽油?
(4)油箱中的剩余油量小于1 L 时,摩托车将自动报警.行驶多少千米后,摩托车将自动报
警?
【答案】观察图象,得
(1)当x=0 时,y=10.因此,油箱最多可储油10 L.
(2)当y=0 时,x=500.因此,一箱汽油可供摩托车行驶500 km.
(3)x 从0 增加到100 时,y 从10 减少到8,减少了2,因此摩托车每行驶100 km 消耗2 L 汽
油.
(4)当y=1 时,x=450.因此,行驶450 km 后,摩托车将自动报警.
师:请同学们思考教材P92 的“做一做”.
学生观察并思考.
生:(1)从图象中可以看出,当y=0 时,x=-2;(2)这个函数的表达式为y=x+2.
师:很好!那么你们知道方程0.5x+1=0 与一次函数y=0.5x+1 之间有什么联系吗?
学生思考并讨论.
教师总结:一般地,当一次函数y=kx+b 的函数值为0 时,相应的自变量的值就是方程
kx+b=0 的解.从图象上看,一次函数y=kx+b 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程kx+b=0 的
解.
三、课堂小结
师:通过本节课的学习,同学们有什么收获?与同伴交流一下.
学生发言,教师予以点评.
第2 课时 一次函数的应用(2)
教学目标
【知识与技能】
会应用一次函数表达式与图象之间的相互关系,处理一些较为复杂的问题,领会数形结
合的思想.
【过程与方法】
经历对实际问题建立数学模型的过程,体验数形结合的作用和一次函数模型的价值.
【情感、态度与价值观】
1.通过让学生经历用一次函数知识来建立实际问题的函数模型、解决实际问题的过程,
使它们感受到数学的用途和数学与生活的紧密联系.
2.让学生参与到教学活动中来,提高学习数学、应用数学的积极性.
教学重难点
【重点】
用一次函数知识解决实际问题.
【难点】
获取一次函数图象中的信息,领会数形结合的思想.
教学过程
一、共同探究,获取新知
问题1:某公司每月付给销售人员的工资有两种方案.
方案一:没有底薪,只拿销售提成;
方案二:底薪加销售提成.
(注:销售提成是销售每件商品得到的销售额中提取一定数量的费用).
设销售商品的数量x(件),销售人员的月工资y(元),如图所示,y1为方案一的函数图象,y2
为方案二的函数图象.从图中信息解答如下问题:
(1)求y1的函数关系式;
(2)求点A 的坐标,并说出A 点的实际意义;
(3)请问方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元?
分析:(1)因为该函数图象过点(0,0),(30,720),所以该函数是正比例函数,利用待定系数法即
可求解.
(2)利用(1)中表达式,即可得出A 点坐标.
(3)把图象上点的坐标代入,即可求出b 的值,从而求出答案.
【答案】(1)设y1的函数表达式为y=kx(x≥0).
∵y1经过点(30,720),
∴30k=720.∴k=24.
∴y1的函数表达式为y1=24x(x≥0).
(2)根据图象可知x=50,
把x=50 代入y1=24x 得:y1=24×50=1200,
∴A(50,1200)当销售量为50 件时两种方案工资相同,都是1200 元.
(3)设y2的函数表达式为y2=ax+b(x≥0),经过点(30,960),(50,1200)
∴,解得:,
∴b=600,即方案二中每月付给销售人员的底薪为600 元.
问题2:一家公司招聘销售员,给出以下两种薪金方案供求职人员选择,方案甲:每月的底
薪为1500 元,再加每月销售额的10%;方案乙:每月的底薪为750 元,再加每月销售额的20%,如
果你是应聘人员,你认为应该选择怎样的薪金方案?
【答案】设月薪y(元),月销售额为x(元).
方案甲:y=1500+x(x≥0)
方案乙:y=750+x(x≥0)
当y 甲=y 乙时,1500+x=750+x,解得x=7500.求得y 甲=y 乙=2250
即销售额为7500 元时,这两种方案所定的月薪相同.
在同一坐标系中画出两种方案中y 关于x 的函数图象.
由图象可知:当0≤x<7500,y 甲>y 乙,x>7500 时,y 甲<y 乙.
提问:说一说用图象的方法解决问题有哪些优点?
二、例题讲解
【例】 我边防局接到情报,近海外有一可疑船只A 正向公海方向行驶.边防局迅速派出
快艇B 追赶(图1).图2 中l1,l2分别表示两船相对于海岸的距离s(n mile)与追赶时间t(min)
之间的关系.
根据图象回答下列问题:
(1)哪条线表示B 到海岸的距离与追赶时间之间的关系?
(2)A,B 哪个速度快?
(3)15 min 内B 能否追上A?
(4)如果一直追下去,那么B 能否追上A?
(5)当A 逃到离海岸12n mile 的公海时,B 将无法对其进行检查.照此速度,B 能否在A 逃
入公海前将其拦截?
(6)l1与l2对应的两个一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2中,k1,k2的实际意义各是什么?可疑
船只A 与快艇B 的速度各是多少?
【答案】(1)当t=0 时,B 距海岸0 n mile,即s=0,故l1表示B 到海岸的距离与追赶时间之间
的关系.
(2)t 从0 增加到10 时,l2的纵坐标增加了2,而l1的纵坐标增加了5,即10 min,A 行驶了2n
mile,B 行驶了5n mile,所以B 的速度快.
(3)延长l1,l2(图3),可以看出,当t=15 时,l1上的对应点在l2上对应点的下方,这表明,15
min 时B 尚未追上A.
(4)如图3,l1,l2相交于点P.因此,如果一直追下去,那么B 一定能追上A.
(5)图3 中,l1与l2交点P 的纵坐标小于12,这说明,在A 逃入公海前,B 能够追上A.
(6)k1表示快艇B 的速度,k2表示可疑船只A 的速度.可疑船只A 的速度是0.2n mile/min,
快艇B 的速度是0.5n mile/min.
三、练习新知
教师多媒体出示课件:
小明步行离开家去上学,开始的速度是0.6 m/s,10 分钟后发现快迟到了,加快了速度,以
1.2m/s 的速度用5 分钟走完了剩余的路程到达学校.
1.求小明家离学校的大致距离和小明走路的平均速度.
2.请用函数图象描述小明走路的过程.
教师引导学生思考交流,然后找一生板演,其余同学在下面做,订正得到:
距离应为0.6×10×60+1.2×5×60=360+360=720(m),平均速度为
720÷[(10+5)×60]=720÷900=0.8(m/s).
教师多媒体出示图象:
其中x 表示小明离开家的时间,y 表示小明离开家的距离.
四、课堂小结
师:本节我们学习了什么内容?
生:对于实际问题,初步了解如何根据函数表达式和图象描出它的现实意义.
