第二十二章 二次函数
测试1 二次函数y＝ax2及其图象
学习要求
1．熟练掌握二次函数的有关概念．
2．熟练掌握二次函数y＝ax2的性质和图象．
课堂学习检测
一、填空题
1．形如____________的函数叫做二次函数，其中______是目变量，a，b，c 是______且
______≠0．
2．函数y＝x2的图象叫做______，对称轴是______，顶点是______．
3．抛物线y＝ax2 的顶点是______，对称轴是______．当a＞0 时，抛物线的开口向
______；当a＜0 时，抛物线的开口向______．
4．当a＞0 时，在抛物线y＝ax2的对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，而在对称轴的右
侧，y 随x 的增大而______；函数y 当x＝______时的值最______．
5．当a＜0 时，在抛物线y＝ax2的对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，而在对称轴的右
侧，y 随x 的增大而______；函数y 当x＝______时的值最______．
6．写出下列二次函数的a，b，c．
(1)
2
3
x
x
y
a＝______，b＝______，c＝______．
(2)y＝x2
a＝______，b＝______，c＝______．
(3)
10
5
2
1
2
x
x
y
a＝______，b＝______，c＝______．
(4)
2
3
1
6
x
y
a＝______，b＝______，c＝______．
7．抛物线y＝ax2，｜a｜越大则抛物线的开口就______，｜a｜越小则抛物线的开口就
______．
8．二次函数y＝ax2的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内．
(1)y＝2x2如图( )；
(2)
2
2
1 x
y
如图( )；
(3)y＝－x2如图( )；
(4)
2
3
1 x
y
如图( )；
(5)
2
9
1 x
y
如图( )；
(6)
2
9
1 x
y
如图( )．
9．已知函数
,
2
3
2
x
y
不画图象，回答下列各题．
(1)开口方向______；
(2)对称轴______；
(3)顶点坐标______；
(4)当x≥0 时，y 随x 的增大而______；
(5)当x______时，y＝0；
(6)当x______时，函数y 的最______值是______．
10．画出y＝－2x2的图象，并回答出抛物线的顶点坐标、对称轴、增减性和最值．
综合、运用、诊断
一、填空题
11．在下列函数中①y＝－2x2；②y＝－2x＋1；③y＝x；④y＝x2，回答：
(1)______的图象是直线，______的图象是抛物线．
(2)函数______y 随着x 的增大而增大．
函数______y 随着x 的增大而减小．
(3)函数______的图象关于y 轴对称．
函数______的图象关于原点对称．
(4)函数______有最大值为______．
函数______有最小值为______．
12．已知函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数)．
(1)若它是二次函数，则系数应满足条件______．
(2)若它是一次函数，则系数应满足条件______．
(3)若它是正比例函数，则系数应满足条件______．
13．已知函数y＝(m2－3m)
1
2
2
m
m
x
的图象是抛物线，则函数的解析式为______，抛物线
的顶点坐标为______，对称轴方程为______，开口______．
14．已知函数y＝m
2
2
2
m
m
x
＋(m－2)x．
(1)若它是二次函数，则m＝______，函数的解析式是______，其图象是一条______，
位于第______象限．
(2)若它是一次函数，则m＝______，函数的解析式是______，其图象是一条______，
位于第______象限．
15．已知函数y＝m
m
m
x
2
，则当m＝______时它的图象是抛物线；当m＝______时，抛物
线的开口向上；当m＝______时抛物线的开口向下．
二、选择题
16．下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是( )，属于二次函数的
是( )
A．y＝x(x＋1)
B．xy＝1
C．y＝2x2－2(x＋1)2
D．
1
3
2
x
y
17．在二次函数①y＝3x2；②
2
2
3
4
;
3
2
x
y
x
y
③
中，图象在同一水平线上的开口大小
顺序用题号表示应该为( )
A．①＞②＞③
B．①＞③＞②
C．②＞③＞①
D．②＞①＞③
18．对于抛物线y＝ax2，下列说法中正确的是( )
A．a 越大，抛物线开口越大
B．a 越小，抛物线开口越大
C．｜a｜越大，抛物线开口越大
D．｜a｜越小，抛物线开口越大
19．下列说法中错误的是( )
A．在函数y＝－x2中，当x＝0 时y 有最大值0
B．在函数y＝2x2中，当x＞0 时y 随x 的增大而增大
C．抛物线y＝2x2，y＝－x2，
2
2
1 x
y
中，抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线y＝－x2
的开口最大
D．不论a 是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点
三、解答题
20．函数y＝(m－3)
2
3
2
m
m
x
为二次函数．
(1)若其图象开口向上，求函数关系式；
(2)若当x＞0 时，y 随x 的增大而减小，求函数的关系式，并画出函数的图象．
拓展、探究、思考
21．抛物线y＝ax2与直线y＝2x－3 交于点A(1，b)．
(1)求a，b 的值；
(2)求抛物线y＝ax2与直线y＝－2 的两个交点B，C 的坐标(B 点在C 点右侧)；
(3)求△OBC 的面积．
22．已知抛物线y＝ax2经过点A(2，1)．
(1)求这个函数的解析式；
(2)写出抛物线上点A 关于y 轴的对称点B 的坐标；
(3)求△OAB 的面积；
(4)抛物线上是否存在点C，使△ABC 的面积等于△OAB 面积的一半，若存在，求出
C 点的坐标；若不存在，请说明理由．
测试2 二次函数y＝a(x－h)2＋k 及其图象
学习要求
掌握并灵活应用二次函数y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k 的性质及图象．
课堂学习检测
一、填空题
1．已知a≠0，
(1)抛物线y＝ax2的顶点坐标为______，对称轴为______．
(2)抛物线y＝ax2＋c 的顶点坐标为______，对称轴为______．
(3)抛物线y＝a(x－m)2的顶点坐标为______，对称轴为______．
2．若函数
1
2
2
)
2
1
(
m
m
x
m
y
是二次函数，则m＝______．
3．抛物线y＝2x2的顶点，坐标为______，对称轴是______．当x______时，y 随x 增大而减
小；当x______时，y 随x 增大而增大；当x＝______时，y 有最______值是______．
4．抛物线y＝－2x2的开口方向是______，它的形状与y＝2x2的形状______，它的顶点坐
标是______，对称轴是______．
5．抛物线y＝2x2＋3 的顶点坐标为______，对称轴为______．当x______时，y 随x 的增大
而减小；当x＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线y＝2x2向______
平移______个单位得到．
6．抛物线y＝3(x－2)2的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当
x______时，y 随x 的增大而增大；当x＝______时，y 有最______值是______，它可以
由抛物线y＝3x2向______平移______个单位得到．
二、选择题
7．要得到抛物线
2)
4
(
3
1
x
y
，可将抛物线
2
3
1 x
y
( )
A．向上平移4 个单位
B．向下平移4 个单位
C．向右平移4 个单位
D．向左平移4 个单位
8．下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( )
A．y＝2x2与y＝3x2B．
2
2
1
2
x
y
与
2
1
2
2
x
y
C．y＝2x2与y＝x2＋2
D．y＝x2与y＝x2－2
9．顶点为(－5，0)，且开口方向、形状与函数
2
3
1 x
y
的图象相同的抛物线是( )
A．
2)
5
(
3
1
x
y
B．
5
3
1
2
x
y
C．
2)
5
(
3
1
x
y
D．
2)
5
(
3
1
x
y
三、解答题
10．在同一坐标系中画出函数
2
2
1
,3
2
1
y
x
y
3
2
1
2
x
和
2
3
2
1 x
y
的图象，并说明y1，
y2的图象与函数
2
2
1 x
y
的图象的关系．
11．在同一坐标系中，画出函数y1＝2x2，y2＝2(x－2)2与y3＝2(x＋2)2的图象，并说明y2，y3
的图象与y1＝2x2的图象的关系．
综合、运用、诊断
一、填空题
12．二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的顶点坐标是______，对称轴是______，当x＝
______时，y 有最值______；当a＞0 时，若x______时，y 随x 增大而减小．
13．填表．
解析式
开口方向
顶点坐标
对称轴
y＝(x－2)2－3
y＝－(x＋3)2＋2
5
)
5
(
2
1
2
x
y
1
)
2
5
(
3
1
2
x
y
y＝3(x－2)2
y＝－3x2＋2
14．抛物线
1
)3
(
2
1
2
x
y
有最______点，其坐标是______．当x＝______时，y 的最
______值是______；当x______时，y 随x 增大而增大．
15．将抛物线
2
3
1 x
y
向右平移3 个单位，再向上平移2 个单位，所得的抛物线的解析式
为______．
二、选择题
16．一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该
抛物线的解析式为( )
A．y＝－2(x－1)2＋3
B．y＝－2(x＋1)2＋3
C．y＝－(2x＋1)2＋3
D．y＝－(2x－1)2＋3
17．要得到y＝－2(x＋2)2－3 的图象，需将抛物线y＝－2x2作如下平移( )
A．向右平移2 个单位，再向上平移3 个单位
B．向右平移2 个单位，再向下平移3 个单位
C．向左平移2 个单位，再向上平移3 个单位
D．向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位
三、解答题
18．将下列函数配成y＝a(x－h)2＋k 的形式，并求顶点坐标、对称轴及最值．
(1)y＝x2＋6x＋10
(2)y＝－2x2－5x＋7
(3)y＝3x2＋2x
(4)y＝－3x2＋6x－2
(5)y＝100－5x2
(6)y＝(x－2)(2x＋1)
拓展、探究、思考
19．把二次函数y＝a(x－h)2＋k 的图象先向左平移2 个单位，再向上平移4 个单位，得到
二次函数
1
)1
(
2
1
2
x
y
的图象．
(1)试确定a，h，k 的值；
(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k 的开口方向、对称轴和顶点坐标．
测试3 二次函数y＝ax2＋bx＋c 及其图象
学习要求
掌握并灵活应用二次函数y＝ax2＋bx＋c 的性质及其图象．
课堂学习检测
一、填空题
1．把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)配方成y＝a(x－h)2＋k 形式为______，顶点坐标是
______，对称轴是直线______．当x＝______时，y 最值＝______；当a＜0 时，
x______时，y 随x 增大而减小；x______时，y 随x 增大而增大．
2．抛物线y＝2x2－3x－5 的顶点坐标为______．当x＝______时，y 有最______值是
______，与x 轴的交点是______，与y 轴的交点是______，当x______时，y 随x 增大
而减小，当x______时，y 随x 增大而增大．
3．抛物线y＝3－2x－x2的顶点坐标是______，它与x 轴的交点坐标是______，与y 轴的
交点坐标是______．
4．把二次函数y＝x2－4x＋5 配方成y＝a(x－h)2＋k 的形式，得______，这个函数的图象
有最______点，这个点的坐标为______．
5．已知二次函数y＝x2＋4x－3，当x＝______时，函数y 有最值______，当x______时，函
数y 随x 的增大而增大，当x＝______时，y＝0．
6．抛物线y＝ax2＋bx＋c 与y＝3－2x2的形状完全相同，只是位置不同，则a＝______．
7．抛物线y＝2x2先向______平移______个单位就得到抛物线y＝2(x－3)2，再向______
平移______个单位就得到抛物线y＝2(x－3)2＋4．
二、选择题
8．下列函数中①y＝3x＋1；②y＝4x2－3x；
;
4
2
2
x
x
y
③
④y＝5－2x2，是二次函数的有
( )
A．②
B．②③④
C．②③
D．②④
9．抛物线y＝－3x2－4 的开口方向和顶点坐标分别是( )
A．向下，(0，4)
B．向下，(0，－4)
C．向上，(0，4)
D．向上，(0，－4)
10．抛物线
x
x
y
2
2
1
的顶点坐标是( )
A．
)
2
1
,1(
B．
)
2
1
,1
(
C．
)1
,
2
1
(
D．(1，0)
11．二次函数y＝ax2＋x＋1 的图象必过点( )
A．(0，a)
B．(－1，－a)
C．(－1，a)
D．(0，－a)
三、解答题
12．已知二次函数y＝2x2＋4x－6．
(1)将其化成y＝a(x－h)2＋k 的形式；
(2)写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标；
(3)求图象与两坐标轴的交点坐标；
(4)画出函数图象；
(5)说明其图象与抛物线y＝x2的关系；
(6)当x 取何值时，y 随x 增大而减小；
(7)当x 取何值时，y＞0，y＝0，y＜0；
(8)当x 取何值时，函数y 有最值?其最值是多少?
(9)当y 取何值时，－4＜x＜0；
(10)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积．
综合、运用、诊断
一、填空题
13．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(1)若抛物线的顶点是原点，则____________；
(2)若抛物线经过原点，则____________；
(3)若抛物线的顶点在y 轴上，则____________；
(4)若抛物线的顶点在x 轴上，则____________．
14．抛物线y＝ax2＋bx 必过______点．
15．若二次函数y＝mx2－3x＋2m－m2的图象经过原点，则m＝______，这个函数的解析
式是______．
16．若抛物线y＝x2－4x＋c 的顶点在x 轴上，则c 的值是______．
17．若二次函数y＝ax2＋4x＋a 的最大值是3，则a＝______．
18．函数y＝x2－4x＋3 的图象的顶点及它和x 轴的两个交点为顶点所构成的三角形面
积为______平方单位．
19．抛物线y＝ax2＋bx(a＞0，b＞0)的图象经过第______象限．
二、选择题
20．函数y＝x2＋mx－2(m＜0)的图象是( )
21．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如下图所示，那么( )
A．a＜0，b＞0，c＞0
B．a＜0，b＜0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0
D．a＜0，b＜0，c＜0
22．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如右图所示，则( )
A．a＞0，c＞0，b2－4ac＜0
B．a＞0，c＜0，b2－4ac＞0
C．a＜0，c＞0，b2－4ac＜0
D．a＜0，c＜0，b2－4ac＞0
23．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如下图所示，则( )
A．b＞0，c＞0，＝0
B．b＜0，c＞0，＝0
C．b＜0，c＜0，＝0
D．b＞0，c＞0，＞0
24．二次函数y＝mx2＋2mx－(3－m)的图象如下图所示，那么m 的取值范围是( )
A．m＞0
B．m＞3
C．m＜0
D．0＜m＜3
25．在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx－2(k≠0)的图象大致如图( )
26．函数
x
ab
y
b
ax
y
2
2
1
,
(ab＜0)的图象在下列四个示意图中，可能正确的是(
)
三、解答题
27．已知抛物线y＝x2－3kx＋2k＋4．
(1)k 为何值时，抛物线关于y 轴对称；
(2)k 为何值时，抛物线经过原点．
28．画出
2
3
2
1
2
x
x
y
的图象，并求：
(1)顶点坐标与对称轴方程；
(2)x 取何值时，y 随x 增大而减小?
x 取何值时，y 随x 增大而增大?
(3)当x 为何值时，函数有最大值或最小值，其值是多少?
(4)x 取何值时，y＞0，y＜0，y＝0?
(5)当y 取何值时，－2≤x≤2?
拓展、探究、思考
29．已知函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)和y2＝mx＋n 的图象交于(－2，－5)点和(1，4)点，并
且y1＝ax2＋bx＋c 的图象与y 轴交于点(0，3)．
(1)求函数y1和y2的解析式，并画出函数示意图；
(2)x 为何值时，①y1＞y2；②y1＝y2；③y1＜y2．
30．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象的一部分；图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝
－1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a－b＋c＝0；④5a＜b．其中正确的
是________________．(填序号)
测试4 二次函数y＝ax2＋bx＋c 解析式的确定
学习要求
能根据条件运用适当的方法确定二次函数解析式．
一、填空题
1．二次函数解析式通常有三种形式：①一般式________________；②顶点式________
__________；③双根式__________________________(b2－4ac≥0)．
2．若二次函数y＝x2－2x＋a2－1 的图象经过点(1，0)，则a 的值为______．
3．已知抛物线的对称轴为直线x＝2，与x 轴的一个交点为
),
0
,
2
3
(
则它与x 轴的另一
个交点为______．
二、解答题
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，求：
(1)对称轴方程____________；
(2)函数解析式____________；
(3)当x______时，y 随x 增大而减小；
(4)由图象回答：
当y＞0 时，x 的取值范围______；
当y＝0 时，x＝______；
当y＜0 时，x 的取值范围______．
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c 过(0，4)，(1，3)，(－1，4)三点，求抛物线的解析式．
6．抛物线y＝ax2＋bx＋c 过(－3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析
式．
7．抛物线y＝ax2＋bx＋c 的顶点为(2，4)，且过(1，2)点，求抛物线的解析式．
8．二次函数y＝x2＋bx＋c 的图象过点A(－2，5)，且当x＝2 时，y＝－3，求这个二次函数
的解析式，并判断点B(0，3)是否在这个函数的图象上．
9．抛物线y＝ax2＋bx＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的
解析式．
10．抛物线过(－1，－1)点，它的对称轴是直线x＋2＝0，且在x 轴上截得线段的长度为
,
2
2
求抛物线的解析式．
综合、运用、诊断
11．抛物线y＝ax2＋bx＋c 的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式．
12．把抛物线y＝(x－1)2沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q(3，0)，求平移后
的抛物线的解析式．
13．二次函数y＝ax2＋bx＋c 的最大值等于－3a，且它的图象经过(－1，－2)，(1，6)两点，
求二次函数的解析式．
14．已知函数y1＝ax2＋bx＋c，它的顶点坐标为(－3，－2)，y1与y2＝2x＋m 交于点(1，6)，
求y1，y2的函数解析式．
拓展、探究、思考
15．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c 与x 轴的交点为A，B(B 在A 左侧)，与y 轴的交点为C，
OA＝OC．下列关系式中，正确的是( )
A．ac＋1＝b
B．ab＋1＝c
C．bc＋1＝a
D．
c
b
a
1
16．如图，正方形ABCD 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形
ABCD 的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直，若小正方形边长
为x，且0＜x≤10，阴影部分的面积为y，则能反映y 与x 之间的函数关系的大致图
象是( )
17．如图，在直角坐标系中，Rt△AOB 的顶点坐标分别为A(0，2)，O(0，0)，B(4，0)，把
△AOB 绕O 点按逆时针方向旋转90°得到△COD．
(1)求C，D 两点的坐标；
(2)求经过C，D，B 三点的抛物线的解析式；
(3)设(2)中抛物线的顶点为P，AB 的中点为M(2，1)，试判断△PMB 是钝角三角形，
直角三角形还是锐角三角形，并说明理由．
测试5 用函数观点看一元二次方程
学习要求
1．理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握抛物线与x 轴的交点与一元二次方程两根
之间的联系，灵活运用相关概念解题．
2．掌握并运用二次函数y＝a(x－x1)(x－x2)解题．
课堂学习检测
一、填空题
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x 轴有交点，则b2－4ac______0；
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 两根为x1，x2，则二次函数可表示为y＝_________
____________．
2．若二次函数y＝x2－3x＋m 的图象与x 轴只有一个交点，则m＝______．
3．若二次函数y＝mx2－(2m＋2)x－1＋m 的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是
______．
4．若二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象经过P(1，0)点，则a＋b＋c＝______．
5．若抛物线y＝ax2＋bx＋c 的系数a，b，c 满足a－b＋c＝0，则这条抛物线必经过点
______．
6．关于x 的方程x2－x－n＝0 没有实数根，则抛物线y＝x2－x－n 的顶点在第______象
限．
二、选择题
7．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0( )
A．没有实根
B．只有一个实根
C．有两个实根，且一根为正，一根为负
D．有两个实根，且一根小于1，一根大于2
8．一次函数y＝2x＋1 与二次函数y＝x2－4x＋3 的图象交点( )
A．只有一个
B．恰好有两个
C．可以有一个，也可以有两个
D．无交点
9．函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax2＋bx＋c－3＝0 的根的情
况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个异号实数根
C．有两个相等的实数根
D．无实数根
10．二次函数y＝ax2＋bx＋c 对于x 的任何值都恒为负值的条件是( )
A．a＞0，＞0
B．a＞0，＜0
C．a＜0，＞0
D．a＜0，＜0
三、解答题
11．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c 与x 轴的两个交点的横坐标是方程x2＋x－2＝0 的两个根，
且抛物线过点(2，8)，求二次函数的解析式．
12．对称轴平行于y 轴的抛物线过A(2，8)，B(0，－4)，且在x 轴上截得的线段长为3，求
此函数的解析式．
综合、运用、诊断
一、填空题
13．已知直线y＝5x＋k 与抛物线y＝x2＋3x＋5 交点的横坐标为1，则k＝______，交点坐
标为______．
14．当m＝______时，函数y＝2x2＋3mx＋2m 的最小值为
9
8
二、选择题
15．直线y＝4x＋1 与抛物线y＝x2＋2x＋k 有唯一交点，则k 是( )
A．0
B．1
C．2
D．－1
16．二次函数y＝ax2＋bx＋c，若ac＜0，则其图象与x 轴( )
A．有两个交点
B．有一个交点
C．没有交点
D．可能有一个交点
17．y＝x2＋kx＋1 与y＝x2－x－k 的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则k 值为( )
A．0
B．－1
C．2
D．4
1
18．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax2＋bx＋c＋2＝0
的根的情况是( )
A．无实根
B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根
D．有两个同号不等实数根
19．已知二次函数的图象与y 轴交点坐标为(0，a)，与x 轴交点坐标为(b，0)和(－b，0)，若
a＞0，则函数解析式为( )
A．
a
x
b
a
y
2
B．
a
x
b
a
y
2
2
C．
a
x
b
a
y
2
2
D．
a
x
b
a
y
2
2
20．若m，n(m＜n)是关于x 的方程1－(x－a)(x－b)＝0 的两个根，且a＜b，则a，b，m，n
的大小关系是( )
A．m＜a＜b＜n
B．a＜m＜n＜b
C．a＜m＜b＜n
D．m＜a＜n＜b
三、解答题
21．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c 是常数)中，自变量x 与函数y 的对应值如下表：
x
－1
2
1
0
2
1
1
2
3
2
2
5
3
y
－2
4
1
1
4
7
2
4
7
1
4
1
－2
(1)判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标；
(2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c 是常数)的两个根x1，x2的取值范围是
下列选项中的哪一个______．
①
2
2
3
,0
2
1
2
1
x
x
②
2
5
2,
2
1
1
2
1
x
x
③
2
5
2,0
2
1
2
1
x
x
④
2
2
3
,
2
1
1
2
1
x
x
22．m 为何值时，抛物线y＝(m－1)x2＋2mx＋m－1 与x 轴没有交点?
23．当m 取何值时，抛物线y＝x2与直线y＝x＋m
(1)有公共点；(2)没有公共点．
拓展、探究、思考
24．已知抛物线y＝－x2－(m－4)x＋3(m－1)与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于C 点．
(1)求m 的取值范围．
(2)若m＜0，直线y＝kx－1 经过点A 并与y 轴交于点D，且
2
5
BD
AD
，求抛
物线的解析式．
测试6 实际问题与二次函数
学习要求
灵活地应用二次函数的概念解决实际问题．
课堂学习检测
1．矩形窗户的周长是6m，写出窗户的面积y(m2)与窗户的宽x(m)之间的函数关系式，判
断此函数是不是二次函数，如果是，请求出自变量x 的取值范围，并画出函数的图象．
2．如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB 时，水面宽8m，水位上升3m，
就达到警戒水位CD，这时水面宽4m，若洪水到来时，水位以每小时0.2m 的速度上
升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．
3．如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1m 的A 处飞出(A 在y 轴上)，
运动员乙在距O 点6m 的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4m
高．球第一次落地后又弹起．据试验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线
形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；
(2)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米?(取
7
3
4
，
5
6
2
)
综合、运用、诊断
4．如图，有长为24m 的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借
用一段墙体(墙体的最大可用长度a＝10m)．
(1)如果所围成的花圃的面积为45m2，试求宽AB 的长；
(2)按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，
并说明围法；如果不能，请说明理由．
5．某商场以每件30 元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)
与每件的销售价x(元)满足一次函数m＝162－3x．
(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)间的函数关系式；
(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最为合适?最大
销售利润为多少?
6．某工厂现有80 台机器，每台机器平均每天生产384 件产品．现准备增加一批同类机器
以提高生产总量．在试生产中发现，由于其他生产条件没有改变，因此，每增加一台
机器，每台机器平均每天将减少生产4 件产品．
(1)如果增加x 台机器，每天的生产总量为y 件，请写出y 与x 之间的函数关系式；
(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?
7．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过
程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间
t(月)之间的关系(即前t 个月的利润总和s 与t 之间的关系)．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；
(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30 万元；
3)求第8 个月公司所获利润为多少万元?
拓展、探究、思考
8．已知：在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象与x 轴交于A，
B 两点，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C，且OC＝OB＝3OA．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设点D 是点C 关于此抛物线对称轴的对称点，直线AD，BC 交于点P，试判断直线
AD，BC 是否垂直，并证明你的结论；
(3)在(2)的条件下，若点M，N 分别是射线PC，PD 上的点，问：是否存在这样的点M，
N，使得以点P，M，N 为顶点的三角形与△ACP 全等?若存在请求出点M，N 的坐
标；若不存在，请说明理由．
测试7 综合测试
一、填空题
1．若函数y＝x2－mx＋m－2 的图象经过(3，6)点，则m＝______．
2．函数y＝2x－x2的图象开口向______，对称轴方程是______．
3．抛物线y＝x2－4x－5 的顶点坐标是______．
4．函数y＝2x2－8x＋1，当x＝______时，y 的最______值等于______．
5．抛物线y＝－x2＋3x－2 在y 轴上的截距是______，与x 轴的交点坐标是____________．
6．把y＝2x2－6x＋4 配方成y＝a(x－h)2＋k 的形式是_______________．
7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示．
(1)对称轴方程为____________；
(2)函数解析式为____________；
(3)当x______时，y 随x 的增大而减小；
(4)当y＞0 时，x 的取值范围是______．
8．已知二次函数y＝x2－(m－4)x＋2m－3．
(1)当m＝______时，图象顶点在x 轴上；
(2)当m＝______时，图象顶点在y 轴上；
(3)当m＝______时，图象过原点．
二、选择题
9．将抛物线y＝x2＋1 绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为( )
A．y＝－x2
B．y＝－x2＋1
C．y＝x2－1
D．y＝－x2－1
10．抛物线y＝x2－mx＋m－2 与x 轴交点的情况是( )
A．无交点
B．一个交点
C．两个交点
D．无法确定
11．函数y＝x2＋2x－3(－2≤x≤2)的最大值和最小值分别为( )
A．4 和－3
B．5 和－3
C．5 和－4
D．－1 和4
12．已知函数y＝a(x＋2)和y＝a(x2＋1)，那么它们在同一坐标系内图象的示意图是(
)
13．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如下图所示，那么下面六个代数式：abc，b2－4ac，a－b＋
c，a＋b＋c，2a－b，9a－4b 中，值小于0 的有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
14．若b＞0 时，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1 的图象如下列四图之一所示，根据图象分析，
则a 的值等于( )
A．
2
5
1
B．－1
C．
2
5
1
D．1
三、解答题
15．已知函数y1＝ax2＋bx＋c，其中a＜0，b＞0，c＞0，问：
(1)抛物线的开口方向?
(2)抛物线与y 轴的交点在x 轴上方还是下方?
(3)抛物线的对称轴在y 轴的左侧还是右侧?
(4)抛物线与x 轴是否有交点?如果有，写出交点坐标；
(5)画出示意图．
16．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函
数的解析式．(试用两种不同方法)
17．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1 时有最小值－4，且图象在x 轴上截得线段
长为4，求函数解析式．
18．二次函数y＝x2－mx＋m－2 的图象的顶点到x 轴的距离为
,
16
25 求二次函数解析式．
19．如图，从O 点射出炮弹落地点为D，弹道轨迹是抛物线，若击中目标C 点，在A 测C
的仰角∠BAC＝45°，在B 测C 的仰角∠ABC＝30°，AB 相距
,
km
)
3
1(
，OA＝
2km，AD＝2km．
(1)求抛物线解析式；
(2)求抛物线对称轴和炮弹运行时最高点距地面的高度．
20．二次函数y1＝ax2－2bx＋c 和y＝(a＋1)·x2－2(b＋2)x＋c＋3 在同一坐标系中的图象
如图所示，若OB＝OA，BC＝DC，且点B，C 的横坐标分别为1，3，求这两个函数的
解析式．
答案与提示
第二十二章 二次函数
测试1
1．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x，常数，a．
2．抛物线，y 轴，(0，0)．
3．(0，0)，y 轴，上，下． 4．减小，增大，x＝0，小．
5．增大，减小，x＝0，大．
6．(1)
.0
,3
,1
(2)，0，0，
(3)
,
10
,5
,
2
1
(4)
.6
,0
,
3
1
7．越小，越大．
8．(1)D，(2)C，(3)A，(4)B，(5)F，(6)E．
9．(1)向下，(2)y 轴．(3)(0，0)．(4)减小．(5)＝0(6)＝0，大，0．
10．略．
11．(1)②、③；①、④．(2)③；②．(3)①、④；③．(4)①，0；④，0．
12．(1)a≠0，(2)a＝0 且b≠0，(3)a＝c＝0 且b≠0．
13．y＝4x2；(0，0)；x＝0；向上．
14．(1)2；y＝2x2；抛物线；一、二，
(2)0；y＝－2x；直线；二、四．
15．－2 或1；1；－2．
16．C、B、A． 17．C． 18．D． 19．C．
20．(1)m＝4，y＝x2；(2)m＝－1，y＝－4x2．
21．(1)a＝－1，b＝－1；(2)
);
2
,
2
(
).
2
,
2
(
C
B
(3)S△OBC＝
2
2
．
22．(1)
2
4
1 x
y
； (2)B(－2，1)；(3)S△OAB＝2；
(4)设C 点的坐标为
),
4
1
,
(
2
m
m
则
.2
2
1
|1
4
1
|
4
2
1
2
m
则得
6
m
或
.
2
m
∴C 点的坐标为
).
2
1
,
2
(
),
2
1
,
2
(
),
2
3
,
6
(
),
2
3
,
6
(
测试2
1．(1)(0，0)，y 轴；
(2)(0，c)，y 轴；
(3)(m，0)，直线x＝m．
2．m＝－1
3．(0，0)，y 轴，x≤0，x＞0，0，小，0．
4．向下，相同，(0，0)，y 轴．
5．(0，3)，y 轴，x≤0，0，小，3，上，3．
6．向上，(2，0)，直线x＝2，x≥2，2，小，0，右，2．
7．C． 8．D． 9．C．
10．图略，y1，y2的图象是
2
2
1 x
y
的图象分别向上和向下平移3 个单位．
11．图略，y2，y3的图象是把y1的图象分别向右和向左平移2 个单位．
12．(h，k)，直线x＝h；h，k，x≤h．
13．
开口方向
顶点坐标
对称轴
y＝(x－2)2－3
向上
(2，－3)
直线x＝2
y＝－(x＋3)2＋2
向下
(－3，2)
直线x＝－3
5
)
5
(
2
1
2
x
y
向下
(－5，－5)
直线x＝－5
1
)
2
5
(
3
1
2
x
y
向上
( 2
5 ，1)
直线x＝2
5
y＝3(x－2)2
向上
(2，0)
直线x＝2
y＝－3x2＋2
向下
(0，2)
直线x＝0
14．高．(－3，－1)，－3，大，－1，≤－3．
15．
.5
2
3
1
2
)3
(
3
1
2
2
x
x
x
y
16．B． 17．D．
18．(1)y＝(x＋3)2＋1，顶点(－3，1)，直线x＝－3，最小值为1．
(2)
,
8
81
)
4
5
(
2
2
x
y
顶点
),
8
81
,
4
5
(
直线
,
4
5
x
最大值为
8
81
(3)
,
3
1
)
3
1
(
3
2
x
y
顶点
),
3
1
,
3
1
(
直线
,
3
1
x
最小值为
3
1
(4)y＝－3(x－1)2＋1，顶点(1，1)，直线x＝1，最大值为1．
(5)y＝－5x2＋100，顶点(0，100)，直线x＝0，最大值为100．
(6)
,
8
25
)
4
3
(
2
2
x
y
顶点
),
8
25
,
4
3
(
直线
,
4
3
x
最小值为
8
25
19．(1)
；
5
,1
,
2
1
k
h
a
(2)开口向上，直线x＝1，顶点坐标(1，－5)．
测试3
1．
).
4
4
,
2
(,
4
4
)
2
(
2
2
2
a
b
ac
a
b
a
b
ac
a
b
x
a
y
a
b
x
a
b
x
a
b
ac
a
b
x
a
b
x
2
,
2
,
4
4
,
2
,
2
2
2．
,
4
3
),
8
49
,
4
3
(
小，
4
3
,
4
3
),
5
,0
(
),
0,1
(
)
0,
2
5
(,
8
49
x
x
、
3．(－1，4)，(－3，0)、(1，0)，(0，3)．
4．y＝(x－2)2＋1，低，(2，1)．
5．－2，－7，x≥－2，
.
7
2
x
6．±2． 7．右，3，上，4．
8．D． 9．B. 10．B． 11．C．
12．(1)y＝2(x＋1)2－8；
(2)开口向上，直线x＝－1，顶点(－1，－8)；
(3)与x 轴交点(－3，0)(1，0)，与y 轴交点(0，－6)；
(4)图略；
(5)将抛物线y＝x2向左平移1 个单位，向下平移8 个单位；得到y＝2x2＋4x－6 的图象；
(6)x≤－1；
(7)当x＜－3 或x＞1 时，y＞0；当x＝－3 或x＝1 时，y＝0；
当－3＜x＜1 时，y＜0；
(8)x＝－1 时，y 最小值＝－8；
(9)－8≤y＜10；
(10)S△＝12．
13．(1)b＝c＝0；(2)c＝0；(3)b＝0；(4)b2－4ac＝0．
14．原． 15．2，y＝2x2－3x． 16．4．
17．－1． 18．1． 19．一、二、三．
20．C. 21．B． 22．D． 23．B． 24．C． 25．B． 26．C．
27．(1)k＝0；(2)k＝－2．
28．
,2
)1
(
2
1
2
x
y
①
顶点(1，2)，直线x＝1；
②x≥1，x＜1； ③x＝1，y 最大＝2；
④－1＜x＜3 时，y＞0；x＜－1 或x＞3 时y＜0；x＝－1 或x＝3 时，y＝0；
.2
2
5
y
⑤
29．(1)y1＝－x2＋2x＋3，y2＝3x＋1．
(2)①当－2＜x＜1 时，y1＞y2．
②当x＝－2 或x＝1 时，y1＝y2．
③当x＜－2 或x＞1 时y1＜y2．
30．①，④．
测试4
1．①y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
③y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．
.
2
3．
).
0,
2
11
(
4．(1)x＝－1；
(2)y＝x2＋2x－3；
(3)x≤－1；
(4)x＜－3 或x＞1，x＝－3 或x＝1，－3＜x＜1．
5．
.4
2
1
2
1
2
x
x
y
6．
.4
3
8
3
4
2
x
x
y
7．y＝－2(x－2)2＋4 即y＝－2x2＋8x－4．
8．y＝x2－2x－3，点B(0，3)不在图象上．
9．
.
12
1
2
x
x
y
10．y＝x2＋4x＋2．
11．y＝－x2＋4x．
12．y＝x2－2x－3．
13．y＝－2x2＋4x＋4．
14．
.4
2
,
2
5
3
2
1
2
2
1
x
y
x
x
y
15．A． 16．B．
17．解：(1)由旋转的性质可知：
OC＝OA＝2，OD＝OB＝4．
∴C、D 两点的坐标分别是C(－2，0)，D(0，4)．
(2)设所求抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c．
根据题意，得
.4
,0
2
4
,0
4
16
c
c
b
a
c
b
a
解得
.4
,1
,
2
1
c
b
a
∴所求抛物线的解析式为
.4
2
1
2
x
x
y
(3) 如图，△PMB 是钝角三角形，图中，PH 是抛物线
4
2
1
2
x
x
y
2
9
)1
(
2
1
2
x
的对称轴．
M、P 点的坐标分别为
).
2
9
,1(
),
1,2
(
P
M
∴点M 在PH 的右侧，
∵∠PHB＝90°，∠1＞90°，∠PMB＞∠1，
∴∠PMB>90°，则△PMB 为钝角三角形．
测试5
1．≥0，y＝a(x－x1)(x－x2)． 2．
4
9
3．
3
1
m
且m≠0． 4．0． 5．(－1，0)． 6．一．
7．D． 8．B． 9．C． 10．D．
11．y＝2x2＋2x－4．
12．
4
5
66
5
18
2
x
x
y
或y＝2x2＋2x－4．
13．4，(1，9)． 14．
9
8
15．C． 16．A． 17．C． 18．D． 19．B． 20．A．
21．(1)开口向下，顶点(1，2)，(2)③． 22．
2
1
m
23．由x2－x－m＝0(1)当＝1＋4m≥0，即
4
1
m
时两线有公共点．
(2)当＝1＋4m＜0，即
4
1
m
时两线无公共点．
24．(1)＝(m＋2)2＞0，∴m≠－2；
(2)m＝－1，∴y＝－x2＋5x－6．
测试6
1．y＝－x2＋3x(0＜x＜3)图略． 2．5 小时．
3．(1)
.1
12
1
2
x
x
y
(2)17 米．
4．(1)设花圃的宽AB＝x 米，知BC 应为(24－3x)米，故面积y 与x 的关系式为
y＝x(24－3x)＝－3x2＋24x．
当y＝45 时，－3x2＋24x＝45，解出x1＝3，x2＝5．
当x2＝3 时，BC＝24－3×3＞10，不合题意，舍去；
当x2＝5 时，BC＝24－3×5＝9，符合题意．
故AB 长为5 米．
(2)能围成面积比45m2更大的矩形花圃．
由(1)知，y＝－3x2＋24x＝－3(x－4)2＋48．
10
3
24
0
x
，
.8
3
14
x
由抛物线y＝－3(x－4)2＋48 知，在对称轴x＜4 的左侧，y 随x 的增大而增大，当x＞4 时，
y 随x 的增大而减小．
∴当
3
14
x
时，y＝－3（x－4)2＋48 有最大值，且最大值为
),
m
(
3
2
46
)
4
3
14
(
3
48
2
2
此时，
,
m
3
14
AB
BC＝10m，即围成长为10 米，宽为3
14
米的矩形ABCD 花圃时，其最大
面积为
.
m
3
2
46
2
5．(1)y＝－3x2＋252x－4860；
(2)当x＝42 时，最大利润为432 元．
6．解：(1)由题意得
y＝(80＋x)(384－4x)＝－4x2＋64x＋30720．
(2)∵y＝－4x2＋64x＋30720＝－4(x－8)2＋30976，
∴当x＝8 时，y 有最大值，为30976．
即增加8 台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量为30976 件．
7．解：(1)设s 与t 的函数关系式为x＝at2＋bt＋c，图象上三点坐标分别为
(1，－1．5)，(2，－2)，(5，2．5)．分别代入，得
.5.2
5
25
,2
2
4
,5.1
c
b
a
c
b
a
c
b
a
解得
.0
,2
,
2
1
c
b
a
.
2
2
1
2
t
t
s
(2)把s＝30 代入
,
2
2
1
2
t
t
s
解得t1＝10，t2＝－6(舍去)．
即截止到10 月末，公司累积利润可达到30 万元．
(3)把t＝7 代入
,
2
2
1
2
t
t
s
得7 月末的累积利润为s7＝10．5(万元)．
把t＝8 代入
,
2
2
1
2
t
t
s
得8 月末的累积利润为s8＝16(万元)．
∴s8－s7＝16－10.5＝5.5(万元)．
即第8 个月公司获利润5.5 万元．
8．(1)y＝x2－2x－3； (2)AD⊥BC；
(3)存在，M1(1，－2)，N1(4，－3)．或M2(0，－3)，N2(3，－4)．
测试7
1．
2
1
m
2．向下，x＝1． 3．(2，－9)．
4．2，小，－7． 5．－2，(1，0)、(2，0)． 6．
2
1
)
2
3
(
2
2
x
y
7．(1)
;
2
3
x
(2)y＝x2－3x－4；(3)
;
2
3
x
(4)x＜－1 或x＞4．
8．(1)m＝14 或2； (2)m＝4； (3)
2
3
m
9．D． 10．C． 11．C． 12．C． 13．C． 14．D．
15．(1)开口向下； (2)上方； (3)右侧；
(4)有，
).
0,
2
4
(
),
0,
2
4
(
2
2
a
ac
b
b
a
ac
b
b
(5)略．
16．
3
5
3
4
3
1
2
x
x
y
17．y＝x2＋2x－3．
18．
2
3
2
1
2
x
x
y
或
2
3
2
7
2
x
x
y
19．作CE⊥x 轴于E，设CE＝x 千米．
∵∠CAB＝45°，∴CE＝AE＝x，在Rt△BCE 中，
,
3
3
,
30
x
CE
EB
CBA
AB＝AE＋EB，
即
,
3
3
1
x
x
解得x＝1，∴OE＝OA＋AE＝2＋1＝3．
由C(3，1)，D(4，0)，O(0，0)，
设y＝a(x－4)(x－0)，把(3，1)代入上式：
1＝a(3－4)(3－0)，解得
),
4
0
)(
0
)(
4
(
3
1
,
3
1
x
x
x
y
a
即
2)
2
(
3
1
x
y
3
4
，抛物线对称轴：x＝2，炮弹运行最高点时距地面高度是3
4
千米．
20．
3
10
4
3
2
,
3
1
3
1
2
2
2
1
x
x
y
x
y
