文档文本内容
江西省南昌市九年级（上）第一次月考数学试卷(解析版)
一、选择题：（本大题共8 个小题，每小题3 分，共24 分）每小题只有一个答案是正确的，请将
正确答案的代号填入下列对应题号内．
1．已知二次函数y=mx2+x
1
﹣的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是（ ）
A．m＞﹣
B．m≥﹣
C．m＞﹣
且m≠0
D．m≥﹣
且m≠0
2．已知抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴交点为A（﹣2，0），B（6，0），则该二次函数的对称轴为（
）
A．x=
1
﹣B．x=1 C．x=2 D．y 轴
3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：
①因为a＞0，所以函数y 有最大值；
②该函数的图象关于直线x=
1
﹣对称；
③当x=
2
﹣时，函数y 的值等于0；
④当x=
3
﹣或x=1 时，函数y 的值都等于0．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．若二次函数y=x2
6x
﹣
+c 的图象过A（﹣1，y1），B（3，y2），C（3+
，y3），则y1，y2，y3的大小
关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
5．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面
2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y=
2x
﹣
2
B．y=2x2 C．y=﹣
x2 D．y=
x2
6．二次函数y=﹣（x
1
﹣）2+3 的图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，3）B．
（1，3）C．
（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）
7．已知函数y=2x2的图象是抛物线，现在同一坐标系中，将该抛物线分别向上、向左平移2 个
单位，那么所得到的新抛物线的解析式是（ ）
A．y=2（x+2）2+2 B．y=2（x+2）2
2
﹣
C．y=2（x
2
﹣）2
2
﹣D．y=2（x
2
﹣）2+2
8．抛物线C1：y=x2+1 与抛物线C2关于x 轴对称，则抛物线C2的解析式为（ ）
A．y=
x
﹣2
B．y=
x
﹣2+1 C．y=x2
1
﹣
D．y=
x
﹣2
1
﹣
二、填空题（本大题共7 个小题，每小题3 分，共21 分）
9．若把函数y=x2
2x
3
﹣
﹣化为y=（x
m
﹣）2+k 的形式，其中m，k 为常数，则m+k= ．
10．已知二次函数y=
x
﹣2+4x+m 的部分图象如图，则关于x 的一元二次方程﹣x2+4x+m=0 的
解是 ．
11．抛物线y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如表：
x
…
2
﹣
1
﹣
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从表可知，下列说法中正确的是 ．（填写序号）
①抛物线与x 轴的一个交点为（3，0）；
②函数y=ax2+bx+c 的最大值为6；
③抛物线的对称轴是直线x=
；
④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．
12．函数y=2x2
3x
﹣
+1 与y 轴的交点坐标为 ，与x 轴的交点的坐标为 ， ．
13．请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 ，①过点（3，1）；②当x＞0 时，y 随x
的增大而减小；③当自变量的值为2 时，函数值小于2．
14．抛物线y=
x
﹣2+bx+c 的图象如图所示，则此抛物线的解析式为 ．
15．如图，是二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b
＞2a；③ax2+bx+c=0 的两根分别为﹣3 和1；④a
2b
﹣
+c＞0．其中正确的命题是 ．
（只要求
填写正确命题的序号）
三、解答题
16．（12 分）解方程
x
①2
3x
﹣
+2=0
4x
②
2
8x
7=
11
﹣
﹣
﹣
5x
2x
③
﹣
2=0
x
④2+6x
1=0
﹣
．
17．（8 分）用配方法将二次函数化成y=a（x
h
﹣）2+k 的形式，并写出顶点坐标和对称轴
y=2x
①
2+6x
12
﹣
y=
0.5x
②
﹣
2
3x
﹣
+3．
18．（8 分）已知二次函数y=2x2
4x
6
﹣
﹣．
（1）用配方法将y=2x2
4x
6
﹣
﹣化成y=a（x
h
﹣）2+k 的形式；
（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（3）当x 取何值时，y 随x 的增大而减少？
（4）当x 取何值是，y=0，y＞0，y＜0，
（5）当0＜x＜4 时，求y 的取值范围；
（6）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积．
19．（8 分）二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴交于B、C 两点，与y 轴交于A 点．
（1）根据图象确定a、b、c 的符号，并说明理由；
（2）如果点A 的坐标为（0，﹣3），∠ABC=45°，∠ACB=60°，求这个二次函数的解析式．
20．（8 分）已知抛物线C1：y=x2
2
﹣（m+2）x+m2
10
﹣
的顶点A 到y 轴的距离为3．
（1）求顶点A 的坐标及m 的值；
（2）若抛物线与x 轴交于C、D 两点．点B 在抛物线C1上，且S△BCD=6
，求点B 的坐标．
21．（9 分）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每
盒进价是40 元．超市规定每盒售价不得少于45 元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒
45 元时，每天可以卖出700 盒，每盒售价每提高1 元，每天要少卖出20 盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58 元．如果超市想要每
天获得不低于6000 元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
22．（8 分）已知函数y=ax2+60x，在x＞20 时，y 随x 增大而减小，求：
（1）a 的取值范围；
（2）若该函数为飞机着陆后滑行距离y（m）与滑行时间x（s）之间的函数关系，已知函数的对
称轴为直线x=20，请写出自变量滑行时间的取值范围，并求出飞机着陆后需滑行多少米才能
停下来？
23．（14 分）如图1，抛物线y=ax2+bx
4a
﹣
经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x 轴交于另一点
B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P 为第一象限抛物线上一点，满足到线段CB 距离最大，求点P 坐标；
（3）如图3，若抛物线的对称轴EF（E 为抛物线顶点）与线段BC 相交于点F，M 为线段BC 上
的任意一点，过点M 作MN∥EF 交抛物线于点N，以E，F，M，N 为顶点的四边形能否为平行
四边形？若能，求点N 的坐标；若不能，请说明理由．
江西省南昌市九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共8 个小题，每小题3 分，共24 分）每小题只有一个答案是正确的，请将
正确答案的代号填入下列对应题号内．
1．已知二次函数y=mx2+x
1
﹣的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是（ ）
A．m＞﹣
B．m≥﹣
C．m＞﹣
且m≠0
D．m≥﹣
且m≠0
【考点】抛物线与x 轴的交点．
【分析】根据二次函数y=mx2+x
1
﹣的图象与x 轴有两个交点，可得△=12
4m
﹣
×（﹣1）＞0 且
m≠0．
【解答】解：∵原函数是二次函数，
∴m≠0．
∵二次函数y=mx2+x
1
﹣的图象与x 轴有两个交点，则
△=b2
4ac
﹣
＞0，
△=12
4m
﹣
×（﹣1）＞0，
∴m＞﹣
．
综上所述，m 的取值范围是：m＞﹣
且m≠0，
故选C．
【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点，关键是熟记当△=b2
4ac
﹣
＞0 时图象与x 轴有两个
交点；当△=b2
4ac=0
﹣
时图象与x 轴有一个交点；当△=b2
4ac
﹣
＜0 时图象与x 轴没有交点．
2．已知抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴交点为A（﹣2，0），B（6，0），则该二次函数的对称轴为（
）
A．x=
1
﹣B．x=1 C．x=2 D．y 轴
【考点】抛物线与x 轴的交点．
【分析】根据抛物线的对称性得到点A 和点B 是抛物线上的对称点，所以点A 和点B 的对称
轴即为抛物线的对称轴．
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴交点为A（﹣2，0），B（6，0），
∴该二次函数的对称轴为直线x=2．
故选C．
【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点：从二次函数的交点式y=a（x
x
﹣1）（x
x
﹣2）（a，b，c
是常数，a≠0）中可直接得到抛物线与x 轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．解决本题的关键是掌
握抛物线的对称性．
3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：
①因为a＞0，所以函数y 有最大值；
②该函数的图象关于直线x=
1
﹣对称；
③当x=
2
﹣时，函数y 的值等于0；
④当x=
3
﹣或x=1 时，函数y 的值都等于0．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】二次函数的性质．
【分析】观察图象即可判断．①开口向上，应有最小值；②根据抛物线与x 轴的交点坐标来确
定抛物线的对称轴方程；③x=
2
﹣时，对应的图象上的点在x 轴下方，所以函数值小于0；④
图象与x 轴交于﹣3 和1，所以当x=
3
﹣或x=1 时，函数y 的值都等于0．
【解答】解：由图象知：
①函数有最小值；错误．
②该函数的图象关于直线x=
1
﹣对称；正确．
③当x=
2
﹣时，函数y 的值小于0；错误．
④当x=
3
﹣或x=1 时，函数y 的值都等于0．正确．
故正确的有两个，选C．
【点评】此题考查了根据函数图象解答问题，体现了数形结合的数学思想方法．
4．若二次函数y=x2
6x
﹣
+c 的图象过A（﹣1，y1），B（3，y2），C（3+
，y3），则y1，y2，y3的大小
关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据二次函数的性质结合二次函数的解析式即可得出y1＞y3＞y2，此题得解．
【解答】解：二次函数y=x2
6x
﹣
+c 的对称轴为x=3，
∵a=1＞0，
∴当x=3 时，y 值最小，即y2最小．
∵|
1
3
﹣﹣|=4，|3+
3
﹣|=
，4＞
，
∴点y1＞y3．
∴y1＞y3＞y2．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质确定A、B、C 三点纵坐标的大小是
解题的关键．
5．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面
2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y=
2x
﹣
2
B．y=2x2 C．y=﹣
x2 D．y=
x2
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，可设此函数解析式为：
y=ax2，利用待定系数法求解．
【解答】解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；
那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．
则﹣2=4a
即得a=﹣
，
那么y=﹣
x2．
故选：C．
【点评】根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解
析式上的点．
6．二次函数y=﹣（x
1
﹣）2+3 的图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，3）B．
（1，3）C．
（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的顶点式一般形式的特点，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：二次函数y=﹣（x
1
﹣）2+3 为顶点式，其顶点坐标为（1，3）．
故选B．
【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．
7．已知函数y=2x2的图象是抛物线，现在同一坐标系中，将该抛物线分别向上、向左平移2 个
单位，那么所得到的新抛物线的解析式是（ ）
A．y=2（x+2）2+2 B．y=2（x+2）2
2
﹣
C．y=2（x
2
﹣）2
2
﹣D．y=2（x
2
﹣）2+2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】直接利用平移规律（左加右减，上加下减）求新抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线y=2x2向上、向左平移2 个单位后的解析式为：y=2（x+2）2+2．
故选：A．
【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解
析式求得平移后的函数解析式．
8．抛物线C1：y=x2+1 与抛物线C2关于x 轴对称，则抛物线C2的解析式为（ ）
A．y=
x
﹣2
B．y=
x
﹣2+1 C．y=x2
1
﹣
D．y=
x
﹣2
1
﹣
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】画出图形后可根据开口方向决定二次项系数的符号，开口度是二次项系数的绝对值；
与y 轴的交点为抛物线的常数项进行解答．
【解答】解：关于x 轴对称的两个函数解析式的开口方向改变，开口度不变，二次项的系数互
为相反数；对与y 轴的交点互为相反数，那么常数项互为相反数，故选D．
【点评】根据画图可得到抛物线关于x 轴对称的特点：二次项系数，一次项系数，常数项均互
为相反数．
二、填空题（本大题共7 个小题，每小题3 分，共21 分）
9．若把函数y=x2
2x
3
﹣
﹣化为y=（x
m
﹣）2+k 的形式，其中m，k 为常数，则m+k= ﹣
3
．
【考点】二次函数的三种形式．
【分析】利用配方法操作整理，然后根据对应系数相等求出m、k，再相加即可．
【解答】解：y=x2
2x
3
﹣
﹣，
=（x2
2x
﹣
+1）﹣1
3
﹣，
=（x
1
﹣）2
4
﹣，
所以，m=1，k=
4
﹣，
所以，m+k=1+（﹣4）=
3
﹣．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法的操作是解题的关键．
10．已知二次函数y=
x
﹣2+4x+m 的部分图象如图，则关于x 的一元二次方程﹣x2+4x+m=0 的
解是
x 1=
1
﹣
，
x 2=5
．
【考点】抛物线与x 轴的交点．
【分析】由二次函数y=
x
﹣2+4x+m 的部分图象可以得到抛物线的对称轴和抛物线与x 轴的一
个交点坐标，然后可以求出另一个交点坐标，再利用抛物线与x 轴交点的横坐标与相应的一
元二次方程的根的关系即可得到关于x 的一元二次方程﹣x2+4x+m=0 的解．
【解答】解：根据图示知，二次函数y=
x
﹣2+4x+m 的对称轴为x=2，与x 轴的一个交点为（5，
0），
根据抛物线的对称性知，抛物线与x 轴的另一个交点横坐标与点（5，0）关于对称轴对称，即
x=
1
﹣，
则另一交点坐标为（﹣1，0）
则当x=
1
﹣或x=5 时，函数值y=0，
即﹣x2+4x+m=0，
故关于x 的一元二次方程﹣x2+4x+m=0 的解为x1=
1
﹣，x2=5．
故答案是：x1=
1
﹣，x2=5．
【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点．解答此题需要具有一定的读图的能力．
11．抛物线y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如表：
x
…
2
﹣
1
﹣
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从表可知，下列说法中正确的是 ．（填写序号）
①抛物线与x 轴的一个交点为（3，0）；
②函数y=ax2+bx+c 的最大值为6；
③抛物线的对称轴是直线x=
；
④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．
【考点】抛物线与x 轴的交点；二次函数的性质；二次函数的最值．
【分析】根据表中数据和抛物线的对称性，可得到抛物线的开口向下，当x=3 时，y=0，即抛物
线与x 轴的交点为（﹣2，0）和（3，0）；因此可得抛物线的对称轴是直线x=3﹣
=
，再根据
抛物线的性质即可进行判断．
【解答】解：根据图表，当x=
2
﹣，y=0，根据抛物线的对称性，当x=3 时，y=0，即抛物线与x 轴
的交点为（﹣2，0）和（3，0）；
∴抛物线的对称轴是直线x=3﹣
=
，
根据表中数据得到抛物线的开口向下，
∴当x=
时，函数有最大值，而不是x=0，或1 对应的函数值6，
并且在直线x=
的左侧，y 随x 增大而增大．
所以①③④正确，②错．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了抛物线y=ax2+bx+c 的性质：抛物线是轴对称图形，它与x 轴的两个交点是
对称点，对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点；a＜0 时，函数有最大值，在对称轴左侧，y
随x 增大而增大．
12．函数y=2x2
3x
﹣
+1 与y 轴的交点坐标为 （
0 ，
1 ）
，与x 轴的交点的坐标为 （
，
0 ）
，
（
1 ，
0 ）
．
【考点】抛物线与x 轴的交点．
【分析】函数y=2x2
3x
﹣
+1 与y 轴的交点坐标，即为x=0 时，y 的值．当x=0，y=1．故与y 轴的
交点坐标为（0，1）；
x 轴的交点的坐标为y=0 时方程2x2
3x
﹣
+1=0 的两个根为x1=
，x2=1，与x 轴的交点的坐标
为
（
，0），（1，0）．
【解答】解：把x=0 代入函数可得y=1，故y 轴的交点坐标为（0，1），
把y=0 代入函数可得x=
或1，故与x 轴的交点的坐标为（
，0），（1，0）．
【点评】解答此题要明白函数y=2x2
3x
﹣
+1 与y 轴的交点坐标即为x=0 时y 的值；x 轴的交点
的坐标为y=0 时方程2x2
3x
﹣
+1=0 的两个根．
13．请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式
y=﹣
x + 2
，①过点（3，1）；②当x＞0
时，y 随x 的增大而减小；③当自变量的值为2 时，函数值小于2．
【考点】二次函数的性质；一次函数的性质．
【分析】由题意设出函数的一般解析式，再根据①②③的条件确定函数的解析式．
【解答】解：设函数的解析式为：y=kx+b，
∵函数过点（3，1），
∴3k+b=1…①
∵当x＞0 时，y 随x 的增大而减小，
∴k＜0…②，
又∵当自变量的值为2 时，函数值小于2，
当x=2 时，函数y=2k+b＜2…③
由①②③知可以令b=2，可得k=﹣
，此时2k+b=﹣
+2＜2，
∴函数的解析式为：y=﹣
x+2．
答案为y=﹣
x+2．
【点评】此题是一道开放性题，主要考查一次函数的基本性质，函数的增减性及用待定系数法
来确定函数的解析式．
14．抛物线y=
x
﹣2+bx+c 的图象如图所示，则此抛物线的解析式为
y=
x
﹣
2 + 2x
+ 3
．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】此图象告诉：函数的对称轴为x=1，且过点（3，0）；用待定系数法求b，c 的值即可．
【解答】解：据题意得
解得
∴此抛物线的解析式为y=
x
﹣2+2x+3．
【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法，考查了
数形结合思想．
15．如图，是二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b
＞2a；③ax2+bx+c=0 的两根分别为﹣3 和1；④a
2b
﹣
+c＞0．其中正确的命题是 ①③ ．
（只
要求填写正确命题的序号）
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x 轴的交点．
【分析】由图象可知过（1，0），代入得到a+b+c=0；根据﹣
=
1
﹣，推出b=2a；根据图象关于
对称轴对称，得出与X 轴的交点是（﹣3，0），
（1，0）；由a
2b
﹣
+c=a
2b
a
b=
3b
﹣
﹣﹣
﹣
＜0，根据
结论判断即可．
【解答】解：由图象可知：过（1，0），代入得：a+b+c=0，∴①正确；
﹣
=
1
﹣，
∴b=2a，∴②错误；
根据图象关于对称轴x=
1
﹣对称，
与X 轴的交点是（﹣3，0），（1，0），∴③正确；
∵b=2a＞0，
∴﹣b＜0，
∵a+b+c=0，
∴c=
a
b
﹣﹣，
∴a
2b
﹣
+c=a
2b
a
b=
3b
﹣
﹣﹣
﹣
＜0，
∴④错误．
故答案为：①③．
【点评】本题主要考查对二次函数与X 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图
象与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定系数的正负是解此题的关键．
三、解答题
16．（12 分）（2016 秋•南昌校级月考）解方程
x
①2
3x
﹣
+2=0
4x
②
2
8x
7=
11
﹣
﹣
﹣
5x
2x
③
﹣
2=0
x
④2+6x
1=0
﹣
．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法．
【分析】①因式分解法求解可得；
②整理成一般式后，因式分解法求解可得；
③因式分解法求解可得；
④公式法求解可得．
【解答】解：①（x
1
﹣）（x
2
﹣）=0，
∴x
1=0
﹣
或x
2=0
﹣
，
解得：x=1 或x=2；
②原方程整理可得：x2
2x
﹣
+1=0，
∴（x
1
﹣）2=0，
解得：x=1；
x
③（5
2x
﹣
）=0，
∴x=0 或5
2x=0
﹣
，
解得x=0 或x=
；
④∵a=1，b=6，c=
1
﹣，
∴△=36+4=40＞0，
∴x=
=
3
﹣
．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方
法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
17．用配方法将二次函数化成y=a（x
h
﹣）2+k 的形式，并写出顶点坐标和对称轴
y=2x
①
2+6x
12
﹣
y=
0.5x
②
﹣
2
3x
﹣
+3．
【考点】二次函数的三种形式．
【分析】①②利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平
方式，可把一般式转化为顶点式，从而得出顶点坐标和对称轴．
【解答】解：①y=2x2+6x
12=2
﹣
（x+
）2﹣
，则该抛物线的顶点坐标是（﹣
，﹣
），对称
轴是x=﹣
；
y=
0.5x
②
﹣
2
3x
﹣
+3=﹣（x+3）2+
，则该抛物线的顶点坐标是（﹣3，
），对称轴是x=﹣
3．
【点评】此题考查了二次函数表达式的一般式与顶点式的转换，并要求熟练掌握顶点公式和
对称轴公式．
18．已知二次函数y=2x2
4x
6
﹣
﹣．
（1）用配方法将y=2x2
4x
6
﹣
﹣化成y=a（x
h
﹣）2+k 的形式；
（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（3）当x 取何值时，y 随x 的增大而减少？
（4）当x 取何值是，y=0，y＞0，y＜0，
（5）当0＜x＜4 时，求y 的取值范围；
（6）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积．
【考点】二次函数的三种形式；二次函数的图象；二次函数的性质．
【分析】（1）直接利用配方法得出函数顶点式即可；
（2）利用顶点式得出顶点坐标，进而得出函数与坐标轴交点进而画出函数图象；
（3）利用函数顶点式得出对称轴进而得出答案；
（4）利用函数图象得出答案即可；
（5）利用x=1 以及x=4 是求出函数值进而得出答案；
（6）利用函数图象得出三角形面积即可．
【解答】解：（1）y=2x2
4x
6
﹣
﹣
=2（x2
2x
﹣
）﹣6
=2（x
1
﹣）2
8
﹣；
（2）当y=0，则0=2（x
1
﹣）2
8
﹣，
解得：x1=
1
﹣，x2=3，
故图象与x 轴交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），
当x=0，y=
6
﹣，
故图象与y 轴交点坐标为：（0，﹣6），
如图所示：
；
（3）当x＜1 时，y 随x 的增大而减少；
（4）当x=1 或﹣3 时，y=0，
当x＜﹣1 或x＞3 时，y＞0，
当﹣1＜x＜3 时；y＜0；
（5）当0＜x＜4 时，
x=1 时，y=
8
﹣，x=4 时，y=10，
故y 的取值范围是：﹣8≤y＜10；
（6）如图所示：
函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积为：
×4×6=12．
【点评】此题主要考查了配方法求函数顶点坐标以及利用图象判断函数值以及三角形面积求
法，正确画出函数图象是解题关键．
19．二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴交于B、C 两点，与y 轴交于A 点．
（1）根据图象确定a、b、c 的符号，并说明理由；
（2）如果点A 的坐标为（0，﹣3），∠ABC=45°，∠ACB=60°，求这个二次函数的解析式．
【考点】二次函数综合题；解三元一次方程组；待定系数法求二次函数解析式．
【分析】（1）根据开口方向可确定a 的符号，由对称轴的符号，a 的符号，结合起来可确定b 的
符号，看抛物线与y 轴的交点可确定c 的符号；
（2）已知OA=3，解直角△OAB、△OAC 可得B、C 的坐标，设抛物线解析式的交点式，把A、
B、C 代入即可求解析式．
【解答】解：（1）∵抛物线开口向上
∴a＞0
又∵对称轴在y 轴的左侧
∴
＜0，
∴b＞0
又∵抛物线交y 轴的负半轴
∴c＜0
（2）连接AB，AC
∵在Rt△AOB 中，∠ABO=45°
∴∠OAB=45°，
∴OB=OA
∴B（﹣3，0）
又∵在Rt△ACO 中，∠ACO=60°
∴OC=OAcot=60°=
∴C（
，0）
设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）
由题意：
∴所求二次函数的解析式为y=
x2+（
﹣1）x
3
﹣．
【点评】本题考查了点的坐标求法，正确设抛物线解析式，求二次函数解析式的方法，需要学
生熟练掌握．
20．已知抛物线C1：y=x2
2
﹣（m+2）x+m2
10
﹣
的顶点A 到y 轴的距离为3．
（1）求顶点A 的坐标及m 的值；
（2）若抛物线与x 轴交于C、D 两点．点B 在抛物线C1上，且S△BCD=6
，求点B 的坐标．
【考点】抛物线与x 轴的交点．
【分析】（1）根据顶点A 到y 轴的距离为3，说明顶点A 的横坐标为3 或﹣3，根据公式﹣
代入列式，求出m 的值，分别代入解析式中，求出对应的顶点坐标A；也可以直接配方求得；
（2）先计算抛物线与x 轴的交点坐标，发现当m=
5
﹣时不符合题意，因此根据m=1 时，对应
的抛物线计算CD 的长，求出点B 的坐标．
【解答】解：（1）由题意得：﹣
=3 或﹣3，
∴m+2=3 或m+2=
3
﹣，
∴m=1 或﹣5，
当m=1 时，抛物线C1：y=x2
6x
9=
﹣
﹣
（x
3
﹣）2
18
﹣
，
∴顶点A 的坐标为（3，﹣18）；
当m=
5
﹣时，抛物线C1：y=x2+6x+15=（x+3）2+6，
∴顶点A 的坐标为（﹣3，6）；
（2）设B（a，b），
当抛物线C1：y=x2
6x
9=
﹣
﹣
（x
3
﹣）2
18
﹣
时，
当y=0 时，（x
3
﹣）2
18=0
﹣
，
x1=3+3
，x2=3
3
﹣
，
∴CD=3+3
+3
3=6
﹣
，
∵S△BCD=6
，
∴
CD•|b|=6
，
∴
×6
•|b|=6
，
∴b=±2，
当b=2 时，x2
6x
9=2
﹣
﹣
，
解得：x=3±2
，
当b=
2
﹣时，x2
6x
9=
2
﹣
﹣
﹣，
解得：x=7 或﹣1，
∴B（3+2
，2）或（3
2
﹣
，2）或（7，﹣2）或（﹣1，﹣2），
当抛物线C1：y=x2+6x+15=（x+3）2+6 时，
当y=0 时，（x+3）2+6=0，
此方程无实数解，所以此时抛物线与x 轴无交点，不符合题意，
∴B（3+2
，2）或（3
2
﹣
，2）或（7，﹣2）或（﹣1，﹣2）．
【点评】本题是二次函数性质的应用，考查了抛物线与x 轴的交点及顶点坐标，对于利用三角
形面积求点的坐标问题，解题思路为：设出该点的坐标，根据面积列方程，求出未知数的值，
再代入解析式中求另一坐标即可；同时要注意数形结合的思想的应用．
21．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价
是40 元．超市规定每盒售价不得少于45 元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45 元
时，每天可以卖出700 盒，每盒售价每提高1 元，每天要少卖出20 盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58 元．如果超市想要每
天获得不低于6000 元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据“当售价定为每盒45 元时，每天可以卖出700 盒，每盒售价每提高1 元，每
天要少卖出20 盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润=1 盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）先由（2）中所求得的P 与x 的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58 元，且
每天销售粽子的利润不低于6000 元，求出x 的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y
（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，y=700
20
﹣
（x
45
﹣
）=
20x
﹣
+1600；
（2）P=（x
40
﹣
）（﹣20x+1600）=
20x
﹣
2+2400x
64000=
20
﹣
﹣
（x
60
﹣
）2+8000，
∵x≥45，a=
20
﹣
＜0，
∴当x=60 时，P 最大值=8000 元，
即当每盒售价定为60 元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000 元；
（3）由题意，得﹣20（x
60
﹣
）2+8000=6000，
解得x1=50，x2=70．
∵抛物线P=
20
﹣
（x
60
﹣
）2+8000 的开口向下，
∴当50≤x≤70 时，每天销售粽子的利润不低于6000 元的利润．
又∵x≤58，
∴50≤x≤58．
∵在y=
20x
﹣
+1600 中，k=
20
﹣
＜0，
∴y 随x 的增大而减小，
∴当x=58 时，y 最小值=
20
﹣
×58+1600=440，
即超市每天至少销售粽子440 盒．
【点评】本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，主要利用了利润=1 盒粽子
所获得的利润×销售量，求函数的最值时，注意自变量的取值范围．
22．已知函数y=ax2+60x，在x＞20 时，y 随x 增大而减小，求：
（1）a 的取值范围；
（2）若该函数为飞机着陆后滑行距离y（m）与滑行时间x（s）之间的函数关系，已知函数的对
称轴为直线x=20，请写出自变量滑行时间的取值范围，并求出飞机着陆后需滑行多少米才能
停下来？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据二次函数性质可知该抛物线的对称轴x=﹣
≤20，得出关于a 的不等式，
解之即可；
（2）根据对称轴求出a，即可得二次函数解析式，将其配方成顶点式，根据函数取得最大值时
即飞机滑行停止滑行，据此解答即可．
【解答】解：（1）∵函数y=ax2+60x，在x＞20 时，y 随x 增大而减小，
∴a＜0 且﹣
≤20，
解得：a≤﹣
；
（2）根据题意得：﹣
=20，解得a=﹣
，
∴y=﹣
x2+60x=﹣
（x
20
﹣
）2+600，
则自变量x 的范围为0≤x≤20，且飞机着陆后需滑行600 米才能停下来．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质及顶点在具体问题中的实
际意义是解题的关键．
23．（14 分）（2016 秋•南昌校级月考）如图1，抛物线y=ax2+bx
4a
﹣
经过A（﹣1，0）、C（0，4）
两点，与x 轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P 为第一象限抛物线上一点，满足到线段CB 距离最大，求点P 坐标；
（3）如图3，若抛物线的对称轴EF（E 为抛物线顶点）与线段BC 相交于点F，M 为线段BC 上
的任意一点，过点M 作MN∥EF 交抛物线于点N，以E，F，M，N 为顶点的四边形能否为平行
四边形？若能，求点N 的坐标；若不能，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据抛物线y=ax2+bx
4a
﹣
经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，列出a 和b 的二元一次
方程组，求出a 和b 的值，进而求出点B 的坐标，即可求出直线BC 的解析式；
（2）过点P 作PQ∥y 轴，交直线BC 于Q，设P（x，﹣x2+3x+4），则Q（x，﹣x+4）；求出PQ 的长，
利用S△PCB=
PQ•OB 列出S 关于x 的二次函数，利用函数的性质求出面积的最大值，进而求
出点P 的坐标；
（3）首先求出EF 的长，设N（x，﹣x2+3x+4），则M（x，﹣x+4），利用平行四边形对边平行且相
等列出x 的一元二次方程，解方程求出x 的值即可．
【解答】解：（1）由题意得
，
解得
．
∴抛物线的解析式：y=
x
﹣2+3x+4．
（2）由B（4，0）、C（0，4）可知，直线BC：y=
x
﹣+4；
如图1，过点P 作PQ∥y 轴，交直线BC 于Q，设P（x，﹣x2+3x+4），则Q（x，﹣x+4）；
∴PQ=（﹣x2+3x+4）﹣（﹣x+4）=
x
﹣2+4x；
S△PCB=
PQ•OB=
×（﹣x2+4x）×4=
2
﹣（x
2
﹣）2+8；
∴当P（2，6）时，△PCB 的面积最大；
（3）存在．
抛物线y=
x
﹣2+3x+4 的顶点坐标E（
，
），
直线BC：y=
x
﹣+4；当x=
时，F（
，
），
∴EF=
．
如图2，过点M 作MN∥EF，交直线BC 于M，设N（x，﹣x2+3x+4），则M（x，﹣x+4）；
∴MN=|（﹣x2+3x+4）﹣（﹣x+4）|=|
x
﹣2+4x|；
当EF 与NM 平行且相等时，四边形EFMN 是平行四边形，
∴|
x
﹣2+4x|=
；
由﹣x2+4x=
时，解得x1=
，x2=
（不合题意，舍去）．
当x=
时，y=﹣（
）2+3×
+4=
，
∴N1（
，
）．
当﹣x2+4x=﹣
时，解得x=
，
当x=
时，y=
，
∴N2（
，
），
当x=
时，y=
，
∴N3（
，
），
综上所述，点N 坐标为（
，
）或（
，
）或（
，
）．
【点评】本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到待定系数法求函数解析式，二次函数的
性质、三角形面积的计算、平行四边形的判定等知识，解答（2）问关键是用x 表示出PQ 的长，
解答（3）问关键是求出EF 的长，利用平行四边形对边平行且相等进行解答，此题有一定的难
度．
