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广西贵港市港南区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共12 小题，每小题3 分，满分36 分）
1．（3 分）方程（x
2
﹣）（x+3）=0 的解是（ ）
A．x=2 B．x=
3
﹣C．x1=
2
﹣，x2=3 D．x1=2，x2=
3
﹣
2．（3 分）抛物线y=2（x
3
﹣）2+1 的顶点坐标是（ ）
A．（3，1）B．（4，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）
3．（3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
等边三角形
B．
平行四边形
C．
正方形
D．
正五边形
4．（3 分）一元二次方程2x2
5x
﹣
+1=0 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
5．（3 分）若n（n≠0）是关于x 的方程x2+mx+2n=0 的根，则m+n 的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1
D．﹣2
6．（3 分）下列说法正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．直径是同一个圆中最长的弦D．过三点能确定一个圆
7．（3 分）若点P（m，﹣m+3）关于原点的对称点Q 在第三象限，那么m 的取值范围是（ ）
A．0＜m＜3 B．m＜0 C．m＞0 D．m≥0
8．（3 分）某超市一月份的营业额为36 万元，三月份的营业额为48 万元，设每月的平均增长
率为x，则可列方程为（ ）
A．48（1
x
﹣）2=36 B．48（1+x）2=36 C．36（1
x
﹣）2=48 D．36（1+x）2=48
9．（3 分）若两个连续整数的积是56，则它们的和为（ ）
A．11
B．15
C．﹣15 D．±15
10．（3 分）如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12 米，拱高CD=4 米，则拱桥的半径为（ ）
A．6.5 米B．9 米C．13 米D．15 米
11．（3 分）如图，已知⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，
∠ABD=58°，则∠BCD 等于（ ）
A．16°
B．32°
C．58°
D．64°
12．
（3 分）如图所示，已知△ABC 与△CDA 关于点O 对称，过O 任作直线EF 分别交AD、BC
于点E、F，下面的结论：
①点E 和点F，点B 和点D 是关于中心O 对称点；
②直线BD 必经过点O；
③四边形DEOC 与四边形BFOA 的面积必相等；
④△AOE 与△COF 成中心对称．
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共6 小题，每小题3 分，满分18 分）
13．（3 分）把方程（2x+1）2
x=
﹣
（x+1）（x
1
﹣）化成一般形式是 ．
14．（3 分）若x=
2
﹣是关于x 的一元二次方程x2
mx
﹣
+8=0 的一个解，则m 的值是 ．
15．（3 分）若函数y=mx2+2x+1 的图象与x 轴只有一个公共点，则常数m 的值是 ．
16．（3 分）正三角形中心旋转 度的整倍数之后能和自己重合．
17．（3 分）如图，∠AOB=30°，OM=6，那么以M 为圆心，4 为半径的圆与直OA 的位置关系是
．
18．（3 分）如图①，在△AOB 中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4．将△AOB 沿x 轴依次以点A、
B、O 为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标
为 ．
三、解答题（共8 小题，满分66 分）
19．（5 分）（1）7x（5x+2）=6（5x+2）
（2）关于x 的一元二次方程x2+3x+m
1=0
﹣
有两个实数根，求m 的取值范围．
20．（10 分）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC 向左平移5 个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC 关于原点对称的△A2B2C2；
（3）在x 轴上求作一点P，使△PAB 的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P 的坐标．
21．（7 分）如图，要利用一面墙（墙长为25 米）建羊圈，用100 米的围栏围成总面积为400 平
方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC 各为多少米？
22．（8 分）如图，PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 为切点，∠OAB=30 度．
（1）求∠APB 的度数；
（2）当OA=3 时，求AP 的长．
23．（8 分）某商场在销售中发现：某名牌衬衣平均每天可售出20 件，每件衬衣盈利40 元．为
了迎接元旦节，扩大销售量，减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如
果每件衬衣降价1 元，商场平均每天可多售出2 件．要想平均每天盈利1200 元，每件衬衣应
降价多少元？
24．（7 分）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转
n 度后，得到△DEC，点D 刚好落在AB 边上．
（1）求n 的值；
（2）若F 是DE 的中点，判断四边形ACFD 的形状，并说明理由．
25．（11 分）已知抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）的顶点为M，经过原点O 且与x 轴
另一交点为A．
（1）求点A 的坐标；
（2）若△AMO 为等腰直角三角形，求抛物线C1的解析式；
（3）现将抛物线C1绕着点P（m，0）旋转180°后得到抛物线C2，若抛物线C2的顶点为N，当
b=1，且顶点N 在抛物线C1上时，求m 的值．
26．（10 分）如图1，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点D 为射线BC 上一点，连接AD，以AD 为
一边且在AD 的右侧作正方形ADEF．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图2，线段CF、BD 所在直线的位置关系为 ，
线段CF、BD 的数量关系为 ；
②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（2）如果AB≠AC，∠BAC 是锐角，点D 在线段BC 上，当∠ACB 满足 条件时，CF⊥BC
（点C、F 不重合），不用说明理由．
广西贵港市港南区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12 小题，每小题3 分，满分36 分）
1．（3 分）（2013•河南）方程（x
2
﹣）（x+3）=0 的解是（ ）
A．x=2 B．x=
3
﹣C．x1=
2
﹣，x2=3 D．x1=2，x2=
3
﹣
【分析】根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（x
2
﹣）（x+3）=0，
x
2=0
﹣
，x+3=0，
x1=2，x2=
3
﹣，
故选D．
【点评】本题考查了解一元关键是能把一元一次方程和解一元二次方程的应用，关键是能把
一元二次方程转化成一元一次方程．
2．（3 分）（2016 秋•港南区期中）抛物线y=2（x
3
﹣）2+1 的顶点坐标是（ ）
A．（3，1）B．（4，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）
【分析】由抛物线解析式可求得其顶点坐标．
【解答】解：
∵y=2（x
3
﹣）2+1，
∴抛物线顶点坐标为（3，1），
故选A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣
h）2+k 中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
3．（3 分）（2016•青神县模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
等边三角形
B．
平行四边形
C．
正方形
D．
正五边形
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以
及轴对称图形的定义即可判断出．
【解答】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对
称图形，故此选项错误；
B、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此
选项错误；
C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项
正确；
D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故
此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题
的关键．
4．（3 分）（2013•昆明）一元二次方程2x2
5x
﹣
+1=0 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【分析】求出根的判别式△，然后选择答案即可．
【解答】解：∵△=（﹣5）2
4
﹣×2×1=25
8=17
﹣
＞0，
∴方程有有两个不相等的实数根．
故选A．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
5．（3 分）（2014•裕华区一模）若n（n≠0）是关于x 的方程x2+mx+2n=0 的根，则m+n 的值为（
）
A．1 B．2 C．﹣1
D．﹣2
【分析】把x=n 代入方程得出n2+mn+2n=0，方程两边都除以n 得出m+n+2=0，求出即可．
【解答】解：∵n（n≠0）是关于x 的方程x2+mx+2n=0 的根，
代入得：n2+mn+2n=0，
∵n≠0，
∴方程两边都除以n 得：n+m+2=0，
∴m+n=
2
﹣．
故选D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，能运用巧妙的方法求出m+n 的值是解此题的
关键，题型较好，难度适中．
6．（3 分）（2016 秋•西山区期中）下列说法正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．直径是同一个圆中最长的弦D．过三点能确定一个圆
【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不
正确选项，从而得出正确选项．（1）等弧指的是在同圆或等圆中，能够完全重合的弧．长度相
等的两条弧，不一定能够完全重合；（2）此弦不能是直径；（3）相等的圆心角所对的弦相等指
的是在同圆或等圆中．
【解答】解：A、长度相等的两条弧是等弧，错误．
B、平分弦的直径垂直于弦，此命题错误；
B、直径是同一个圆中最长的弦，命题正确；
C、过三点能确定一个圆，此命题错误；
故选C．
【点评】本题考查知识较多，解题的关键是运用相关基础知识逐一分析才能找出正确选项．
7．
（3 分）
（2016 秋•港南区期中）若点P（m，﹣m+3）关于原点的对称点Q 在第三象限，那么m
的取值范围是（ ）
A．0＜m＜3 B．m＜0 C．m＞0 D．m≥0
【分析】根据第三象限内的点的纵坐标小于零，纵坐标小于零，可得不等式组，根据解不等式
组，可得答案．
【解答】解：由题意，得
，
解得0＜m＜3，
故选：A．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的坐标得出不等式组
是解题关键．
8．（3 分）（2013•定西）某超市一月份的营业额为36 万元，三月份的营业额为48 万元，设每月
的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．48（1
x
﹣）2=36 B．48（1+x）2=36 C．36（1
x
﹣）2=48 D．36（1+x）2=48
【分析】三月份的营业额=一月份的营业额×（1+增长率）2，把相关数值代入即可．
【解答】解：二月份的营业额为36（1+x），
三月份的营业额为36（1+x）×（1+x）=36（1+x）2，
即所列的方程为36（1+x）2=48，
故选D．
【点评】考查列一元二次方程；得到三月份的营业额的关系是解决本题的关键．
9．（3 分）（2016 秋•港南区期中）若两个连续整数的积是56，则它们的和为（ ）
A．11
B．15
C．﹣15 D．±15
【分析】设这两个连续整数中较小的一个是为x，则较大的是x+1．根据两个连续整数的积是x
（x+1），根据关键描述语“两个连续整数的积是56”，即可列出方程求得x 的值，进而求得这
两个数的和．
【解答】解：设这两个连续整数为x，x+1．
则x（x+1）=56，
解之得，x1=7 或x2=
8
﹣，
则x+1=8 或﹣7，
则它们的和为±15．
故选D
【点评】此题的关键是能用代数式表示两个连续整数．
10．（3 分）（2011•桂林模拟）如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12 米，拱高CD=4 米，则拱桥的半
径为（ ）
A．6.5 米B．9 米C．13 米D．15 米
【分析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O．
连接OA．根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O
连接OA．根据垂径定理，得AD=6
设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2=36+（r
4
﹣）2，解得r=6.5
故选：A．
【点评】此题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角
三角形进行有关的计算．
11．（3 分）（2016 秋•港南区期中）如图，已知⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，CD
是⊙O 的弦，∠ABD=58°，则∠BCD 等于（ ）
A．16°
B．32°
C．58°
D．64°
【分析】根据圆周角定理得到∠ADB=90°，求出∠A 的度数，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A=90°﹣∠ABD=32°，
则∠BCD=∠A=32°，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆和外心，掌握圆周角定理是解题的关键．
12．（3 分）（2016 秋•港南区期中）如图所示，已知△ABC 与△CDA 关于点O 对称，过O 任作
直线EF 分别交AD、BC 于点E、F，下面的结论：
①点E 和点F，点B 和点D 是关于中心O 对称点；
②直线BD 必经过点O；
③四边形DEOC 与四边形BFOA 的面积必相等；
④△AOE 与△COF 成中心对称．
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由于△ABC 与△CDA 关于点O 对称，那么可得到AB=CD、AD=BC，即四边形ABCD
是平行四边形，由于平行四边形是中心对称图形，且对称中心是对角线交点，据此对各结论
进行判断．
【解答】解：△ABC 与△CDA 关于点O 对称，则AB=CD、AD=BC，
所以四边形ABCD 是平行四边形，即点O 就是▱ABCD 的对称中心，则有：
（1）点E 和点F，B 和D 是关于中心O 的对称点，正确；
（2）直线BD 必经过点O，正确；
（3）四边形DEOC 与四边形BFOA 的面积必相等，正确；
（5）△AOE 与△COF 成中心对称，正确；
其中正确的个数为4 个，
故选D．
【点评】本题主要考查了中心对称的性质以及平行四边形的性质的运用，熟练掌握平行四边
形的性质及中心对称图形的性质是解决此题的关键．解题时注意：关于中心对称的两个图形，
对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
二、填空题（共6 小题，每小题3 分，满分18 分）
13．（3 分）（2016 秋•港南区期中）把方程（2x+1）2
x=
﹣
（x+1）（x
1
﹣）化成一般形式是
3x
2 + 3x
+ 2=0
．
【分析】把方程化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式即可．
【解答】解：4x2+4x+1
x=x
﹣
2
1
﹣，
4x2+4x+1
x
x
﹣﹣2+1=0，
3x2+3x+2=0，
故答案为：3x2+3x+2=0．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x 的一元二次
方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项；c 叫做常数项．
14．（3 分）（2016 秋•港南区期中）若x=
2
﹣是关于x 的一元二次方程x2
mx
﹣
+8=0 的一个解，
则m 的值是 ﹣
6
．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=
2
﹣代入一元二次方程得到关于m 的一次方程，
然后解此一元一次方程即可得到m 的值．
【解答】解：把x=
2
﹣代入方程x2
mx
﹣
+8=0 得4+2m+8=0，
解得m=
6
﹣．
故答案为﹣6．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一
元二次方程的解．
15．（3 分）（2013•宿迁）若函数y=mx2+2x+1 的图象与x 轴只有一个公共点，则常数m 的值是
0 或
1
．
【分析】需要分类讨论：
①若m=0，则函数为一次函数；
②若m≠0，则函数为二次函数．由抛物线与x 轴只有一个交点，得到根的判别式的值等于0，
且m 不为0，即可求出m 的值．
【解答】解：①若m=0，则函数y=2x+1，是一次函数，与x 轴只有一个交点；
②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1，是二次函数．
根据题意得：△=4
4m=0
﹣
，
解得：m=1．
故答案为：0 或1．
【点评】此题考查了一次函数的性质与抛物线与x 轴的交点，抛物线与x 轴的交点个数由根的
判别式的值来确定．本题中函数可能是二次函数，也可能是一次函数，需要分类讨论，这是本
题的容易失分之处．
16．（3 分）（2016 秋•港南区期中）正三角形中心旋转
120
度的整倍数之后能和自己重合．
【分析】根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答．
【解答】解：∵360°÷3=120°，
∴该图形绕中心至少旋转120 度后能和原来的图案互相重合．
故答案为：120．
【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做
旋转角．
17．（3 分）（2016 秋•港南区期中）如图，∠AOB=30°，OM=6，那么以M 为圆心，4 为半径的圆
与直OA 的位置关系是 相交 ．
【分析】利用直线l 和⊙O 相切⇔d=r，进而判断得出即可．
【解答】解：过点M 作MD⊥AO 于点D，
∵∠AOB=30°，OM=6，
∴MD=3，
∴MD＜r
∴以点m 为圆心，半径为34 的圆与OA 的位置关系是：相交．
故答案为：相交．
【点评】此题主要考查了直线与圆的位置，正确掌握直线与圆相切时d 与r 的关系是解题关键．
18．
（3 分）（2011•莱芜）如图①，在△AOB 中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4．将△AOB 沿x 轴依
次以点A、B、O 为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角
顶点的坐标为 （
36
，
0 ）
．
【分析】如图，在△AOB 中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，则AB=5，每旋转3 次为一循环，则图
③、④的直角顶点坐标为（12，0），图⑥、⑦的直角顶点坐标为（24，0），所以，图⑨、⑩10 的直
角顶点为（36，0）．
【解答】解：∵在△AOB 中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，
∴AB=5，
∴图③、④的直角顶点坐标为（12，0），
∵每旋转3 次为一循环，
∴图⑥、⑦的直角顶点坐标为（24，0），
∴图⑨、⑩的直角顶点为（36，0）．
故答案为：（36，0）．
【点评】本题主要考查了旋转的性质、坐标与图形的性质及勾股定理，找出图形旋转的规律
“旋转3 次为一循环”，是解答本题的关键．
三、解答题（共8 小题，满分66 分）
19．（5 分）（2016 秋•港南区期中）（1）7x（5x+2）=6（5x+2）
（2）关于x 的一元二次方程x2+3x+m
1=0
﹣
有两个实数根，求m 的取值范围．
【分析】（1）先移项，然后根据提公因式法可以解答此方程；
（2）由题意可知，△≥0，从而可以求得m 的取值范围．
【解答】解：（1）7x（5x+2）=6（5x+2）
7x（5x+2）﹣6（5x+2）=0
（5x+2）（7x
6
﹣）=0，
∴5x+2=0 或7x
6=0
﹣
，
解得，x1=﹣
，x2=
；
（2）∵于x 的一元二次方程x2+3x+m
1=0
﹣
有两个实数根，
∴32
4
﹣×1×（m
1
﹣）≥0，
解得，m≤
，
即m 的取值范围是m≤
．
【点评】本题考查解一元二次方程、根的判别式，解题的关键是明确它们各自的意义．
20．（10 分）（2014•南宁）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC 向左平移5 个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC 关于原点对称的△A2B2C2；
（3）在x 轴上求作一点P，使△PAB 的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P 的坐标．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C 平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接
即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C 关于原点的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（3）找出点A 关于x 轴的对称点A′，连接A′B 与x 轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线
问题，交点即为所求的点P 的位置，然后连接AP、BP 并根据图象写出点P 的坐标即可．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示；
（3）△PAB 如图所示，P（2，0）．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练
掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
21．（7 分）（2014•新疆）如图，要利用一面墙（墙长为25 米）建羊圈，用100 米的围栏围成总
面积为400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC 各为多少米？
【分析】设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（100
4x
﹣
）米；然后根据矩形的面积公式列出方
程．
【解答】解：设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（100
4x
﹣
）米．
根据题意得 （100
4x
﹣
）x=400，
解得 x1=20，x2=5．
则100
4x=20
﹣
或100
4x=80
﹣
．
∵80＞25，
∴x2=5 舍去．
即AB=20，BC=20．
答：羊圈的边长AB，BC 分别是20 米、20 米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条
件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
22．（8 分）（2006•宿迁）如图，PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 为切点，∠OAB=30 度．
（1）求∠APB 的度数；
（2）当OA=3 时，求AP 的长．
【分析】（1）方法1，根据四边形的内角和为360°，根据切线的性质可知：
∠OAP=∠OBP=90°，求出∠AOB 的度数，可将∠APB 的度数求出；方法2，证明△ABP 为等
边三角形，从而可将∠APB 的度数求出；
（2）方法1，作辅助线，连接OP，在Rt△OAP 中，利用三角函数，可将AP 的长求出；方法2，
作辅助线，过点O 作OD⊥AB 于点D，在Rt△OAD 中，将AD 的长求出，从而将AB 的长求
出，也即AP 的长．
【解答】解：（1）方法一：
∵在△ABO 中，OA=OB，∠OAB=30°，
∴∠AOB=180°
2
﹣×30°=120°，
∵PA、PB 是⊙O 的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，
∴在四边形OAPB 中，
∠APB=360°
120°
90°
90°=60°
﹣
﹣
﹣
．
方法二：
∵PA、PB 是⊙O 的切线∴PA=PB，OA⊥PA；
∵∠OAB=30°，OA⊥PA，
∴∠BAP=90°
30°=60°
﹣
，
∴△ABP 是等边三角形，
∴∠APB=60°．
（2）方法一：如图①，连接OP；
∵PA、PB 是⊙O 的切线，
∴PO 平分∠APB，即∠APO=
∠APB=30°，
又∵在Rt△OAP 中，OA=3，∠APO=30°，
∴AP=
=3
．
方法二：如图②，作OD⊥AB 交AB 于点D；
∵在△OAB 中，OA=OB，
∴AD=
AB；
∵在Rt△AOD 中，OA=3，∠OAD=30°，
∴AD=OA•cos30°=
，
∴AP=AB=
．
【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论
证，常通作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
23．（8 分）（2014 秋•集安市期末）某商场在销售中发现：某名牌衬衣平均每天可售出20 件，
每件衬衣盈利40 元．为了迎接元旦节，扩大销售量，减少库存，商场决定采取适当的降价措
施，经市场调查发现，如果每件衬衣降价1 元，商场平均每天可多售出2 件．要想平均每天盈
利1200 元，每件衬衣应降价多少元？
【分析】利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即
可；
【解答】解：设每件衬衫应降价x 元．
根据题意，得 （40
x
﹣）（20+2x）=1200
整理，得x2
30x
﹣
+200=0
解之得 x1=10，x2=20．
∵“扩大销售量，减少库存”，
∴x1=10 应略去，
∴x=20，
答：每件衬衫应降价20 元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每
件盈利=每天销售的利润是解题关键．
24．（7 分）（2014•咸宁）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC 绕点C 按顺
时针方向旋转n 度后，得到△DEC，点D 刚好落在AB 边上．
（1）求n 的值；
（2）若F 是DE 的中点，判断四边形ACFD 的形状，并说明理由．
【分析】（1）利用旋转的性质得出AC=CD，进而得出△ADC 是等边三角形，即可得出∠ACD
的度数；
（2）利用直角三角形的性质得出FC=DF，进而得出AD=AC=FC=DF，即可得出答案．
【解答】解：
（1）∵在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转
n 度后，得到△DEC，
∴AC=DC，∠A=60°，
∴△ADC 是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴n 的值是60；
（2）四边形ACFD 是菱形；
理由：∵∠DCE=∠ACB=90°，F 是DE 的中点，
∴FC=DF=FE，
∵∠CDF=∠A=60°，
∴△DFC 是等边三角形，
∴DF=DC=FC，
∵△ADC 是等边三角形，
∴AD=AC=DC，
∴AD=AC=FC=DF，
∴四边形ACFD 是菱形．
【点评】此题主要考查了菱形的判定以及旋转的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半等知识，得出△DFC 是等边三角形是解题关键．
25．（11 分）（2016•吉安校级一模）已知抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）的顶点为M，
经过原点O 且与x 轴另一交点为A．
（1）求点A 的坐标；
（2）若△AMO 为等腰直角三角形，求抛物线C1的解析式；
（3）现将抛物线C1绕着点P（m，0）旋转180°后得到抛物线C2，若抛物线C2的顶点为N，当
b=1，且顶点N 在抛物线C1上时，求m 的值．
【分析】（1）由抛物线经过原点可知当x=0 时，y=0，由此可得关于x 的一元二次方程，解方程
即可求出抛物线x 轴另一交点坐标；
（2）由△AMO 为等腰直角三角形，抛物线的顶点为M，可求出b 的值，再把原点坐标（0，0）
代入求出a 的值，即可求出抛物线C1的解析式；
（3）由b=1，易求线抛物线C1的解析式，设N（n，﹣1），再由点P（m，0）可求出n 和m 的关系，
当顶点N 在抛物线C1上可把N 的坐标代入抛物线即可求出m 的值．
【解答】解：（1）∵抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）经过原点O，
∴0=4a+b，
∴当ax2+4ax+4a+b=0 时，则ax2+4ax=0，
解得：x=0 或﹣4，
∴抛物线与x 轴另一交点A 坐标是（﹣4，0）；
（2）∵抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b（a≠0，b＞0），（如图1）
∴顶点M 坐标为（﹣2，b），
∵△AMO 为等腰直角三角形，
∴b=2，
∵抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b 过原点，
∴a（0+2）2+2=0，
解得：a=﹣
，
∴抛物线C1：y=﹣
x2
2x
﹣
；
（3）∵b=1，抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b 过原点，（如图2）
∴a=﹣
，
∴y=﹣
（x+2）2+1=﹣
x2
x
﹣，
设N（n，﹣1），又因为点P（m，0），
∴n
m=m
﹣
+2，
∴n=2m+2
即点N 的坐标是（2m+2，﹣1），
∵顶点N 在抛物线C1上，
∴﹣1=﹣
（2m+2+2）2+1，
解得：m=
2
﹣+
或﹣2﹣
．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．由于抛物线旋转后的形状不变，故|a|不变，所
以求旋转移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点旋转移
后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑旋转后的顶点坐标，即可求出解析式．
26．（10 分）（2016 秋•宜兴市期中）如图1，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点D 为射线BC 上
一点，连接AD，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF．（提示：正方形的四条边都相
等，四个角都是直角）
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图2，线段CF、BD 所在直线的位置关系为 垂
直 ，线段CF、BD 的数量关系为 相等 ；
②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（2）如果AB≠AC，∠BAC 是锐角，点D 在线段BC 上，当∠ACB 满足
45°
条件时，
CF⊥BC（点C、F 不重合），不用说明理由．
【分析】（1）①证明△BAD≌△CAF，可得：BD=CF，∠B=∠ACF=45°，则
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，所以BD 与CF 相等且垂直；
②①的结论仍成立，同理证明△DAB≌△FAC，可得结论：垂直且相等；
（2）当∠ACB 满足45°时，CF⊥BC；如图4，作辅助线，证明△QAD≌△CAF，即可得出结论．
【解答】解：（1）①CF 与BD 位置关系是垂直，数量关系是相等，理由是：
如图2，∵四边形ADEF 是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∴∠DAC+∠CAF=90°，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，且∠B=∠ACB=45°，
∴∠CAF=∠BAD，
∴△BAD≌△CAF，
∴BD=CF，∠B=∠ACF=45°，
∴∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
即∠BCF=90°，
∴BC⊥CF，
即BD⊥CF；
故答案为：垂直，相等；
②当点D 在BC 的延长线上时，①的结论仍成立，理由是：
如图3，由正方形ADEF 得AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC，
又∵AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∠ACF=∠ABD，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACF=∠ABC=45°
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD；
（2）当∠BCA=45°时，CF⊥BD，理由是：
如图4，过点A 作AQ⊥AC，交BC 于点Q，
∵∠BCA=45°，
∴∠AQC=45°，
∴∠AQC=∠BCA，
∴AC=AQ，
∵AD=AF，∠QAC=∠DAF=90°，
∴∠QAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，
∴∠QAD=∠CAF，
∴△QAD≌△CAF，
∴∠ACF=∠AQD=45°，
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形、等腰直角三角形、全等三角形的性质和判定，
本题的三个结论都是证明三角形全等得出，所以利用SAS 证明三角形全等是本题的关键；第
（2）问，恰当地作辅助线，构建等腰直角三角形，同样也是构建两个三角形全等得出结论．
