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正方形（提高）
责编：杜少波
【学习目标】
1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；
2．掌握正方形的性质及判定方法．
【要点梳理】
要点一、正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更
为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.
要点二、正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；
2.角——四个角都是直角；
3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；
4.是轴对称图形，有4 条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.
要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个
等腰直角三角形.
要点三、正方形的判定
正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是
直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相
垂直（即菱形）.
要点四、特殊平行四边形之间的关系
或者可表示为：
【典型例题】
类型一、正方形的性质
1、如图，在正方形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，E、F 分别在OD、OC 上，且DE＝CF，
连接DF、AE，AE 的延长线交DF 于点M．
求证：AM⊥DF．
【思路点拨】根据DE＝CF，可得出OE＝OF，继而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE＝∠ODF，然后
利用等角代换可得出∠DME＝90°，即得出了结论．
【答案与解析】
证明：∵ABCD 是正方形，
∴OD＝OC，
又∵DE＝CF，
∴OD－DE＝OC－CF，即OE＝OF，
在Rt△AOE 和Rt△DOF 中，
AO
DO
AOD
DOF
OE
OF
，
∴△AOE≌△DOF，
∴∠OAE＝∠ODF，
∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，
∴∠ODF＋∠DEM＝90°，
即可得AM⊥DF．
【总结升华】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是通过全
等的证明得出∠OAE＝∠ODF，利用等角代换解题．
举一反三：
【变式1】如图四边形ABCD 是正方形，点E、K 分别在BC，AB 上，点G 在BA 的延长线上，且CE＝
BK＝AG．以线段DE、DG 为边作DEFG．
(1)求证：DE＝DG，且DE⊥DG．
(2)连接KF，猜想四边形CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．
【答案】
证明：(1)∵ 四边形ABCD 是正方形，
∴ DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90°．
又∵ CE＝AG，
∴ △DCE≌△DAG，
∴ ∠EDC＝∠GDA，DE＝DG．
又∵ ∠ADE＋∠EDC＝90°，
∴ ∠ADE＋∠GDA＝90°，
∴ DE⊥DG．
(2)四边形CEFK 为平行四边形．
证明：设CK，DE 相交于M 点，
∵ 四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形，
∴ AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG；
∵ BK＝AG，∴ KG＝AB＝CD．
∴ 四边形CKGD 为平行四边形．
∴ CK＝DG＝EF，CK∥DG∥EF
∴ 四边形CEFK 为平行四边形．
【高清课堂 417083 正方形 例9】
【变式2】如图，三个边长均为2 的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴
影部分的面积是_______．
【答案】2；
提示：阴影部分面积等于正方形面积的一半.
类型二、正方形的判定
2、
（2016•普宁市模拟）如图，矩形ABCD 中，AD=6，DC=8，菱形EFGH 的三个顶点E、G、H 分
別在矩形ABCD 的边AB、CD、DA 上，AH=2．
（1）已知DG=6，求AE 的长；
（2）已知DG=2，求证：四边形EFGH 为正方形．
【思路点拨】（1）先根据矩形的性质，利用勾股定理列出表达式：HG2=DH2+DG2，HE2=AH2+AE2，再
根据菱形的性质，得到等式DH2+DG2=AH2+AE2，最后计算AE 的长；
（2）先根据已知条件，用HL 判定Rt△DHG≌Rt△AEH，得到菱形的一组邻边相等，进而判定该
菱形为正方形．
【答案与解析】
解：（1）∵AD=6，AH=2
∴DH=AD﹣AH=4
∵四边形ABCD 是矩形
∴∠A=∠D=90°
∴在Rt△DHG 中，HG2=DH2+DG2
在Rt△AEH 中，HE2=AH2+AE2
∵四边形EFGH 是菱形
∴HG=HE
∴DH2+DG2=AH2+AE2
即42+62=22+AE2
∴AE=
=4
（2）∵AH=2，DG=2
∴AH=DG
∵四边形EFGH 是菱形
∴HG=HE
在Rt△DHG 和Rt△AEH 中
∴Rt△DHG≌Rt△AEH（HL）
∴∠DHG=∠AEH
∵∠AEH+∠AHE=90°
∴∠DHG+∠AHE=90°
∴∠GHE=90°
∵四边形EFGH 是菱形
∴四边形EFGH 是正方形
【总结升华】本题主要考查了矩形、菱形的性质以及正方形的判定，解决问题的关键是掌握：
矩形的四个角都是直角，菱形的四条边都线段，有一组邻边相等的菱形是正方形．在解题时
注意，求直角三角形的边长时，一般都需要考虑运用勾股定理进行求解．
举一反三：
【变式】（2015 春•上城区期末）如图，矩形ABCD 中，AD=6，DC=8，菱形EFGH 的三个顶点E，G，H
分别在矩形ABCD 的边AB，CD，DA 上，AH=2，连结CF．
（1）若DG=2，求证：四边形EFGH 为正方形；
（2）若DG=6，求△FCG 的面积．
【答案】
（1）证明：∵四边形EFGH 为菱形，
∴HG=EH，
∵AH=2，DG=2，
∴DG=AH，
在Rt△DHG 和△AEH 中，
，
∴Rt△DHG≌△AEH，
∴∠DHG=∠AEH，
∵∠AEH+∠AHG=90°，
∴∠DHG+∠AHG=90°，
∴∠GHE=90°，
∵四边形EFGH 为菱形，
∴四边形EFGH 为正方形；
（2）解：作FQ⊥CD 于Q，连结GE，如图，
∵四边形ABCD 为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，
∵四边形EFGH 为菱形，
∴HE=GF，HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠QGF，
在△AEH 和△QGF 中
，
∴△AEH≌△QGF，
∴AH=QF=2，
∵DG=6，CD=8，
∴CG=2，
∴△FCG 的面积= CG•FQ= ×2×2=2．
类型三、正方形综合应用
3、E、F 分别是正方形ABCD 的边AD 和CD 上的点，若∠EBF＝45°．
(1)求证：AE＋CF＝EF．
(2)若E 点、F 点分别是边DA、CD 的延长线上的点，结论（1）仍成立吗？若成立，请证明，
若不成立，写出正确结论并加以证明．
【答案与解析】
证明：（1）延长DC，使CH＝AE，连接BH，
∵ 四边形ABCD 是正方形，
∴ ∠A＝∠BCH＝90°，又AB＝BC，CH＝AE，
∴ Rt△BAE≌Rt△BCH，
∴ ∠1＝∠2，BE＝BH．
又∵ ∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠4＝45°，
∴ ∠1＋∠3＝45°，∠2＋∠3＝45°，
在△EBF 和△HBF 中，
,
,
,
BE
BH
EBF
HBF
BF
BF
∴ △EBF≌△HBF，
∴ EF＝FH＝FC＋CH＝AE＋CF．即AE＋CF＝EF．
(2)如图所示：不成立，正确结论：EF＝CF－AE．
证明：在CF 上截取CH＝AE，连接BH．
∵ 四边形ABCD 是正方形，
∴ 在Rt△EAB 和Rt△HCB 中，
90
AE
CH
EAB
HCB
AB
BC
,
° ,
,
∴ Rt△EAB≌Rt△HCB，
∴ BE＝BH，∠EBA＝∠HBC．
∵ ∠HBC ＋∠ABH＝90°，∴ ∠EBA ＋∠ABH＝90°．
又∵ ∠EBF＝45°，∴ ∠HBF＝45°，
即∠EBF＝∠HBF．
在△EBF 和△HBF 中
,
,
,
BE
BH
EBF
HBF
BF
BF
∴ △EBF≌△HBF，
∴ EF＝FH＝CF－CH＝CF－AE，即EF＝CF－AE．
【总结升华】本题主要考察正方形的性质，全等三角形的性质和判定，关键在于用“截长补
短”的方法正确地作出辅助线.
4、如图①所示，已知A、B 为直线l 上两点，点C 为直线l 上方一动点，连接AC、BC，分别
以AC、BC 为边向△ABC 外作正方形CADF 和正方形CBEG，过点D 作
1
DD ⊥l 于点
1
D ，
过点E 作
1
EE ⊥l 于点
1
E ．
（1）如图②，当点E 恰好在直线l 上时（此时
1
E 与E 重合），试说明
1
DD ＝AB；
（2）在图①中，当D、E 两点都在直线l 的上方时，试探求三条线段
1
DD 、
1
EE 、AB 之间
的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点E 在直线l 的下方时，请直接写出三条线段
1
DD 、
1
EE 、AB 之间的数
量关系．（不需要证明）
【答案与解析】
（1）证明：∵四边形CADF、CBEG 是正方形，
∴AD＝CA，∠DAC＝∠ABC＝90°，
∴∠
1
DAD ＋∠CAB＝90°，
∵
1
DD ⊥AB，
∴∠DD1A＝∠ABC＝90°，
∴∠
1
DAD ＋∠
1
ADD ＝90°，
∴∠
1
ADD ＝∠CAB，
在△
1
ADD 和△CAB 中，
1
1
DD A
ABC
ADD
CAB
AD
CA
，
∴△
1
ADD ≌△CAB（AAS），
∴
1
DD ＝AB；
（2）解：AB＝
1
DD ＋
1
EE ．
证明：过点C 作CH⊥AB 于H，
∵
1
DD ⊥AB，
∴∠
1
DD A ＝∠CHA＝90°，
∴∠
1
DAD ＋∠
1
ADD ＝90°，
∵四边形CADF 是正方形，
∴AD＝CA，∠DAC＝90°，
∴∠
1
DAD ＋∠CAH＝90°，
∴∠
1
ADD ＝∠CAH，
在△
1
ADD 和△CAH 中，
1
1
DD A
CHA
ADD
CAH
AD
CA
，
∴△
1
ADD ≌△CAH（AAS），
∴
1
DD ＝AH；
同理：
1
EE ＝BH，
∴AB＝AH＋BH＝
1
DD ＋
1
EE ；
（3）解：AB＝
1
DD －
1
EE ．
证明：过点C 作CH⊥AB 于H，
∵
1
DD ⊥AB，
∴∠
1
DD A ＝∠CHA＝90°，
∴∠
1
DAD ＋∠
1
ADD ＝90°，
∵四边形CADF 是正方形，
∴AD＝CA，∠DAC＝90°，
∴∠
1
DAD ＋∠CAH＝90°，
∴∠
1
ADD ＝∠CAH，
在△
1
ADD 和△CAH 中，
1
1
DD A
CHA
ADD
CAH
AD
CA
，
∴△
1
ADD ≌△CAH（AAS），
∴
1
DD ＝AH；
同理：
1
EE ＝BH，
∴AB＝AH－BH＝
1
DD －
1
EE ．
【总结升华】此题考查了正方形的性质与全等三角形的判定与性质．注意数形结合思想的应
用，注意掌握辅助线的作法．
举一反三：
【变式】在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E，作EF⊥AB 交BD 于点F，取FD 的中点G，连接
EG、CG，如图①，易证EG＝CG，且EG⊥CG．
(1)将△BEF 绕点B 逆时针旋转90°，如图②，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置
关系?请直接写出你的猜想．
(2)将△BEF 绕点B 逆时针旋转180°，如图③，则线段EG 和CG 又有怎样的数量关系和
位置关系?请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】
解：(1)EG＝CG，且EG⊥CG．
(2)EG＝CG，且EG⊥CG．
证明：延长FE 交DC 延长线于M，连MG，如图③，
∵ ∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，
∴ 四边形BEMC 是矩形．
∴ BE＝CM，∠EMC＝90°，
又∵ BE＝EF，∴ EF＝CM．
∵ ∠EMC＝90°，FG＝DG，
∴ MG＝1
2 FD＝FG．
∵ BC＝EM，BC＝CD，∴ EM＝CD．
∵ EF＝CM，∴ FM＝DM，∴ ∠F＝45°．
又FG＝DG，∠CMG＝1
2 ∠EMD＝45°，
∴ ∠F＝∠GMC，∴ △GFE≌△GMC，
∴ EG＝CG，∠FGE＝∠MGC，
∵ MG⊥DF，
∴ ∠FGE＋∠EGM＝90°，
∴ ∠MGC＋∠EGM＝90°即∠EGC＝90°，
∴ EG⊥CG．
