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勾股定理的逆定理（提高）
责编：杜少波
【学习目标】
1. 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；
2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；
3. 理解勾股数的含义；
4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.
【要点梳理】
【高清课堂 勾股定理逆定理 知识要点】
要点一、勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长a
b
c
，，，满足
2
2
2
a
b
c
，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角
形是否为直角三角形.
要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1）
首先确定最大边（如c ）.
（2）
验证
2c 与
2
2
a
b
是否具有相等关系.若
2
2
2
c
a
b
，则△ABC 是∠C＝90°的
直角三角形；若
2
2
2
c
a
b
，则△ABC 不是直角三角形.
要点诠释：当
2
2
2
a
b
c
时，此三角形为钝角三角形；当
2
2
2
a
b
c
时，此三角形为锐
角三角形，其中c 为三角形的最大边.
要点三、勾股数
满足不定方程
2
2
2
x
y
z
的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），
显然，以x
y
z
、、为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果a
b
c
、、是勾股数，当t 为正整数时，以at
bt
ct
、、
为三角形的三边长，此三角形
必为直角三角形.
要点诠释：（1）
2
2
1 2
1
n
n
n
，，
（
1,
n
n
是自然数）是直角三角形的三条边长；
（2）
2
2
2
2 , 2
1, 2
2
1
n
n
n
n
n
（n 是自然数）是直角三角形的三条边长；
（3）
2
2
2
2
,
,2
m
n
m
n
mn
（
,
m
n m
n
、是自然数）是直角三角形的三条
边长；
【典型例题】
类型一、勾股定理的逆定理
1、（2016 春•咸丰县月考）如图所示，在△ABC 中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为
36cm，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C
以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，则过3 秒时，△BPQ 的面积为多少 cm2.
【思路点拨】本题先设适当的参数求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直
角三角形．再求出3 秒后的BP，BQ 的长，利用三角形的面积公式计算求解．
【答案与解析】
解：设AB 为3xcm，BC 为4xcm，AC 为5xcm，
∵周长为36cm，
AB+BC+AC=36cm，
∴3x+4x+5x=36，
得x=3，
∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，
∵AB2+BC2=AC2，
∴△ABC 是直角三角形，
过3 秒时，BP=9
3×1=6
﹣
（cm），BQ=2×3=6（cm），
∴S△PBQ= BP•BQ= ×（9
3
﹣）×6=18（cm2）．
故过3 秒时，△BPQ 的面积为18cm2．
【总结升华】本题是道综合性较强的题，需要学生把勾股定理的逆定理、三角形的面积公式结
合求解．由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键．隐含了整体的数学
思想和正确运算的能力．
2、如图，点D 是△ABC 内一点，把△ABD 绕点B 顺时针方向旋转60°得到△CBE，若
AD=4，BD=3，CD=5．
（1）判断△DEC 的形状，并说明理由；
（2）求∠ADB 的度数．
【思路点拨】把△ABD 绕点B 顺时针方向旋转60°，注意旋转只是三角形的位置变了，三角形
的边长和角度并没有变，并且旋转的角度60°，因此出现等边△BDE，从而才能更有利的判断
三角形的形状和求∠ADB 的度数．
【答案与解析】
解：（1）根据图形的旋转不变性，
AD=EC，BD=BE，
又∵∠DBE= ABC=60°
∠
，
∴△ABC 和△DBE 均为等边三角形，
于是DE=BD=3，EC=AD=4，
又∵CD=5，
∴DE2+EC2=32+42=52=CD2；
故△DEC 为直角三角形．
（2）∵△DEC 为直角三角形，
∴∠DEC=90°，
又∵△BDE 为等边三角形，
∴∠BED=60°，
∴∠BEC=90°+60°=150°，
即∠ADB=150°．
【总结升华】此题考查了旋转后图形的不变性、全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股
定理的逆定理等知识，综合性较强，是一道好题．解答（2）时要注意运用（1）的结论．
举一反三：
【变式】如图所示，在△ABC 中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，P 是△ABC 内一点，且PA＝3，PB＝
1，PC＝CD＝2，CD⊥CP，求∠BPC 的度数．
【答案】
解：连接BD．∵ CD⊥CP，且CD＝CP＝2，
∴ △CPD 为等腰直角三角形，即∠CPD＝45°．
∵ ∠ACP+∠BCP＝∠BCP+∠BCD＝90°，
∴ ∠ACP＝∠BCD．
∵ CA＝CB，
∴ △CAP≌△CBD(SAS)，
∴ DB＝PA＝3．
在Rt△CPD 中，
2
2
2
2
2
2
2
8
DP
CP
CD
．
又∵ PB＝1，则
2
1
PB
．
∵
2
9
DB
，
∴
2
2
8 1
9
DB
DP
PB
，
∴ △DPB 为直角三角形，且∠DPB＝90°，
∴ ∠CPB＝∠CPD+∠DPB＝45°+90°＝135°．
类型二、勾股定理逆定理的应用
3、已知a、b、c 是△ABC 的三边，且满足
4
3
8
3
2
4
a
b
c
，且a+b+c=12，请你探索
△ABC 的形状．
【答案与解析】
解：令
4
3
8
3
2
4
a
b
c
=k．
∴a+4=3k，b+3=2k，c+8=4k，
∴a=3k
4
﹣，b=2k
3
﹣，c=4k
8
﹣．
又∵a+b+c=12，
∴（3k
4
﹣）+（2k
3
﹣）+（4k
8
﹣）=12，
k=3
∴
．
∴a=5，b=3，c=4．
ABC
∴△
是直角三角形．
【总结升华】此题借用设比例系数k 的方法，进一步求得三角形的三边长，根据勾股定理的逆
定理判定三角形的形状．
举一反三：
【变式】（2015 春•渝中区校级月考）△ABC 的三边a、b、c 满足|a+b
50|+
﹣
+（c﹣
40）2=0．试判断△ABC 的形状是
．
【答案】直角三角形．
解：∵|a+b
50|+
﹣
+（c
40
﹣
）2=0，
∴
，
解得
，
∵92+402=412，
∴△ABC 是直角三角形．
故答案为直角三角形．
4、如图所示，MN 以左为我国领海，以右为公海，上午9 时50 分我国缉私艇A 发现在其
正东方向有一走私艇C 并以每小时13 海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5
海里，并在MN 线上巡逻的缉私艇B 密切注意，并告知A 和C 两艇的距离是13 海里，缉私艇B
测得C 与其距离为12 海里，若走私艇C 的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？
【答案与解析】
解：∵
2
2
2
2
2
2
5
12
169
13
AB
BC
AC
，
∴ △ABC 为直角三角形．∴ ∠ABC＝90°．
又BD⊥AC，可设CD＝x ，
∴
2
2
2
2
2
2
12 ,
(13
)
5 ,
x
BD
x
BD
①
②
①－②得
2
2
169
26
119
x
x
x
，
解得
144
13
x
．∴ 144
144
13
13
169
≈0.85(h)＝51(分)．
所以走私艇最早在10 时41 分进入我国领海．
【总结升华】
（1）本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题，（2）用勾股定理的逆定理判定
直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件．
