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成人成才
类比归纳专题：证明线段相等的基本思路
——理条件、定思路，几何证明也容易
类型一 已知“边的关系”或“边角
关系”用全等
1．如图，已知AB＝AE，BC＝ED，∠B＝
∠E，AF⊥CD，F 为垂足，求证：
(1)AC＝AD；
(2)CF＝DF.
2．如图，∠C＝90°，BC＝AC，D、E 分别
在BC 和AC 上，且BD＝CE，M 是AB 的中
点．求证：△MDE 是等腰三角形．
类型二 已知角度关系或线与线之间
的位置关系用“等角对等边”
3．如图，在△ABC 中，CE、CF 分别平分
∠ACB 和△ACB 的外角∠ACG，EF∥BC 交
AC 于点D，求证：DE＝DF.
4．(2015－2016·孝南区期末)如图，在
△ABC 中，∠ACB＝2∠B，∠BAC 的平分线
AD 交BC 于D，过C 作CN⊥AD 交AD 于
H，交AB 于N.
(1)求证：AN＝AC；
(2)试判断BN 与CD 的数量关系，并说
明理由．
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类型三 已知角平分线、垂直或垂直平
分用相应的性质
5．如图，△ABC 中，∠CAB 的平分线与
BC 的垂直平分线DG 相交于D，过点D 作
DE⊥AB，DF⊥AC，求证：BE＝CF.
6．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 是
∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于E，F 在AC 上，
BD＝DF.求证：
(1)CF＝EB；
(2)AB＝AF＋2EB.
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参考答案与解析
1．证明：(1)在△ABC 和△AED 中，AB
＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，
∴△ABC≌△AED，∴AC＝AD；
(2)在Rt△ACF 和Rt△ADF 中，AC＝
AD，AF＝AF，∴△ACF≌△ADF，∴CF＝
DF.
2．证明：连接CM，则BM＝CM，且
CM⊥MB，∴∠B＝∠MCE＝45°，∴BM＝
AM＝CM.在△MBD 和△MCE 中，BM＝
CM ，∠B ＝∠MCE ，BD ＝CE ，
∴△MBD≌△MCE，∴DM＝EM，∴△MDE
是等腰三角形．
3．证明：∵CE 是△ABC 的角平分线，
∴∠ACE ＝∠BCE.∵CF 为△ABC 外角
∠ACG 的平分线，∴∠ACF ＝
∠GCF.∵EF∥BC，∴∠GCF＝∠F，∠BCE
＝∠CEF.∴∠ACE＝∠CEF，∠F＝∠DCF，
∴CD＝ED，CD＝DF，∴DE＝DF.
4．(1)证明：∵CN⊥AD，∴∠AHN＝
∠AHC＝90°.又∵AD 平分∠BAC，∴∠NAH
＝∠CAH. 又∵在△ANH 和△ACH 中，
∠AHN＋∠NAH＋∠ANH＝180°，∠AHC＋
∠CAH＋∠ACH＝180°∴∠ANH＝∠ACH，
∴AN＝AC；
(2)解：BN＝CD.理由如下：连接ND.在
△
AND
和
△
ACD
中
，
∴△AND≌△ACD(SAS) ，∴DN ＝DC ，
∠AND ＝∠ACD. 又∵∠ACB ＝2∠B ，
∴∠AND＝2∠B.又∵△BND 中，∠AND＝
∠B＋∠NDB，∴∠B＝∠NDB，∴NB＝ND，
∴BN＝CD.
5．证明：连接BD、CD.∵AD 是∠FAE
的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝
DF.∵DG 是BC 的垂直平分线，∴BD＝
CD.∴Rt△CDF≌Rt△BDE.∴BE＝CF.
6．证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，
DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.又∵BD＝
DF，∴Rt△CFD≌Rt△EBD(HL)．∴CF＝
EB；
(2)在Rt△ADC 和Rt△ADE 中，AD＝
AD，DC＝DE，∴Rt△ADC≌Rt△ADE，
∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF
＋CF＋EB＝AF＋2EB.
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