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思想方法专题：线段与角的计算中的思想方法
——明确解题思路，体会便捷通道
类型一 方程思想在线段或角的计算中的应用
1.一个角的度数比它的余角的度数大20°，则这个角的度数是（ ）
A.20° B.35° C.45° D.55°
2.已知P 为线段AB 上一点，且AP＝AB，M 是AB 的中点，若PM＝2cm，则AB 的长为（
）
A.10cm B.16cm
C.20cm D.3cm
3.如图，A、O、B 三点在一条直线上，∠AOC＝2∠COD，OE 平分∠BOD，∠COE＝77°，
则∠COD 的度数是（ ）
A.52° B.26°
C.13° D.38.5°
第3
题图
第4 题图
4.如图，M、N 为线段AB 上两点，且AM∶MB＝1∶3，AN∶NB＝5∶7.若MN＝2，则AB
的长为 .
5.如图，AB 和CD 相交于点O，∠DOE＝90°，若∠BOE＝∠AOC.
（1）指出与∠BOD 相等的角，并说明理由；
（2）求∠BOD，∠AOD 的度数.
6.如图，已知数轴上两点A、B 对应的数分别为－1、3，点P 为数轴上的一动点，其对应的
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数为x.
（1）PA＝ ，PB＝ （用含x 的式子表示）；
（2）在数轴上是否存在点P，使PA＋PB＝5？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明
理由.
类型二 分类讨论思想在线段或角的计算中的应用
7.（2016－2017·萧山区校级期末）已知∠AOB＝60°，作射线OC，使∠AOC 等于40°，OD
是∠BOC 的平分线，那么∠BOD 的度数是（ ）
A.100° B.100°或20°
C.50° D.50°或10°
8.（2016－2017·郾城区期末）把一根绳子对折成一条线段AB，点P 是AB 上一点，从P
处把绳子剪断.已知AP＝PB，若剪断后的各段绳子中最长的一段为40cm，则绳子的原长为
.【易错8①】
9.已知点A，B，C 在同一条直线上，且AC＝5，BC＝3，M，N 分别是AC，BC 的中点.【易
错8①】
（1）画出符合题意的图形；
（2）依据（1）的图形，求线段MN 的长.
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10.已知∠BOC 在∠AOB 的外部，OE 平分∠AOB，OF 平分∠BOC，OD 平分∠AOC，
∠AOE＝30°，∠BOD＝20°，试求∠COF 的度数.
类型三 整体思想及从特殊到一般的思想
11.如图，线段上的点依次增加，请你填写图中相应的线段数：
（1）请猜想：当线段AB 上有6 个、10 个点时（含A，B 两点），分别会有几条线段？
（2）当线段AB 上有n（n 为正整数，且n≥2）个点（含A，B 两点）呢？
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12.已知∠ABC＝∠DBE，射线BD 在∠ABC 的内部，按要求完成下列各小题.
尝试探究：如图①，已知∠ABC＝90°，当BD 是∠ABC 的平分线时，∠ABE＋∠DBC＝
°；
初步应用：如图②，已知∠ABC＝90°，若BD 不是∠ABC 的平分线，求∠ABE＋∠DBC
的度数；
拓展提升：如图③，若∠ABC＝45°时，试判断∠ABE 与∠DBC 之间的数量关系，并说明
理由.
13.（2016－2017·秦皇岛期末）如图所示，点C 在线段AB 上，点M、N 分别是AC、BC 的
中点.
（1）若AC＝8cm，CB＝6cm，求线段MN 的长；
（2）若C 为线段AB 上任意一点，满足AC＋CB＝acm，其他条件不变，你能猜想出MN
的长度吗？并说明理由；
（3）若C 在线段AB 的延长线上，且满足AC－CB＝bcm，M、N 分别为AC、BC 的中点，
你能猜想出MN 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由.
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参考答案与解析
1．D 2.C 3.B 4.12
5．解：(1)∠AOC，同角的补角相等．
(2)设∠BOD＝x，由(1)知∠AOC＝∠BOD＝x，则∠BOE＝∠AOC＝x.∵∠DOE＝90°，
∴∠DOE＝∠BOE＋∠BOD＝x＋x＝90°，解得x＝60°，即∠BOD＝60°，∴∠AOD＝180°－
∠BOD＝180°－60°＝120°.
6．解：(1)|x＋1| |x－3|
(2)分三种情况：①当点P 在点A、B 之间时，PA＋PB＝4(舍去)；②当点P 在点B 右侧时，
PA＝x＋1，PB＝x－3，则(x＋1)＋(x－3)＝5，解得x＝3.5；③当点P 在点A 左侧时，PA＝－x－
1，PB＝3－x，则(－x－1)＋(3－x)＝5，解得x＝－1.5.综上所述，在数轴上存在点P，使PA＋
PB＝5，此时x 的值为3.5 或－1.5.
7．D 8.60 或120
9．解：(1)如图，点B 在线段AC 上，
如图，点B 在线段AC 的延长线上．
(2)当点B 在线段AC 上时，∵AC＝5，BC＝3，M、N 分别是AC、BC 的中点，∴MC＝AC＝
×5＝，NC＝BC＝×3＝，∴MN＝MC－NC＝－＝1；当点B 在线段AC 的延长线上时，∵AC
＝5，BC＝3，M、N 分别是AC、BC 的中点，得MC＝AC＝×5＝，NC＝BC＝×3＝，由线段的和
差，得MN＝MC＋NC＝＋＝4.
10．解：分以下情况：如图①，OD 在∠AOB 的外部．∵OE 平分∠AOB，∠AOE＝30°，
∠BOD＝20°，∴∠AOD＝30°＋30°＋20°＝80°.∵OD 平分∠AOC，∴∠COD＝∠AOD＝
80°.∵OF 平分∠BOC，∴∠COF＝(80°＋20°)÷2＝50°.
如图②，OD 在∠AOB 内部．∵OE 平分∠AOB，∠AOE＝30°，∠BOD＝20°，∴∠AOD＝
30°＋30°－20°＝40°.∵OD 平分∠AOC，∴∠COD＝∠AOD＝40°.∵OF 平分∠BOC，
∴∠COF＝(40°－20°)÷2＝10°.综上所述，∠COF 的度数为50°或10°.
11．解：6 10
(1)线段上有6 个点时，有15 条线段；线段上有10 个点时，有45 条线段．
(2)n(n－1)条．
12．解：尝试探究：180 解析：因为∠ABC＝90°，BD 平分∠ABC，所以∠DBC＝45°，因
为∠DBE＝∠ABC＝90°，∠DBC＋∠CBE＝∠DBE，所以∠CBE＝45°.所以∠ABE＋∠DBC＝
∠ABC＋∠CBE＋∠DBC＝90°＋45°＋45°＝180°.
初步应用：因为∠DBE＝∠ABC＝90°，所以∠ABE＋∠DBC＝∠ABC＋∠CBE＋∠DBC
＝∠ABC＋∠DBE＝180°.
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拓展提升：∠ABE＋∠DBC＝90°.
理由如下： 因为∠DBE＝∠ABC＝45°，所以∠ABE＋∠DBC＝∠ABC＋∠CBE＋∠DBC
＝∠ABC＋∠DBE＝90°.
13．解：(1)∵点M、N 分别是AC、BC 的中点，∴MC＝AC＝×8cm＝4cm，NC＝BC＝
×6cm＝3cm，∴MN＝MC＋NC＝4cm＋3cm＝7cm.
(2)MN＝acm.理由如下：∵点M、N 分别是AC、BC 的中点，∴MC＝AC，NC＝BC，∴MN
＝MC＋NC＝AC＋BC＝AB＝acm.
(3)画图略. ∵点M、N 分别是AC、BC 的中点，∴MC＝AC，NC＝BC，∴MN＝MC－NC＝AC－
BC＝(AC－BC)＝bcm.
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