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圆的对称性—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1.（2015•河东区一模）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=25°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D，
交AC 于点E，则
的度数为（ ）
A．25°
B．30°
C．50°
D．65°
2．下面四个命题中正确的是( )．
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心
D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心
3．如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB，垂足为H，且CD=2 2 ，BD= 3 ，则AB 的长为（ ）
A．2 B.3 C.4 D.5
第3 题 第5 题 第6 题
4．⊙O 的半径OA＝1，弦AB、AC 的长分别是
2 、3 ，则∠BAC 的度数为( )．
A．15° B．45° C．75° D．15°或75°
5．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以
锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言表述是：如图所示，CD 为⊙O 的直径，弦
AB⊥CD，垂足为E，CE 为1 寸，AB 为10 寸，求直径CD 的长。依题意，CD 长为( )．
A．25
2 寸 B．13 寸 C．25 寸 D．26 寸
6．如图，EF 是⊙O 的直径，AB 是弦，EF=10cm，AB=8cm，则E、F 两点到直线AB 的距离之和为（ ）．
A．3cm
B．4cm
C．8cm
D．6cm
二、填空题
7．如图，A、B、C、D 为⊙O 上的点，且
．若∠COD=40°，则∠ADO=______度．
8．如图，P 为⊙O 的弦AB 上的点，PA=6，PB=2，⊙O 的半径为5，则OP=______．
7 题图 8 题图 9 题图
9．如图，⊙O 的弦AB 垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O 的半径等于______cm．
10．
（2015•徐州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB
⊥
，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O
的半径为 cm．
11．在图11中，半圆的直径AB=4cm，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE的中点，CD∥AB，则弦CD的长为 ．
(第12 题)
12．如图，点A、B 是⊙O 上两点，AB=10，点P 是⊙O 上的动点（P 与A，B 不重合）连结AP，
PB，过点O 分别作OE⊥AP 于点E，OF⊥PB 于点F，则EF= .
三、解答题
13.如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CD=15，
3 5
OE OC
∶
∶，求弦AB和AC的长．
14．如图所示，C 为ACB 的中点，CD 为直径，弦AB 交CD 于P 点，PE⊥BC 于E，若BC=10cm，
且CE：BE=3：2，求弦AB 的长．
A
E
O
F
B
P
15．如图所示，已知O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B 和C、D.
⑴求证：PB=PD.
⑵若角的顶点P 在圆上或圆内，⑴中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.
16.（2015•杭州模拟）如图，⊙O 的两条弦AB、CD 交于点E，OE 平分∠BED．
（1）求证：AB=CD；
（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE
AE
﹣
的值．
E
O
D
C
B
A
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】C；
【解析】连接CD，
∵在△ABC 中，∠C=90°，∠A=25°，
ABC=90°
25°=65°
∴∠
﹣
，
BC=CD
∵
，
CDB=∠ABC=65°
∴
，
BCD=180°
CDB
CBD=180°
65°
65°=50°
∴∠
﹣∠
﹣∠
﹣
﹣
，
∴
=50°．故选C．
2．【答案】D．
【解析】根据垂径定理及其推论来判断.
3．【答案】B．
【解析】由垂径定理得HD=
2 ，由勾股定理得HB=1，设圆O 的半径为R，在Rt△ODH 中，
则
2
2
2
2
1
R
R
，由此得R= 3
2 ，
所以AB=3.故选 B.
4.【答案】D．
【解析】分弦AB、AC 在圆心的同侧和异侧讨论.
5．【答案】D．
【解析】连结AO，
∵ CD 为直径，CD⊥AB，
∴
1
5
2
AE
AB
．
设⊙O 半径为R，则OE＝R－1．
Rt△AOE 中，OA2＝AE2+OE2，
∴ R2＝52+(R-1)2，
∴ R＝13，
∴ CD＝2R＝26(寸)．
故选D．
6．【答案】D．
【解析】E、F 两点到直线AB 的距离之和为圆心O 到AB 距离的2 倍.
二、填空题
7．【答案】30．
【解析】∵
，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=40°；
∴∠AOD=120°；
∴∠ADO=
（180°-∠AOD）=30°．
8．【答案】
.
13
9．【答案】
.
13
10．【答案】
．
【解析】解：连接OC，如图所示：
AB
∵
是⊙O 的直径，弦CD AB
⊥
，
CE=DE=
∴
CD=4cm，
OA=OC
∵
，
A=∠OCA=22.5°
∴
，
COE
∵∠
为△AOC 的外角，
COE=45°
∴
，
COE
∴△
为等腰直角三角形，
OC=
∴
CE=4
cm，
故答案为：4
11．【答案】2 3cm .
【解析】连接OC,易求CF= 3. CD=2 3cm .
12.【答案】5.
【解析】易证EF 是△APB 的中位线，EF= 1
5.
2 AB
三、解答题
13.【答案与解析】
连结OA，
∵CD=15，
3 5
OE OC
∶
∶，
∴OA=OC=7.5，OE=4.5，CE=3，
∴
2
2
2
2
2
2
2
2
7.5
4.5
6
2
12
6
3
3 5
AE
OA
OE
AB
AE
AC
AE
CE
，
14.【答案与解析】
因为C 为ACB 的中点，CD 为直径，弦AB 交CD 于P 点，所以 CD⊥AB.
由BC=10cm，且CE：BE=3：2，得CE=6cm，BE=4cm，
设
,
,
BP
a CP
b
则
2
2
2
2
2
2
2
10
4
6
a
b
a
b
解得
2 10
a
，
2
4 10
AB
a
cm
.
15.【答案与解析】
（1）证明：过O 作OE⊥PB 于E，OF⊥PD 于F.
OP
EPF
OE
OF
PE
PF
AB
CD
BE
DF
PE
BE
PF
DF
PB
PD
平分
，
，则
（2）上述结论仍成立.如下图所示.证明略.
A A
E E
P O P O
F F
C C
PA=PC PA=PC
16.【答案与解析】
解：（1）过点O 作AB、CD 的垂线，垂足为M、N，如图1，
图1
N
M
E
O
D
C
B
A
OE
∵
平分∠BED，且OM AB
⊥
，ON CD
⊥
，
OM=ON
∴
，
AB=CD
∴
；
（2）如图2 所示，
A
B
C
D
O
E
M
N
图2
由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM AB
⊥
，ON CD
⊥
，
DN=CN=AM=BM
∴
，
在Rt
EON
△
与Rt
EOM
△
中，
∵
，
Rt
EON Rt
EOM
∴
△
△
≌
（HL），
NE=ME
∴
，
CD
DN
NE=AB
BM
ME
∴
﹣
﹣
﹣
﹣
，
即AE=CE，
DE
AE=DE
CE=DN+NE
CE=CN+NE
CE=2NE
∴
﹣
﹣
﹣
﹣
，
BED=60°
∵∠
，OE 平分∠BED，
NEO=
∴
BED=30°，
ON=
∴
OE=1，
在Rt
EON
△
中，由勾股定理得：
NE=
=
，
DE
AE=2NE=2
∴
﹣
．
