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实际问题与一元一次方程（一）（提高）知识讲解
责编：杜少波
【学习目标】
1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；
2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路．
【要点梳理】
知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题
分析
抽象
方程
求解
检验
解答．由此可得解决此类
题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
要点诠释：
（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量
关系；
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，
单位要统一；
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
知识点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）
1．和、差、倍、分问题
（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，
现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．
（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．
2．行程问题
（1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间
（2）基本类型有：
①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间
Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．
②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间
Ⅱ．寻找相等关系：
第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；
第二，第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．
③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，
逆流速度=静水速度－水流速度，
顺水速度－逆水速度＝2×水速；
Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑
（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．
3．工程问题
如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：
（1）总工作量=工作效率×工作时间；
（2）总工作量=各单位工作量之和．
4．调配问题
寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．
【典型例题】
类型一、和差倍分问题
1．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这
样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1 公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？
【答案与解析】
解：设油箱里原有汽油x 公斤，由题意得：
x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x×40% .
解得：x=10.
答：油箱里原有汽油10 公斤.
【总结升华】等量关系为：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油.
举一反三：
【变式】某班举办了一次集邮展览，展出的邮票若平均每人3 张则多24 张，若平均每人4 张则少26 张，这
个班有多少学生?一共展出了多少张邮票?
【答案】
解：设这个班有x 名学生，根据题意得：
3x+24＝4x-26
解得：x＝50.
所以3x+24＝3×50+24＝174（张）.
答：这个班有50 名学生，一共展出了174 张邮票．
类型二、行程问题
1.车过桥问题
2. 某桥长1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s，而
整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度．
【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义．
【答案与解析】
解：设火车车身长为xm，根据题意，得：
1200
1200
50
30
x
x
，
解得：x＝300，
所以1200
1200
300
30
50
50
x
．
答：火车的长度是300m，车速是30m/s．
【总结升华】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下(注：A 点表示
火车头)：
(1)火车从上桥到完全过桥如图(1)所示，此时火车走的路程是桥长+车长．
(2)火车完全在桥上如图(2)所示，此时火车走的路程是桥长－车长．由于火车是匀速行驶的，所以等量关
系是火车从上桥到完全过桥的速度＝整个火车在桥上的速度．
举一反三：
【变式】某要塞有步兵692 人，每4 人一横排，各排相距1 米向前行走，每分钟走86 米，通过长86 米的桥，
从第一排上桥到排尾离桥需要几分钟？
【答案】
解：设从第一排上桥到排尾离桥需要x 分钟，列方程得：
692
86
1
1 86
4
x
，
解得：x＝3
答：从第一排上桥到排尾离桥需要3 分钟．
2.相遇问题（相向问题）
3．（2016•云南模拟）昆曲高速公路全长128 千米，甲、乙两车同时从昆明、曲靖两地高速路收费站相
向匀速开出，经过40 分钟相遇，甲车比乙车每小时多行驶20 千米．求甲、乙两车的速度．
【思路点拨】设出乙车速度，进而表示出甲车速度，再根据相遇问题，两车行驶的路程之和为128 千米列出
方程，解方程求出x 的值即可．
【答案与解析】
解：40 分钟=
小时，设乙车速度为x 千米/时，甲车速度为（x+20）千米/时，根据题意，得
（x+x+20）=128，
解得x=86，
则甲车速度为：x+20=86+20=106．
答：甲车速度为106 千米/时，乙车速度为86 千米/时．
【总结升华】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是根据路程=速度×时间公式列出一元
一次方程，此题难度不大．
举一反三：
【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一)388410 二次相遇问题】
【变式】甲、乙两辆汽车分别从A、B 两站同时开出，相向而行，途中相遇后继续沿原路线行驶，在分别到达
对方车站后立即返回，两车第二次相遇时距A 站34km，已知甲车的速度是70km/h，乙车的速度是52km/h，
求A、B 两站间的距离.
【答案】
解：设A、B 两站间的距离为x km，由题意得：2
34
34
70
52
x
x
解得：x=122
答： A、B 两站间的距离为122km.
3.追及问题（同向问题）
4．一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发2 小时后，一辆轿车从甲地去追这辆卡车，轿车的速度比卡车
的速度每小时快30 千米，但轿车行驶一小时后突遇故障，修理15 分钟后，又上路追这辆卡车，但速度减小
了1
3 ，结果又用两小时才追上这辆卡车，求卡车的速度．
【答案与解析】
解：设卡车的速度为x 千米/时，由题意得：
1
1
2
2
(
30)
(1
) (
30) 2
4
3
x
x
x
x
x
x
解得：x=24
答：卡车的速度为24 千米/时．
【总结升华】采用“线示”分析法，画出示意图．利用轿车行驶的总路程等于卡车行驶的总路程来列方程，
理清两车行驶的速度与时间．
4.航行问题（顺逆流问题）
5．盛夏，某校组织长江夜游，在流速为2.5 千米/时的航段，从A 地上船，沿江而下至B 地，然后溯江
而上到C 地下船，共乘船4 小时．已知A、C 两地相距10 千米，船在静水中的速度为7.5 千米/时，求A、B 两
地间的距离．
【思路点拨】由于C 的位置不确定，要分类讨论：（1）C 地在A、B 之间；（2）C 地在A 地上游．
【答案与解析】
解：设A、B 两地间的距离为x 千米．
(1)当C 地在A、B 两地之间时，依题意得：
10
4
7.5
2.5
7.5
2.5
x
x
．
解这个方程得：x＝20．
(2)当C 地在A 地上游时，依题意得：
10
4
7.5
2.5
7.5
2.5
x
x
．
解这个方程得：
20
3
x
．
答：A、B 两地间的距离为20 千米或20
3 千米．
【总结升华】这是航行问题，本题需分类讨论，采用“线示”分析法画出示意图(如下图所示)，然后利用
“共乘”4 小时构建方程求解．类似地，当物体在空中飞翔时，常会遇到顺风逆风问题，解题思路类似顺逆
流问题．
5.环形问题
6．（2015 春•海南校级月考）甲、乙两人在400 米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240 米，乙每分钟跑
200 米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？
【思路点拨】在环形跑道上两人同向而行相遇属于追及问题，等量关系为：甲路程﹣乙路程=400，两人背向
而行属于相遇问题，等量关系为：甲路程+乙路程=400．
【答案与解析】
解：设二人同时同地同向出发，x 分钟后二人相遇，则：
240x﹣200x=400，
解得：x=10．
设两人背向而行，y 分钟后相遇，则：
240y+200y=400，
解得：y=
．
答：二人同时同地同向出发，10 分钟后二人相遇；若背向跑，
分钟后相遇．
【总结升华】本题考查环形跑道上的相遇问题和追及问题．相遇问题常用的等量关系为：甲路程+乙路程=环
形跑道的长度，追及问题常用的等量关系为：甲路程﹣乙路程=环形跑道的长度．
举一反三：
【变式】两人沿着边长为90m 的正方形行走，按A→B→C→D→A…方向，甲从A 以65m/min 的速度，乙从B 以
72m/min 的速度行走，如图所示，当乙第一次追上甲时，在正方形的哪一条边上?
【答案】
解：设乙追上甲用了x 分钟，则有：
72x-65x＝3×90．
270
7
x
．
270
72
2777
7
≈
(m) ．
答：乙第一次追上甲时走了2777 m，此时乙在AD 边上．
类型三、工程问题
7．一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6 小时可注满水池；单独开乙管8 小
时可注满水池，单独开丙管9 小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2 小时，然后打开丙管，问打
开丙管后几小时可注满水池?
【答案与解析】
解：设再过x 小时可把水注满．由题意得：
1
1
1
1
1
(
)
2
(
)
1
6
8
6
8
9 x
．
解得：
4
213
x
．
答：打开丙管后
4
213 小时可把水放满．
【总结升华】相等关系：甲、乙开2h 的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1．
举一反三：
【变式】（2015 春•沙坪坝区期末）一件工作，甲单独做15 小时完成，乙单独做10 小时完成，甲先单独做9
小时，后因甲有其他任务调离，余下的任务由乙单独完成，那么乙还要多少小时完成？
【答案】
解：设乙还要x 小时完成，根据题意得：
，
解得：x=4．
答：余下的任务由乙单独完成，那么乙还要4 小时完成．
类型四、配套问题（比例问题、劳动力调配问题）
8．某工程队每天安排120 个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土5 m3或运土3 m3，为了使挖出
的土及时被运走，问：应如何安排挖土和运土的工人?
【答案与解析】
解：设安排x 人挖土，则运土的有(120-x)人，依题意得：
5x＝3(120-x) ．
解得x＝45．
120-45＝75(人)．
答：应安排45 人挖土，75 人运土．
【总结升华】用同一未知数表示挖土数与运土数，等量关系：挖土与运土的总立方米数应相等．
举一反三：
【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一) 388410 配制问题】
【变式】某商店选用A、B 两种价格分别是每千克28 元和每千克20 元的糖果混合成杂拌糖果后出售，为使
这种杂拌糖果的售价是每千克25 元，要配制这种杂拌糖果100 千克，问要用这两种糖果各多少千克？
【答案】
解：设要用A 种糖果x 千克，则B 种糖果用(100-x)千克.依题意，得：
28x+20(100-x)=25×100．
解得：x=62.5.
当x=62.5 时，100-x=37.5（千克）.
答：要用A、B 两种糖果分别为62.5 千克和37.5 千克.
