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方程的意义（基础）知识讲解
责编：杜少波
【学习目标】
1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；
2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程
的解；
3. 理解并掌握等式的两个基本性质.
【要点梳理】
【高清课堂：从算式到方程 一、方程的有关概念】
要点一、方程的有关概念
1．定义：含有未知数的等式叫做方程.
要点诠释：
判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．
2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
要点诠释：
判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知
数的值；
②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否
则不是．
3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.
4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.
【高清课堂：从算式到方程 二、一元一次方程的有关概念】
要点二、一元一次方程的有关概念
定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
要点诠释： “元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含
有未知数．
【高清课堂：从算式到方程 三、解方程的依据——等式的性质】
要点三、等式的性质
1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.
2．等式的性质：
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：
如果
，那么
(c 为一个数或一个式子) .
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0 的数，结果仍相等.即：
如果
，那么
；如果
，那么
.
要点诠释：
（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；
(2) 等式性质1 中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不
一定成立，
如x＝0 中，两边加上
得x＋
，这个等式不成立;
(3) 等式的性质2 中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．
【典型例题】
类型一、方程的概念
1．下列各式哪些是方程？
①3x-2＝7； ②4+8＝12； ③3x-6；
④2m-3n＝0； ⑤3x2-2x-1＝0； ⑥x+2≠3；
⑦
2
5
1
x
； ⑧285
5
3
x
x
．
【答案与解析】
解：②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符合方程
的概念．①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧．
【总结升华】方程的判断必须看两点，一个是等式，二是含有未知数．当然未知数的个数可以
是一个，也可以是多个．
举一反三：
【变式】下列四个式子中，是方程的是（ ）
A. 3+2=5 B. x=1 C. 2x﹣3＜0 D. a2+2ab+b2
【答案】B．
2．（2015 春•孟津县期中）下列方程中，以x=2 为解的方程是（ ）
A. 4x﹣1=3x+2 B. 4x+8=3（x+1）+1
C. 5（x+1）=4（x+2）﹣1 D. x+4=3（2x﹣1）
【答案】C．
【总结升华】检验一个数是不是方程的解，根据方程解的概念，只需将所给字母的值分别代入
方程的左右两边，若两边的值相等，则这个数就是此方程的解，否则不是．
举一反三：
【变式】下列方程中，解是x=3 的是( )
A．x+1＝4 B．2x+1＝3 C．2x-1＝2 D．2
1
7
3 x
类型二、一元一次方程的相关概念
3．
（2016 春•南江县期末）在下列方程中①x2+2x=1，②
﹣3x=9，③
x=0，④3﹣
=2
，⑤
=y+
是一元一次方程的有（ ）个．
A．1 B．2
C．3 D．4
【思路点拨】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1 次的
整式方程，可以逐一判断.
【答案】B.
【解析】解：①x2+2x=1，是一元二次方程；②
﹣3x=9，是分式方程；③
x=0，是一元一次方程；
④3﹣
=2
，是等式，不是方程；⑤
=y+
是一元一次方程；一元一次方程的有2 个，故
选：B．
【总结升华】本题考查了一元一次方程的定义，解决本题的关键是熟记一元一次方程的定义．
举一反三：
【变式】下列方程中是一元一次方程的是__________（只填序号）．
①2x-1＝4；②x＝0；③ax＝b；④1
5
1
x
．
【答案】①②.
类型三、等式的性质
4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以
及怎样变形得到的．
(1)如果4
11
5
3 x
，那么4
5
3 x
________；
(2)如果ax+by＝-c，那么ax＝-c+________；
(3)如果
4
3
3
4
t
，那么t ＝________．
【答案与解析】
解： (1). 11；根据等式的性质1，等式两边都加上11；
(2).（-by）； 根据等式的性质1，等式两边都加上-by；
(3).
9
16
； 根据等式的性质2，等式两边都乘以
3
4
．
【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另
一边也进行同样的变形．
举一反三：
【变式】下列说法正确的是( )．
A．在等式ab＝ac 两边都除以a，可得b＝c.
B．在等式a＝b 两边除以c2+1，可得
2
2
1
1
a
b
c
c
.
C．在等式b
c
a
a
两边都除以a，可得b＝c.
D．在等式2x＝2a-b 两边都除以2，可得x＝a-b.
【答案】B.
类型四、设未知数列方程
5．根据问题设未知数并列出方程：
一次考试共有25 道选择题，做对一道得4 分，做错或不做一道倒扣1 分．若小明想考80
分，他要做对多少道题？
【答案与解析】
解：设小明要做对x 道题，则有(25-x)道做错或没做的题，依题意有：4x-(25-x)×1＝80．
可以采用列表法探究其解
显然，当x＝21 时，4x-(25-x)×1＝80．
所以小明要做对21 道题．
【总结升华】根据题意设出合适的未知量，并根据等量关系列出含有未知量的等式．
举一反三：
【变式】根据下列条件列出方程．
(l)x 的5 倍比x 的相反数大10；
(2)某数的3
4 比它的倒数小4；
(3)甲、乙两人从学校到公园，走这段路甲用20 分钟，乙用30 分钟，如果乙比甲早5 分钟
出发，问甲用多少时间追上乙？
【答案】(1)5x-(-x)＝10；(2)设某数为x，则1
3
4
4 x
x
；(3)设甲用x 分钟追上乙，由题意得
1
1
(
5)
30
20
x
x
．
