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《二次根式》全章复习与巩固（提高）知识讲解
责编：杜少波
【学习目标】
1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.
2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.
3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.
【知识网络】
【要点梳理】
知识点一、二次根式的相关概念和性质
1.二次根式
形如
的式子叫做二次根式，如
等式子，都叫做二
次根式.
要点诠释：二次根式
有意义的条件是
，即只有被开方数
时，式子
才是二次根式，
才有意义.
2.二次根式的性质
（1）
；
（2）
；
（3）
.
要点诠释：（1） 一个非负数
可以写成它的算术平方根的平方的形式，即
（
），如
（
）.
（2）
中
的取值范围可以是任意实数，即不论
取何值，
一定有意义.
（3）化简
时，先将它化成
，再根据绝对值的意义来进行化简.
（4）
与
的异同
不同点：
中
可以取任何实数，而
中的
必须取非负数；
=
，
=
（
）.
相同点：被开方数都是非负数，当
取非负数时，
=
.
3.最简二次根式
（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
（2）被开方数中不含有分母；
（3）分母中不含有根号.
满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式.如
等都
是最简二次根式.
要点诠释：最简二次根式有两个要求：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中每个
因式的指数都小于根指数2.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类
二次根式.
要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方
数是否相同，再判断.如
与
，由于
=
，
与
显然是同类二次根
式.
知识点二、二次根式的运算
1.乘除法
（1）乘除法法则：
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法
商的算术平方根化简公式：
要点诠释：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法
则，如
.
（2）被开方数a、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如
.
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数
和根指数不变，即合并同类二次根式.
要点诠释：
二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二
次根式，最后合并同类二次根式.如
.
【典型例题】
类型一、二次根式的概念与性质
1． x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)
； (2)
；
【答案】（1）
;
（2）
.
【解析】(1) 要使
在实数范围内有意义，
则必有
.
∴当
时，
在实数范围内有意义.
(2) 要使
在实数范围内有意义，
则必有
.
∴当
时，
在实数范围内有意义.
【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有
时
才是二次根式.
举一反三：
【变式】已知
，求
的值.
【答案】
解：根据二次根式的意义有
.
将
代入已知等式得
2.把
根号外的因式移到根号内，得( ).
A．
B．
C．
D．
【思路点拨】首先分析出 x 的取值范围x＜0，然后再向根号里移
，到根号里面要变
成
.
【答案】C.
【解析】由二次根式的意义知x＜0，则
.
.
【总结升华】在利用二次根式性质化简时，要注意其符号，要明确
是非负数，反过来
将根号外的因式移到根号内时，也必须向里移非负数.
举一反三：
【变式】（2015 春•绥中县期中）若（3x﹣y+5）2+
=0，求x+y 的立方根．
【答案】
解：由题意得（3x﹣y+5）2=0，即 3x﹣y+5=0，
=0，即 2x﹣y+3=0，
∴
解得
∴x+y=﹣3，
∴x+y 的立方根=
．
3.（2016 秋•商水县校级月考）已知a，b，c 在数轴上的位置如图，化简：
+
．
【思路点拨】根据数轴得到a＜b＜0＜c，据此来化简二次根式，去绝对值．
【答案与解析】解：如图所示：a＜b＜0＜c，则
+
=|a|+a+b+|c﹣a+b|+c+b+b
=﹣a+a+b+c﹣a+b+c+b+b
=4b+2c﹣a．
【总结升华】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴．根据数轴求得a、b、c 的取值
范围是解题的关键．
【高清课堂：二次根式 高清ID 号：388065 关联的位置名称：填空题5】
举一反三：
【变式】
ABC 的三边长为a、b、c，则
= .
【答案】
.
类型二、二次根式的运算
4．（2015•昆山市一模）计算：
（1）
；
（2）
．
【答案与解析】
解：（1）原式=2﹣1+3=4；
（2）原式=2﹣3﹣
﹣2=﹣
﹣3．
【总结升华】此题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质化简以及乘法计
算公式是解决问题的关键．
举一反三：
【变式】计算：
【答案】
5.已知a、b、c 为△ABC 的三边长，化简：
【答案与解析】
解：∵a、b、c 为△ABC 的三边长，
∴原式
【总结升华】利用三角形任意两边之和大于第三边和
进行化简.
6.若
，化简
.
【答案】
【解析】
【总结升华】把分子分母分别分解因式，然后约分，可以简化化简步骤.
举一反三：
【变式】当
.
【答案】
解：
将
代入，原式=3.
