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《三角形的证明》全章复习与巩固（提高）
【巩固练习】
一.选择题
1．有一块边长为24 米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B 处有健身器材，由于居住在A
处的居民践踏了绿地，小明想在A 处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍”请你计算后帮小
明在标牌的“▇”填上适当的数字是（ ）
A．3 米 B．4 米
C．5 米 D．
6 米
2. 设M 表示直角三角形，N 表示等腰三角形，P 表示等边三角形，Q 表示等腰直角三角形，则
下列四个图中，能表示它们之间关系的是（ ）
A
B
C
D
3. 如图，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D 为AB 中点，有以下结论：
(1)DE=AC；(2)DE⊥AC；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE。其中结论正确的是（ ）
A、(1)，(3) B、(2)，(3) C、(3)，(4) D、(1)，(2)，(4)
4. 如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，AD 平分∠CAB 交BC 于点D，DE⊥AB，垂足为E，且
AB=6cm，则△DEB 的周长为（ ）
A、4cm B、6cm C、8 cm D、10cm
5.如图，△ABC 中，AB=AC，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD，则∠A 的度数为（ ）
A、30° B、36° C、45° D、70°
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A
B
C
D
P
60°
10
第
题图
6.如图，已知AC 平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ 上，如果添加一个条件，即可推出
AB=AB′，那么该条件不可以是（ ）
A、BB′⊥AC B、BC=B′C C、∠ACB=∠ACB′ D、∠ABC=∠AB′C
7. 如图，等边三角形ABC 的边长为3，点P 为BC 边上一点，且BP=1，点D 为AC 边上一点若
∠APD=60°，则CD 的长为( )
A． 1
2
B．2
3
C．3
4
D．1
8. 在联欢晚会上，有A、B、C 三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子
游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最
适当的位置是在△ABC 的（ ）
A、三边中线的交点 B、三条角平分线的交点
C、三边上高的交点 D、三边中垂线的交点
二、填空题
9. 如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪
开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是__________ ．
10. 用反证法证明 “ 三角形中至少有一个角不小于60° 时，第一步为假设“
”
11. 如图，在Rt△ABC 中．∠C=90°，BC=6，AC=8，点D 在AC 上，将△BCD 沿BD 折叠，使点C 恰
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35°
好落在AB 边的点C′处，则△ADC′的面积是_________.
12. 如图，长方体的长为5，宽为3，高为12，点B 离点C 的距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长
方体的表面从点A 爬到点B，需要爬行的最短距离是________.
13. 已知实数x，y 满足
，则以x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是
___________.
14. 如图，在△ABC 中，∠B=50°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E，则
∠AEC=__
15. 已知⊿ABC 中，∠A = 90°，角平分线BE、CF 交于点O，则∠BOC =
.
16. 如图：△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE 交于点H，请你添加一个适当的
条件： ，使△AEH≌△CEB.
三、解答题
17. 如图：△ABD 和△CDH 都是等腰直角三角形，且D 在BC 上，BH 的延长线与AC 交于点E，请
你在图中找出一对全等的三角形，并写出证明过程．
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18. 如图，在长方形ABCD 中，DC=5cm，在DC 上存在一点E，沿直线AE 把△AED 折叠，使点D 恰
好落在BC 边上，设此点为F，若△ABF 的面积为30cm2，求折叠△AED 的面积．
19. 如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM， △CBN 是等边三角形，直线AN，MC 交于点E,直线
BM、CN 交与F 点.
(1)求证：AN=BM；(2)求证： △CEF 为等边三角形；(3)将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转
90°，其他条件不变，在图2 中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是
否仍然成立（不要求证明）
20.阅读下题及其证明过程：
已知：如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：∠BAE=∠CAE.
证明：在△AEB 和△AEC 中，
AE
AE
ACE
ABE
EC
EB
∴△AEB≌△AEC(第一步)
∴∠BAE=∠CAE(第二步)
问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？
并写出你认为正确的推理过程.
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【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】D；
【解析】解：因为是一块正方形的绿地，所以∠C=90°，由勾股定理得，AB=25 米，
计算得由A 点顺着AC，CB 到B 点的路程是24+7=31 米，而AB=25 米，则少走31﹣25=6 米．
故选D．
2. 【答案】A；
3. 【答案】D；
【解析】解：∵EA⊥AB，BC⊥AB，∴∠EAB=∠ABC=90°
Rt△EAD 与Rt△ABC
∵D 为AB 中点，∴AB=2AD
又EA=AB=2BC
∴AD=BC
∴Rt△EAD≌Rt△ABC
∴DE=AC，∠C=∠ADE，∠E=∠FAD
又∠EAF+∠DAF=90°∴∠EAF+∠E=90°
∴∠EFA=180°-90°=90°，即DE⊥AC，
∠EAF+∠DAF=90°，∠C+∠DAF=90°
∴∠C=∠EAF，∠C=∠ADE
∴∠EAF=∠ADE,故选D．
4. 【答案】B；
【解析】∵AD 平分∠CAB 交BC 于点D
∴CAD=∠EAD
∵E⊥AB
∴∠AED=∠C=90
∵AD=AD
∴△ACD≌△AED．（AAS）
∴AC=AE，CD=DE
∵∠C=90°，AC=BC
∴∠B=45°
∴DE=CE
∵AC=BC，AB=6cm，
∴2BC2=AB2，即BC=
2
2
AB
=
2
6
3 2
2
，
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∴BD=AB-AE=AB-AC=6-3 2 ，
∴BC+BE= 3 2 +6- 3 2 =6(cm)，
∵△DEB 的周长=DE+DB+BE=BC+BE=6（cm）．
另法：证明三角形全等后，
∴AC=AE，CD=DE．
∵AC=BC，
∴BC=AE．
∴△DEB 的周长=DB+DE+EB=DB+CD+EB=CB+BE=AE+BE=6(cm)．
故选B．
5. 【答案】B；
【解析】解：∵AB=AC，AD=BD=BC，
∴∠A=∠ABD，∠C=∠ABC=∠CDB，
设∠A=x°，则∠ABD=∠A=x°，
∴∠C=∠ABC=∠CDB=∠A+∠ABD=2x°
∵∠A+∠C+∠ABC=180°，
∴x+2x+2x=180，
∴x=36，
∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°．
6. 【答案】B；
【解析】添加A 选项中条件可用ASA 判定两个三角形全等；
添加B 选项中条件无法判定两个三角形全等；
添加C 选项中条件可用ASA 判定两个三角形全等；
添加D 选项以后是ASA 证明三角形全等．
故选B．
7. 【答案】B；
【解析】解：∵∠APC=∠ABP+∠BAP=60+∠BAP=∠APD+∠CPD=60+∠CPD，
∴∠BAP=∠CPD．
又∵∠ABP=∠PCD=60，
∴△ABP∽△PCD．
∴AB
BP
CP
CD
，即3
1
2
CD
．
∴CD=2/3．故选B．
8. 【答案】D；
【解析】三角形三边中垂线的运用.
二.填空题
9. 【答案】125°；
【解析】解：∵AB=AC，∠B=35°，
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∴∠C=35°，∠A=110°，
∵DE⊥BC，
∴∠ADE=360°-110°-35°-90°=125°，
∵125°＞110°＞90°＞35°，
∴四边形中，最大角的度数为：125°．故选C．
10.【答案】三角形的三个内角都小于60°；
【解析】第一步应假设结论不成立，即三角形的三个内角都小于60°．反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
11.【答案】6；
【解析】∵∠C=90°，BC=6，AC=8，
∴AB=
2
2
AB
BC
=10，
∵△BCD 沿BD 折叠，使点C 恰好落在AB 边的点C′处，
∴∠BC′D=∠C=90°，BC′=BC=6，DC′=DC，
∴AC′=AB-BC′=10-6=4，
∵S△ADB+S△DBC=S△ABC，
∴1
2 •AB•DC′+ 1
2 BC•DC= 1
2 AC•BC，
∴10DC′+6DC′=6×8，
∴DC′=3，
∴S△ADC′= 1
2 DC′•AC′= 1
2 ×4×3=6．
12.【答案】13；
【解析】将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，BD=2+3=5，AD=12，由勾股定理
得：AB=
2
2
AD
BD
=13．
13.【答案】20；
【解析】根据题意得，x-4=0，y-8=0，
解得x=4，y=8，
①4 是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
∵4+4=8，
∴不能组成三角形，
②4 是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，
能组成三角形，周长=4+8+8=20，
所以，三角形的周长为20．
故答案为：20．
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14.【答案】65°；
【解析】∵三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E，
∴∠EAC= 1
2 ∠DAC，∠ECA= 1
2 ∠ACF；
又∵∠B=50°（已知），∠B+∠BAC+∠BCA=180°（三角形内角和定理），
∴1
2 ∠DAC+ 1
2 ∠ACF= 1
2（∠B+∠BCA）+ 1
2（∠B+∠BAC）= 1
2（∠B+∠B+∠BCA+∠BAC）=
230
2
（外角定理），
∴∠AEC=180°-（1
2 ∠DAC+ 1
2 ACF）=65°；
故答案是：65°．
15.【答案】135°；
【解析】∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵角平分线BE、CF 交于点O，
∴∠OBC+∠OCB=45°，
∴∠BOC=180°-45°=135°．
故答案为135°．
16.【答案】AH=CB 或EH=BE 或AE=CE;
【解析】∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，
∴∠BEC=∠AEC=90°，
在Rt△AEH 中，∠EAH=90°-∠AHE，
又∵∠EAH=∠BAD，
∴∠BAD=90°-∠AHE，
在Rt△AEH 和Rt△CDH 中，∠CHD=∠AHE，
∴∠EAH=∠DCH，
∴∠EAH=90°-∠CHD=∠BCE，
所以根据AAS 添加AH=CB 或EH=BE；
根据ASA 添加AE=CE．
可证△AEH≌△CEB．
故填空答案：AH=CB 或EH=BE 或AE=CE．
三.解答题
17.【解析】
解：△ACD≌△BHD；
证明：∵△ABD 和△CDH 都是等腰直角三角形，
∴CD=DH，AD=BD，∠ADC=∠ADB=90°，
∴在△ACD 和△BHD 中，
∴△ACD≌△BHD（SAS）．
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18.【解析】
解：由折叠的对称性，得AD=AF，DE=EF．
由S△ABF= BF•AB=30，AB=5，
得BF=12．
在Rt△ABF 中，由勾股定理，得
．
所以AD=13．
设DE=x，则EC=5﹣x，EF=x，FC=1，
在Rt△ECF 中，EC2+FC2=EF2，
即（5﹣x）2+12=x2．
解得
．
故
．
19.【解析】
（1）证明：∵△ACM、△CBN 是等边三角形，
∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，
∴∠ACN=∠MCB=120°，
∴△ACN≌△MCB，
∴AN=MB．
（2）解：连接AN，BM，
∵△ACM、△CBN 是等边三角形，
∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACN=∠MCB，
∴△ACN≌△MCB，
∴AN=MB．
20.【解析】
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解：上面证明过程不正确；错在第一步．正确过程如下：
在△BEC 中，
∵BE=CE
∴∠EBC=∠ECB
又∵∠ABE=∠ACE
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC．
在△AEB 和△AEC 中，AE=AE，BE=CE，AB=AC
∴△AEB≌△AEC（SSS）
∴∠BAE=∠CAE．
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