文档文本内容
11.2 与三角形有关的角
专题一 利用三角形的内角和求角度
1．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交于D 点，∠A=50°，则
∠D=（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
2．如图，已知：在直角△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 且交AC 于D. 若AP 平分∠BAC
且交BD 于P，求∠BPA 的度数．
3．已知：如图1，线段AB、CD 相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1 的条件下，∠DAB 和
∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P，并且与CD、AB 分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1 中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D 之间的数量关系：__________；
（2）在图2 中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P 的度数；（写出解答过程）
（3）如果图2 中∠D 和∠B 为任意角，其他条件不变，试写出∠P 与∠D、∠B 之间的数量关系．
（直接写出结论即可）
专题二 利用三角形外角的性质解决问题
4．如图，∠ABD，∠ACD 的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P 的度数为（ ）
A．15°
B．20° C．25°
D．30°
5．如图，△ABC 中，CD 是∠ACB 的角平分线，CE 是AB 边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．
（1）求∠DCE 的度数；
（2）试写出∠DCE 与∠A、∠B 的之间的关系式．（不必证明）
6．如图：
（1）求证：∠BDC= A+ B+ C
∠
∠
∠；
（2）如果点D 与点A 分别在线段BC 的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD 这4 个角之
间有怎样的关系，并证明你的结论．
状元笔记
【知识要点】
1．三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°．
2．直角三角形的性质及判定
性质：直角三角形的两个锐角互余．
判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
3．三角形的外角及性质
外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【温馨提示】
1．三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角，而不是两边延长线组成的角．
2．三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角．
【方法技巧】
1．在直角三角形中已知一个锐角求另一个锐角时，可直接使用“直角三角形的两个锐角互
余”．
2．由三角形的外角的性质可得出：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．
参考答案:
1．C 解析：∵∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交于点D，∴∠1= 1
2
ACE
∠
，∠2=
1
2
ABC
∠
．又∵∠D= 1
∠－∠2，∠A= ACE
∠
－∠ABC，∴∠D= 1
2
A=25°
∠
．故选C．
2．解：（法1） 因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，
所以1
2 ( BAC
∠
＋∠ABC)=45°.
因为BD 平分∠ABC，AP 平分∠BAC ，
BAP=
∠
1
2
BAC
∠
，∠ABP= 1
2
ABC
∠
，
即∠BAP＋∠ABP=45°，
所以∠APB=180°－45°=135°.
（法2）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，
所以1
2 ( BAC
∠
＋∠ABC)=45°，
因为BD 平分∠ABC，AP 平分∠BAC，
DBC=
∠
1
2
ABC
∠
，∠PAC= 1
2
BAC
∠
，
所以∠DBC＋∠PAD=45°.
所以∠APB= PDA
∠
＋∠PAD = DBC
∠
＋∠C＋∠PAD
= DBC
∠
＋∠PAD＋∠C =45°＋90°=135°.
3．解：（1）∠A+ D= B+ C
∠
∠
∠；
（2）由（1）得，∠1+ D= 3+ P
∠
∠
∠，∠2+ P= 4+ B
∠
∠
∠，
1
∴∠－∠3= P
∠－∠D，∠2－∠4= B
∠－∠P，
又∵AP、CP 分别平分∠DAB 和∠BCD，
1= 2
∴∠
∠，∠3= 4
∠，
P
∴∠－∠D= B
∠－∠P，
即2 P= B+ D
∠
∠
∠，
P=
∴∠
（40°+30°）÷2=35°．
（3）2 P= B+ D
∠
∠
∠．
4．B 解析：延长DC，与AB 交于点E．根据三角形的外角等于不相邻的两内角和，可得
∠ACD=50°+ AEC=50°+ ABD+10°
∠
∠
，整理得∠ACD－∠ABD=60°．设AC 与BP 相交于点
O，则∠AOB= POC
∠
，∴∠P+ 1
2
ACD= A+
∠
∠
1
2
ABD
∠
，即∠P=50°－1
2
（∠ACD－∠ABD）
=20°．故选B．
5．解：（1）∵∠A=40°，∠B=72°，
ACB=68°
∴∠
．
CD
∵
平分∠ACB，
DCB=
∴∠
1
2
ACB=34°
∠
．
CE
∵
是AB 边上的高，
ECB=90°
∴∠
－∠B=90°－72°=18°．
DCE=34°
∴∠
－18°=16°．
（2）∠DCE= 1
2
（∠B－∠A）．
6．（1）证明：延长BD 交AC 于点E，
BEC
∵∠
是△ABE 的外角，
BEC= A+ B
∴∠
∠
∠．
BDC
∵∠
是△CED 的外角，
BDC= C+ DEC= C+ A+ B
∴∠
∠
∠
∠
∠
∠．
（2）猜想：∠BDC+∠ACD+ A+
∠
∠ABD=360°．
证明：∠BDC+∠ACD+ A+
∠
∠ABD
= 3+ 2+ 6+ 5+ 4+ 1
∠
∠
∠
∠
∠
∠
=（∠3+ 2+ 1
∠
∠）+（∠6+ 5+ 4
∠
∠）
=180°+180°=360°．
