7.模型构建专题：共顶点的等腰三角形_初高中资料库_初中资料库（转存避免链接过期失效）_初中数学

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翔梦想
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   成人成才
模型构建专题：共顶点的等腰三角形
——明模型，悉结论
类型一　共直角顶点的等腰直角三角形
1．如图，已知△ABC 和△DBE 均为等
腰直角三角形．
(1)求证：AD＝CE；
(2)猜想：AD 和CE 是否垂直？若垂直，
请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不
用写理由．
类型二　共顶点的等边三角形
2．如图①，等边△ABC 中，D 是AB 边
上的动点，以CD 为一边，向上作等边
△EDC，连接AE.
(1)△DBC 和△EAC 会全等吗？请说明
理由；
(2)试说明AE∥BC 的理由；
(3)如图②，将(1)中动点D 运动到边BA
的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是
否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
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参考答案与解析
1．(1)证明：∵△ABC 和△DBE 均为等
腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，
∠ABC ＝∠DBE ＝90° ，∴∠ABC －
∠DBC ＝∠DBE －∠DBC ，即∠ABD ＝
∠CBE，∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴AD＝
CE.
(2)解：垂直．理由如下：如图，延长AD
分
别
交
BC
和
CE
于
G
和
F.∵△ABD≌△CBE
，
∴
∠
BAD
＝
∠BCE.∵∠BAD ＋∠ABC ＋∠BGA ＝
∠BCE＋∠AFC＋∠CGF＝180°，∠BGA＝
∠CGF ，∴∠AFC ＝∠ABC ＝90° ，
∴AD⊥CE.
2．解：(1)△DBC 和△EAC 全等．理由如
下：∵△ABC 和△EDC 为等边三角形，∴BC
＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即
∠BCD＝∠ACE，∴△DBC≌△EAC(SAS)．
(2)∵△DBC≌△EAC，∴∠EAC＝∠B
＝60°. 又∵∠ACB ＝60° ，∴∠EAC ＝
∠ACB，∴AE∥BC.
(3)仍有AE∥BC.证明如下：∵△ABC，
△EDC 为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝
CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA＋
∠ACD＝∠DCE ＋∠ACD，即∠BCD＝
∠ACE. 在△DBC
和△EAC 中，
∵∴△DBC≌△EAC(SAS)，∴∠EAC＝∠B
＝60°. 又∵∠ACB ＝60° ，∴∠EAC ＝
∠ACB，∴AE∥BC.
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