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解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法
——形成精准思维模式，快速解题
类型一 利用“三线合一”作辅助线
一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)
1．如图，在△ABC 中，AB＝AC，
AE⊥BE 于点E，且BE＝BC，若∠EAB＝
20°，则∠BAC＝__________.
2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为
BC 边的中点，过点D 作DE⊥AB，DF⊥AC，
垂足分别为E，F.
(1)求证：DE＝DF；
(2)若∠A＝90°，图中与DE 相等的有哪
些线段(不说明理由)？
3．如图，△ABC 中，AC＝2AB，AD 平分
∠BAC 交BC 于D，E 是AD 上一点，且EA
＝EC，求证：EB⊥AB.
二、构造等腰三角形
4．如图，△ABC 的面积为1cm2，AP 垂
直∠ABC 的平分线BP 于P，则△PBC 的面
积为 ( )
A．0.4cm2 B．0.5cm2
C．0.6cm2 D．0.7cm2
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5．如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，
∠A＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D，
CE⊥BD.求证：BD＝2CE.
类型二 巧用等腰直角三角形构造全
等
6．(2016·铜仁中考)如图，在△ABC 中，
AC＝BC，∠C＝90°，D 是AB 的中点，
DE⊥DF，点E，F 分别在AC，BC 上，求证：
DE＝DF.
类型三 等腰(边)三角形中截长补短或
作平行线构造全等
7．如图，已知AB＝AC，∠A＝108°，BD
平分∠ABC 交AC 于D，求证：BC＝AB＋
CD.
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8．如图，过等边△ABC 的边AB 上一点
P，作PE⊥AC 于E，Q 为BC 延长线上一点，
且PA＝CQ，连PQ 交AC 边于D.
(1)求证：PD＝DQ；
(2)若△ABC 的边长为1，求DE 的长．
参考答案与解析
1．40°
2．(1)证明：如图，连接AD.∵AB＝AC，
D 是BC 的中点，∴∠EAD ＝∠FAD. 又
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
(2)解：若∠BAC＝90°，图中与DE 相等
的有线段DF，AE，AF，BE，CF.
3．证明：如图，作EF⊥AC 于F.∵EA＝
EC，∴AF＝FC＝AC.∵AC＝2AB，∴AF＝
AB.∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又
∵AE ＝AE ，∴△ABE≌△AFE(SAS) ，
∴∠ABE＝∠AFE＝90°.∴EB⊥AB.
4．B
5．证明：如图，延长BA 和CE 交于点
M.∵CE⊥BD ，∴∠BEC ＝∠BEM ＝
90°.∵BD 平分∠ABC，∴∠MBE＝∠CBE.
又∵BE＝BE，∴△BME≌△BCE(ASA)，
∴EM＝EC＝MC.∵△ABC 是等腰直角三角
形，∴∠BAC＝∠MAC＝90°，BA＝AC，
∴∠ABD＋∠BDA＝90°.∵∠BEC＝90°，
∴∠ACM ＋∠CDE ＝90°.∵∠BDA ＝
∠EDC，∴∠ABE＝∠ACM.又∵AB＝AC，
∴△ABD≌△ACM(ASA) ，∴DB ＝MC ，
∴BD＝2CE.
6．证明：如图，连接CD.∵AC＝BC，D
是AB 的中点，∴CD 平分∠ACB，CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝
∠ACD＝45°，∴∠B＝180°－∠CDB－
∠BCD＝45°，∴∠ACD＝∠B＝∠BCD，
∴CD＝BD.∵ED⊥DF，∴∠EDF＝∠EDC
＋∠CDF＝90°.又∵∠CDF＋∠BDF＝90°，
∴
∠
EDC
＝
∠
BDF
，
∴△ECD≌△FBD(ASA)，∴DE＝DF.
7．证明：如图，在线段BC 上截取BE＝
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BA，连接DE.∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝
∠
EBD.
又
∵
BD
＝
BD
，
∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠BED＝∠A＝
108°，∴∠DEC＝180°－∠DEB＝72°.又
∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC
＝×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE＝∠DEB
－∠ACB＝180°－36°＝72°，∴∠CDE＝
∠DEC，∴CD＝CE，∴BC＝BE＋EC＝AB
＋CD.
8．(1)证明：如图，过P 作PF∥BC 交
AC 于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝
∠Q，∠PFD＝∠QCD.∵△ABC 为等边三角
形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∠AFP＝60°，
∴△APF 是等边三角形，∴AP＝PF.∵AP＝
CQ，∴PF＝CQ，∴△PFD≌△QCD(ASA)，
∴PD＝DQ.
(2) 解：∵△APF 是等边三角形，
PE⊥AC，∴AE＝EF.∵△PFD≌△QCD，
∴CD＝DF，∴DE＝EF＋DF＝AC.又∵AC
＝1，∴DE＝.
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