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中考冲刺：代几综合问题(提高)
一、选择题
1.（2016•鄂州）如图，O 是边长为4cm 的正方形ABCD 的中心，M 是BC 的中点，动点P 由A
开始沿折线A﹣B﹣M 方向匀速运动，到M 时停止运动，速度为1cm/s．设P 点的运动时间为t
（s），点P 的运动路径与OA、OP 所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积S（cm2）与时间t（s）
的关系的图象可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 如图，夜晚，小亮从点A 经过路灯C 的正下方沿直线走到点B，他的影长y 随他与点A
之间的距离x 的变化而变化，那么表示y 与x 之间函数关系的图象大致为（ ）
二、填空题
3. 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，0)，点B 的坐标为(4，10)，点C 在y 轴上，且
△ABC 是直角三角形，则满足条件的 C 点的坐标为______________．
4.（2016•梧州）如图，在坐标轴上取点A1（2，0），作x 轴的垂线与直线y=2x 交于点B1，作
等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x 轴的垂线交直线y=2x 交于点B2，作等腰直角三角形
A2B2A3；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到An（n 为正整数）点时，则An的坐标是______．
三、解答题
5. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D 在BC 上，且CD=3cm，现有两个
动点P，Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以1 厘米/秒的速度沿AC 向终点C 运动；点Q
以1.25 厘米/秒的速度沿BC 向终点C 运动．过点P 作
PE∥BC 交AD 于点E，连接EQ．设动点运动时间为t 秒（t＞0）．
（1）连接DP，经过1 秒后，四边形EQDP 能够成为平行四边形吗？请说明理由；
（2）连接PQ，在运动过程中，不论t 取何值时，总有线段PQ 与线段AB 平行．为什么？
（3）当t 为何值时，△EDQ 为直角三角形．
6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，OA∥BC，点A 的坐标为（6，0），点B
的坐标为（3，4），点C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在
AB 上运动，从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1 个单位长度，当其中一个
点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）
（1）求线段AB 的长；当t 为何值时，MN∥OC？
（2）设△CMN 的面积为S，求S 与t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围；S 是
否有最小值？若有最小值，最小值是多少？
7. 条件：如下图，A、B 是直线l 同旁的两个定点．
问题：在直线l 上确定一点P，使PA+PB 的值最小．
方法：作点A 关于直线l 的对称点A′，连接A′B 交l 于点P，则PA+PB=A′B 的值最小
（不必证明）．
模型应用：
（1）如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连接BD，由正方
形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连接ED 交AC 于P，则PB+PE 的最小值是______；
（2）如图2，⊙O 的半径为2，点A、B、C 在⊙O 上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P 是OB 上一动点，
求PA+PC 的最小值；
（3）如图3，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q、R 分别是OA、OB 上的动点，求△PQR
周长的最小值．
8. 如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，
点C 在y 轴上，OA=15，OC=9，在AB 上取一点M，使得△CBM 沿CM 翻折后，点B 落在x 轴上，记
作N 点．
（1）求N 点、M 点的坐标；
（2）将抛物线y=x2﹣36 向右平移a（0＜a＜10）个单位后，得到抛物线l，l 经过点N，求
抛物线l 的解析式；
（3）①抛物线l 的对称轴上存在点P，使得P 点到M、N 两点的距离之差最大，求P 点的坐
标；
②若点D 是线段OC 上的一个动点（不与O、C 重合），过点D 作DE∥OA 交CN 于E，设CD 的
长为m，△PDE 的面积为S，求S 与m 之间的函数关系式，并说明S 是否存在最大值？若存在，
请求出最大值；若不存在，请说明理由．
9. 如图，直线y=kx﹣1 与x 轴、y 轴分别交于B、C 两点，tan∠OCB= ．
（1）求B 点的坐标和k 的值；
（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx﹣1 上的一个动点．当点A 运动过程中，试写
出△AOB 的面积S 与x 的函数关系式；
（3）探索：在（2）的条件下：
①当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是；
②在①成立的情况下，x 轴上是否存在一点P，使△POA 是等腰三角形？若存在，请写出
满足条件的所有P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
10. （2015•成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x
轴交于A，B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l：y=kx+b 与y 轴交于点C，与抛物线
的另一个交点为D，且CD=4AC．
（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k，b 用含a 的式子表示）；
（2）点E 是直线l 上方的抛物线上的一点，若△ACE 的面积的最大值为，求a 的值；
（3）设P 是抛物线对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A，D，P，Q 为顶点的四边形能
否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．
11. 如图，已知等边三角形ABC 中，点D，E，F 分别为边AB，AC，BC 的中点，M 为直线BC 上
一动点，△DMN 为等边三角形（点M 的位置改变时，△DMN 也随之整体移动）．
（1）如图①，当点M 在点B 左侧时，请你判断EN 与MF 有怎样的数量关系？点F 是否在直
线NE 上？请直接写出结论，不必证明或说明理由；
（2）如图②，当点M 在BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍
然成立？若成立，请利用图2 证明；若不成立，请说明理由；
（3）若点M 在点C 右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN 与MF
的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．
答案与解析
【答案与解析】 一、选择题
1.【答案】A.
【解析】分两种情况：
①当0≤t＜4 时，
作OG⊥AB 于G，如图1 所示：
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠B=90°，AD=AB=BC=4cm，
∵O 是正方形ABCD 的中心，
∴AG=BG=OG=
AB=2cm，
∴S=
AP•OG=
×t×2=t（cm2），
②当t≥4 时，作OG⊥AB 于G，
如图2 所示：
S=△OAG 的面积+梯形OGBP 的面积=
×2×2+
（2+t
﹣4）×2=t（cm2）；
综上所述：面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象是过原点的线段，故选A．
2.【答案】A.
三、填空题
3.【答案】 （0，0），（0，10），（0，2），（0，8）
4.【答案】（2×3n﹣1，0）.
【解析】∵点B1、B2、B3、…、Bn在直线y=2x 的图象上，
∴A1B1=4，A2B2=2×（2+4）=12，A3B3=2×（2+4+12）=36，A4B4=2×（2+4+12+36）
=108，…，
∴AnBn=4×3n﹣1（n 为正整数）．
∵OAn=
AnBn，
∴点An的坐标为（2×3n﹣1，0）．
故答案为：（2×3n﹣1，0）．
三、解答题
5.【答案与解析】
解：
（1）能，如图1，∵点P 以1 厘米/秒的速度沿AC 向终点C 运动，点Q 以1.25 厘米/秒的速
度沿BC 向终点C 运动,t=1 秒
∴AP=1，BQ=1.25，
∵AC=4，BC=5，点D 在BC 上，CD=3，
∴PC=AC-AP=4-1=3，QD=BC-BQ-CD=5-1.25-3=0.75，
∵PE∥BC，
解得PE=0.75，
∵PE∥BC，PE=QD，
∴四边形EQDP 是平行四边形；
（2）如图2，∵点P 以1 厘米/秒的速度沿AC 向终点C 运动，点Q 以1.25 厘米/秒的速度
沿BC 向终点C 运动，
∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=5-1.25t，
∴
∴PQ∥AB；
（3）分两种情况讨论：
①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t，
又∵EQ∥AC，
∴△EDQ∽△ADC
∴
，
∵BC=5，CD=3，
∴BD=2，
∴DQ=1.25t-2，
∴
解得t=2.5（秒）；
②如图4，当∠QED=90°时，作EM⊥BC 于M，CN⊥AD 于N，则EM=PC=4-t，
在 Rt△ACD 中，
∵AC=4，CD=3，
∴AD=
，
∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，
∴△EDQ∽△CDA，
∴ t=3.1（秒）．
综上所述，当 t=2.5 秒或t=3.1 秒时，△EDQ 为直角三角形．
6.【答案与解析】
解：
（1）过点B 作BD⊥OA 于点D，
则四边形CODB 是矩形，
BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3
在Rt△ABD 中，
．
当
时，
，
，
．
∵
，
，
∴
，
即
（秒）．
（2）过点
作
轴于点
，交
的延长线于点
，
∵
，
∴
，
．
即
，
．
，
．
，
∴
．
即
（
）．
由
，得
．
∴当
时，S 有最小值，且
7.【答案与解析】
解：
（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴AC 垂直平分BD，
∴PB=PD，
由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，
在△ADE 中，根据勾股定理得，DE=
；
（2）作A 关于OB 的对称点A′，连接A′C，交OB 于P，
PA+PC 的最小值即为A′C 的长，
∵∠AOC=60°
∴∠A′OC=120°
作OD⊥A′C 于D，则∠A′OD=60°
∵OA′=OA=2
∴A′D=
∴
；
（3）分别作点P 关于OA、OB 的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN 交OA、OB 于点Q、R，连接
PR、PQ，
此时△PQR 周长的最小值等于MN．
由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，
∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，
在Rt△MON 中，MN=
=
=10
．
即△PQR 周长的最小值等于10
．
8.【答案与解析】
解：
（1）∵CN=CB=15，OC=9，
∴ON=
=12，∴N（12，0）；
又∵AN=OA﹣ON=15﹣12=3，
设AM=x
∴32+x2=（9﹣x）2，∴x=4，M（15，4）；
（2）解法一：设抛物线l 为y=（x﹣a）2﹣36
则（12﹣a）2=36
∴a1=6 或a2=18（舍去）
∴抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36
解法二：
∵x2﹣36=0，
∴x1=﹣6，x2=6；
∴y=x2﹣36 与x 轴的交点为（﹣6，0）或（6，0）
由题意知，交点（6，0）向右平移6 个单位到N 点，
所以y=x2﹣36 向右平移6 个单位得到抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36；
（3）①由“三角形任意两边的差小于第三边”知：P 点是直线MN 与对称轴x=6 的交点，
设直线MN 的解析式为y=kx+b，
则
，解得
，
∴y= x﹣16，
∴P（6，﹣8）；
②∵DE∥OA，
∴△CDE∽△CON，
∴
；
∴S=
∵a=﹣＜0，开口向下，又m=﹣
∴S 有最大值，且S 最大=﹣
．
9.【答案与解析】
解：
（1）∵y=kx﹣1 与y 轴相交于点C，
∴OC=1；
∵tan∠OCB=
，∴OB= ；∴B 点坐标为:
；
把B 点坐标为：
代入y=kx﹣1 得：k=2；
（2）∵S=
，y=kx﹣1，
∴S= × |2x﹣1|；∴S=| x﹣|；
（3）①当S= 时，x﹣= ，∴x=1，y=2x﹣1=1；
∴A 点坐标为（1，1）时，△AOB 的面积为；
②存在．
满足条件的所有P 点坐标为：P1（1，0），P2（2，0），P3（
，0），P4（
，0）．
10.【答案与解析】
解：（1）令y=0，则ax2﹣2ax﹣3a=0，
解得x1=﹣1，x2=3
∵点A 在点B 的左侧，
∴A（﹣1，0），
如图1，作DF⊥x 轴于F，
∴DF∥OC，
∴
=
，
∵CD=4AC，
∴
=
=4，
∵OA=1，
∴OF=4，
∴D 点的横坐标为4，
代入y=ax2﹣2ax﹣3a 得，y=5a，
∴D（4，5a），
把A、D 坐标代入y=kx+b 得
，
解得
，
∴直线l 的函数表达式为y=ax+a．
（2）设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），yAE=k1x+b1，
则
，
解得：
，
∴yAE=a（m﹣3）x+a（m﹣3），
∴S△ACE= （m+1）[a（m﹣3）﹣a]= （m﹣）2﹣
a，
∴有最大值﹣
a= ，
∴a=﹣；
（3）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，
解得x1=﹣1，x2=4，
∴D（4，5a），
∵y=ax2﹣2ax﹣3a，∴抛物线的对称轴为x=1，
设P1（1，m），
①若AD 是矩形的一条边，
由AQ∥DP 知xD﹣xP=xA﹣xQ，可知Q 点横坐标为﹣4，将x=﹣4 带入抛物线方程得Q（﹣
4，21a），
m=yD+yQ=21a+5a=26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ 为矩形，∴∠ADP=90°，
∴AD2+PD2=AP2，
∵AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，
PD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，
∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2=（﹣1﹣1）2+（26a）2，
即a2= ，∵a＜0，∴a=﹣
，
∴P1（1，﹣
）．
②若AD 是矩形的一条对角线，
则线段AD 的中点坐标为（，
），Q（2，﹣3a），
m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），
∵四边形ADPQ 为矩形，∴∠APD=90°，
∴AP2+PD2=AD2，
∵AP2=[1﹣（﹣1）]2+（8a）2=22+（8a）2，
PD2=（4﹣1）2+（8a﹣5a）2=32+（3a）2，
AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，
∴22+（8a）2+32+（3a）2=52+（5a）2，
解得a2= ，∵a＜0，∴a=﹣，
∴P2（1，﹣4）．
综上可得，P 点的坐标为P1（1，﹣4），P2（1，﹣
）．
11.【答案与解析】
解：
（1）判断：EN 与MF 相等 （或EN=MF），点F 在直线NE 上.
（2）成立．
证明：连结DE，DF．
∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC=BC．
又∵D，E，F 是三边的中点，
∴DE，DF，EF 为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．
又∠MDF+∠FDN=60°， ∠NDE+∠FDN=60°，
∴∠MDF=∠NDE．
在△DMF 和△DNE 中，DF=DE，DM=DN， ∠MDF=∠NDE，
∴△DMF≌△DNE．
∴MF=NE．
（3）画出图形（连出线段NE），
MF 与EN 相等的结论仍然成立（或MF=NE 成立）．
