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勾股定理的逆定理（基础）
责编：杜少波
【学习目标】
1. 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；
2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；
3. 理解勾股数的含义；
4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.
【要点梳理】
【高清课堂 勾股定理逆定理 知识要点】
要点一、勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长a
b
c
，，，满足
2
2
2
a
b
c
，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角
形是否为直角三角形.
要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1）
首先确定最大边（如c ）.
（2）
验证
2c 与
2
2
a
b
是否具有相等关系.若
2
2
2
c
a
b
，则△ABC 是∠C＝90°的
直角三角形；若
2
2
2
c
a
b
，则△ABC 不是直角三角形.
要点诠释：当
2
2
2
a
b
c
时，此三角形为钝角三角形；当
2
2
2
a
b
c
时，此三角形为锐
角三角形，其中c 为三角形的最大边.
要点三、勾股数
满足不定方程
2
2
2
x
y
z
的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），
显然，以x
y
z
、、为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果a
b
c
、、是勾股数，当t 为正整数时，以at
bt
ct
、、
为三角形的三边长，此三角形
必为直角三角形.
要点诠释：（1）
2
2
1 2
1
n
n
n
，，
（
1,
n
n
是自然数）是直角三角形的三条边长；
（2）
2
2
2
2 , 2
1, 2
2
1
n
n
n
n
n
（n≥1，n 是自然数）是直角三角形的三条
边长；
（3）
2
2
2
2
,
,2
m
n
m
n
mn
（
,
m
n m
n
、是自然数）是直角三角形的三条
边长；
【典型例题】
类型一、勾股定理的逆定理
1、判断由线段a
b
c
，，组成的三角形是不是直角三角形．
（1）a ＝7，b ＝24，c ＝25；
（2）a ＝4
3 ，b ＝1，c ＝3
4 ；
（3）
2
2
a
m
n
，
2
2
b
m
n
，
2
c
mn
(
0
m
n
)；
【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两
条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形．
【答案与解析】
解：（1）∵
2
2
2
2
7
24
625
a
b
，
2
2
25
625
c
，
∴
2
2
2
a
b
c
．
∴ 由线段a
b
c
，，组成的三角形是直角三角形．
（2）∵ a
b
c
，
2
2
2
2
3
9
25
1
1
4
16
16
b
c
，
2
2
4
16
3
9
a
，
∴
2
2
2
b
c
a
．
∴ 由线段a
b
c
，，组成的三角形不是直角三角形．
（3）∵
0
m
n
，
∴
2
2
2
m
n
mn
，
2
2
2
2
m
n
m
n
．
∵
2
2
2
2
2
2
4
2
2
4
2
2
4
2
2
4
(
)
(2
)
2
4
2
a
c
m
n
mn
m
m n
n
m n
m
m n
n
，
2
2
2
2
4
2
2
4
(
)
2
b
m
n
m
m n
n
，
∴
2
2
2
a
c
b
．
∴ 由线段a
b
c
，，组成的三角形是直角三角形．
【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进
行判断，即首先确定最大边，然后验证
2c 与
2
2
a
b
是否具有相等关系，再根据结果判断是否
为直角三角形．
举一反三：
【变式】（2015 春•安陆市期中）发现下列几组数据能作为三角形的边：（1）8，15，17；（2）5，
12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形的三边长的有（ ）
A.1 组
B.2 组
C.3 组
D.4 组
【答案】C.
解：①∵82+152=172，∴能组成直角三角形；
②∵52+122=132，∴能组成直角三角形；
③122+152≠202，∴不能组成直角三角形；
④72+242=252，∴能组成直角三角形．
故选C．
2、（2016 春•丰城市期末）如图，已知四边形ABCD 中，∠B＝∠90°，AB＝3，BC＝4，CD＝
12，AD＝13，求四边形ABCD 的面积．
【思路点拨】由AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，应想到连接AC，则在Rt△ABC 中即可求出△ABC 的
面积，也可求出线段AC 的长．所以在△ACD 中，已知AC，AD，CD 三边长，判断这个三角形的形
状，进而求得这个三角形的面积．
【答案与解析】
解：连接AC，在△ABC 中，
因为∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
所以
2
2
2
2
2
3
4
9 16
25
AC
AB
BC
，所以AC＝5，
在△ACD 中，AD＝13，DC＝12，AC＝5，
所以
2
2
2
2
2
2
5
12
25 144
169
13
DC
AC
AD
，
即
2
2
2
DC
AC
AD
．
所以△ACD 是直角三角形，且∠ACD＝90°．
所以
1
1
2
2
ABC
ACD
ABCD
S
S
S
AB
BC
AC
DC
△
△
四边形
1
1
3 4
5 12
2
2
6
30
36
．
【总结升华】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解，本题是勾股定理及逆定理的
综合考察．
类型二、勾股定理逆定理的应用
3、已知：, ,
a b c 为ABC
的三边且满足
2
2
2
338
10
24
26
a
b
c
a
b
c
，试判断
ABC
的形状.
【答案与解析】
解：∵
2
2
2
338
10
24
26
a
b
c
a
b
c
∴
0
338
26
24
10
2
2
2
c
c
b
b
a
a
0
)
13
(
)
12
(
)
5
(
2
2
2
c
b
a
∴
5,
12,
13
a
b
c
，
2
2
2
c
b
a
∴△ABC 是直角三角形.
【总结升华】此类问题中要判断的三角形一般都是特殊三角形，一定要善于把题目中已知的
条件等式进行变形，从而得到三角形的三边关系.对条件等式进行变形常用的方法有配方法，
因式分解法等.
举一反三：
【变式】请阅读下列解题过程：已知a、b、c 为△ABC 的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判
断△ABC 的形状．
解：
∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4， 第一步
∴c2（a2
b
﹣2）=（a2+b2）（a2﹣b2）， 第二步
∴c2=a2+b2， 第三步
∴△ABC 为直角三角形． 第四步
问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：
_________
；
（2）错误的原因是：
_________
；
（3）本题正确的结论是：
_________
．
【答案】
解：（1）第三步；
（2）方程两边同时除以（a2﹣b2）时，没有考虑（a2﹣b2）的值有可能是0；
（3）∵c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）
∴c2=a2+b2或a2﹣b2=0
∵a2﹣b2=0
∴a+b=0 或a﹣b=0
∵a+b≠0
∴c2=a2+b2或a﹣b=0
∴c2=a2+b2或a=b
∴该三角形是直角三角形或等腰三角形．
4、
（2015•秦皇岛校级模拟）如图，铁路MN 和铁路PQ 在P 点处交汇，点A 处是第九十四
中学，AP=160 米，点A 到铁路MN 的距离为80 米，假使火车行驶时，周围100 米以内会受到噪
音影响．
（1）火车在铁路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由．
（2）如果受到影响，已知火车的速度是180 千米/时那么学校受到影响的时间是多久？
【思路点拨】（1）过点A 作AE⊥MN 于点E，由点A 到铁路MN 的距离为80 米可知AE=80m，再由
火车行驶时，周围100 米以内会受到噪音影响即可直接得出结论；
（2）以点A 为圆心，100 米为半径画圆，交直线MN 于BC 两点，连接AB、AC，则AB=AC=100m，在
Rt△ABE 中利用勾股定理求出BE 的长，进而可得出BC 的长，根据火车的速度是180 千米/时
求出火车经过BC 是所用的时间即可．
【答案与解析】
解：（1）会受到影响．
过点A 作AE⊥MN 于点E，
∵点A 到铁路MN 的距离为80 米，
∴AE=80m，
∵周围100 米以内会受到噪音影响，80＜100，
∴学校会受到影响；
（2）以点A 为圆心，100 米为半径画圆，交直线MN 于BC 两点，连接AB、AC，则AB=AC=100m，
在Rt△ABE 中，
∵AB=100m，AE=80m，
∴BE=
=
=60m，
∴BC=2BE=120m，
∵火车的速度是180 千米/时=50m/s，
∴t=
=
=2.4s．
答：学校受到影响的时间是2.4 秒．
【总结升华】题考查的是勾股定理的应用，在解答此类题目时要根据题意作出辅助线，构造出
直角三角形，再利用勾股定理求解．
