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让更多的孩子得到更好的教育
【巩固练习】
一．选择题
1．在△ABC 中，若
1
,
2
,1
2
2
n
c
n
b
n
a
，则△ABC 是（ ）
A． 锐角三角形 B． 钝角三角形 C． 等腰三角形 D． 直角三角形
2． 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
3．（2015 春•西华县期末）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为1：2：3
B．三边长的平方之比为1：2：3
C．三边长之比为3：4：5
D．三内角之比为3：4：5
4．如图，一牧童在A 处牧马，牧童家在B 处，A、B 处距河岸的距离AC、BD 的长分别为500m
和700m，且C、D 两地的距离为500m，天黑前牧童从A 点将马牵引到河边去饮水后，再
赶回家，那么牧童至少要走（ ）
A．2900m
B．1200m
C．1300m
D．1700m
5． 直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列各式中总能成立的是（ ）
A．ab=h2 B．a2+b2=h2 C．1
1
1
a
b
h
D．
2
2
2
1
1
1
a
b
h
6．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB 于点D，AB＝13，CD＝6，则(AC＋BC)2等于( )
A．25
B．325 C．2197
D．405
7． 已知三角形的三边长为a
b
c
、、
，由下列条件能构成直角三角形的是（ ）
A．
2
2
2
2
2
2
1
,
4
,
1
a
m
b
m c
m
B．
2
2
2
2
2
1
,
4 ,
1
a
m
b
m c
m
C．
2
2
2
2
2
1
,
2 ,
1
a
m
b
m c
m
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D．
2
2
2
2
2
2
1
,
2
,
1
a
m
b
m c
m
8．（2016•连云港）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、
S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇
形，面积分别为S4、S5、S6．其中S1=16，S2=45，S5=11，S6=14，则S3+S4=（ ）
A．86 B．64 C．54 D．48
二．填空题
9．如图，AB＝5，AC＝3，BC 边上的中线AD＝2，则△ABC 的面积为______．
10．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB 折叠使它落
在斜边AC 上，折痕为AD，则BD＝______．
11．已知：△ABC 中，AB＝15，AC＝13，BC 边上的高AD＝12，BC＝_______．
12．如图，E 是边长为4cm 的正方形ABCD 的边AB 上一点，且AE=1cm，P 为对角线BD 上
的任意一点，则AP+EP 的最小值是 cm．
13．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和2cm，高为4cm，点P 在边BC 上，且BP= 1
4
BC．
如果用一根细线从点A 开始经过3 个侧面缠绕一圈到达点P，那么所用细线最短需要
cm．
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14．（2014 春•监利县期末）小明把一根70cm 长的木棒放到一个长宽高分别为30cm，40cm，
50cm 的木箱中，他能放进去吗？答： （选填“能”或“不能”）．
15．（2016 春•浠水县期末）如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，该图形的面积
等于
．
16． 如图所示，在△ABC 中，AB＝5，AC＝13，BC 边上的中线AD＝6，∠BAD＝________．
三．解答题
17．（2016 春•召陵区月考）能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，
观察表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c．
（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；
（2）写出当a=17 时，b，c 的值．
3，4，5
32+42=52
5，12，13，
52+122=132
7，24，25
72+242=252
9，40，41
92+402=412
…
…
17，b，c
172+b2=c2
18．如图等腰△ABC 的底边长为8cm，腰长为5cm，一个动点P 在底边上从B 向C 以0．
25cm/s 的速度移动，请你探究，当P 运动几秒时，P 点与顶点A 的连线PA 与腰垂直．
19．（2015•永州）如图，有两条公路OM、ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点80 米处有
一所学校A．当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心50 米长为半径的
圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大．若
一直重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为18 千米/时．
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（1）求对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离；
（2）求卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间．
20． 如图1，四根长度一定的木条，其中AB＝6cm ，CD＝15cm ，将这四根木条用小钉绞合
在一起，构成一个四边形ABCD（在A、B、C、D 四点处是可以活动的）．现固定AB 边不动，
转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置．
位置一：当点D 在BA 的延长线上时，点C 在线段AD 上（如图2）；
位置二：当点C 在AB 的延长线上时，∠C＝90°．
（1）在图2 中，若设BC 的长为x ，请用x 的代数式表示AD 的长；
（2）在图3 中画出位置二的准确图形；（各木条长度需符合题目要求）
（3）利用图2、图3 求图1 的四边形ABCD 中，BC、AD 边的长．
【答案与解析】
一．选择题
1．【答案】D；
【解析】因为
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
c
a
n
n
n
n
＝4
2
2
n
b
，所以
2
2
2
c
a
b
，
2
2
2
a
b
c
，由勾股定理的逆定理可知：△ABC 是直角三角形．
2．【答案】C；
【解析】连接AC，计算AC2＝BC2＝5,AB2＝10,根据勾股定理的逆定理，△ABC 是等腰直角
三角形，∴∠ABC＝45°．
3．【答案】D；
【解析】解：A、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30 度，60 度，90 度，所以
是直角三角形，故正确；
B、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；
C、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；
D、因为根据三角形内角和公式得三个角中没有90°角，所以不是直角三角形，故
不正确．
故选D．
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4．【答案】C；
【解析】作A 点关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸与P，则PB+PA=PB+PA′=BA′最短，
如图，BB′=BD+DB′=1200，B′A′=500，BA′=1300（m）．
5．【答案】D；
【解析】解：根据直角三角形的面积可以导出：
ab
c
h
．再结合勾股定理：a2+b2=c2．进行等
量代换，得a2+b2=
2
2
2
a b
h
．两边同除以a2b2，得
2
2
2
1
1
1
a
b
h
．
6．【答案】B；
【解析】
2
2
2
2
2
2
AC
BC
AC
BC
AC BC
AB
AB CD
＝169＋2×13×6＝
325．
7．【答案】B；
【解析】
2
2
1
4
1
m
m
m
．
8．【答案】C；
【解析】解：如图1，S1=
AC2，S2=
AB2，S3=
BC2，
∵BC2=AB2
AC
﹣
2，
∴S2
S
﹣
1=S3，
如图2，S4=S5+S6，
∴S3+S4=45
16
﹣
+11+14=54．
故选C．
二．填空题
9．【答案】6；
【解析】延长AD 到E，使DE＝AD，连结BE，可得△ABE 为直角三角形．
10．【答案】3；
【解析】设点B 落在AC 上的E 点处，设BD＝x ，则DE＝BD＝x ，AE＝AB＝6，CE＝4，
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CD＝8－x ，在Rt△CDE 中根据勾股定理列方程．
11．【答案】14 或4；
【解析】当△ABC 是锐角三角形时，BC＝9＋5＝14；当△ABC 是钝角三角形时，BC＝9－
5＝4．
12．【答案】5
【解析】作E 点关于直线BD 的对称点E′，连接AE′，则线段AE′的长即为AP+EP 的最小值
5．
13．【答案】5
【解析】∵长方体的底面边长分别为1cm 和2cm，高为4cm，点P 在边BC 上，且BP= 1
4
BC，∴AC=4cm，PC= 3
4
BC=3cm，根据两点之间线段最短，AP=5．
14．【答案】能；
【解析】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，
根据题意，得x2=502+402+302=5000，
702=4900，
因为4900＜5000，
所以能放进去．
15．【答案】96；
【解析】连接AC，在Rt△ACD 中，AD=8，CD=6，
∴AC2=100，
在△ABC 中，∵AC2+BC2=102+242=262=AB2，
∴△ABC 为直角三角形；
∴图形面积为：
S
ABC
△
S
﹣
ACD
△
=
×10×24﹣
×6×8=96．
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16．【答案】90°；
【解析】延长AD 到M，使DM＝AD，易得△ABD≌△MCD．∴ CM＝AB＝5 AM＝2AD
＝12 在△ACM 中
2
2
2
5
12
13
即
2
2
2
CM
AM
AC
∴∠AMC＝∠BAD=90°
三．解答题
17．【解析】
解：（1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析：
①以上各组数均满足a2+b2=c2；
②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；
③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，
如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41…
由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：
设m 为大于1 的奇数，将m2拆分为两个连续的整数之和，即m2=n+（n+1），
则m，n，n+1 就构成一组简单的勾股数，
证明：∵m2=n+（n+1）（m 为大于1 的奇数），
∴m2+n2=2n+1+n2=（n+1）2，
∴m，n，（n+1）是一组勾股数；
（2）运用以上结论，当a=17 时，
∵172=289=144+145，
∴b=144，c=145．
18．【解析】
解：如图，作AD⊥BC，交BC 于点D，
∵BC=8cm，
∴BD=CD= BC=4cm，
∴AD=3，
分两种情况：当点P 运动t 秒后有PA⊥AC 时，
∵AP2=PD2+AD2=PC2
AC
﹣
2，∴PD2+AD2=PC2
AC
﹣
2，
∴PD2+32=（PD+4）2
5
﹣2∴PD=2．25，
∴BP=4
2
﹣．25=1．75=0．25t，
∴t=7 秒，
当点P 运动t 秒后有PA⊥AB 时，同理可证得PD=2．25，
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∴BP=4+2．25=6．25=0．25t，
∴t=25 秒，
∴点P 运动的时间为7 秒或25 秒．
19．【解析】
解：（1）过点A 作AD⊥ON 于点D，
∵∠NOM=30°，AO=80m，
∴AD=40m，
即对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离为40 米；
（2）由图可知：以50m 为半径画圆，分别交ON 于B，C 两点，AD⊥BC，BD=CD= BC，
OA=80m，
∵在Rt△AOD 中，∠AOB=30°，
∴AD= OA= ×80=40m，
在Rt△ABD 中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD=
=
=30m，
故BC=2×30=60 米，即重型运输卡车在经过BD 时对学校产生影响．
∵重型运输卡车的速度为18 千米/小时，即
=300 米/分钟，
∴重型运输卡车经过BD 时需要60÷300=0．2（分钟）=12（秒）．
答：卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间为12 秒．
20．【解析】
解：（1）∵ 在四边形ABCD 转动的过程中，BC、AD 边的长度始终保持不变，BC＝x ，
∴ 在图2 中，AC＝BC－AB＝x －6，AD＝AC＋CD＝x ＋9．
（2）位置二的图形见图3．
（3）∵ 在四边形ABCD 转动的过程中，BC、AD 边的长度始终保持不变，
∴ 在图3 中，BC＝x ，AC＝AB＋BC＝6＋x ，AD＝x ＋9．
在△ACD 中，∠C＝90°
由勾股定理得
2
2
2
AC
CD
AD
．
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∴
2
2
2
(6
)
15
(
9)
x
x
．
整理，得
2
2
12
36
225
18
81
x
x
x
x
．
化简，得6 x ＝180．
解得 x ＝30．
即 BC＝30．
∴ AD＝39．
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