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勾股定理（基础）
责编：杜少波
【学习目标】
1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；
2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；
3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．
【要点梳理】
【高清课堂 勾股定理 知识要点】
要点一、勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别
为a
b
，
，斜边长为c ，那么
2
2
2
a
b
c
．
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以
建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．
（3）理解勾股定理的一些变式：
2
2
2
a
c
b
，
2
2
2
b
c
a
，
2
2
2
c
a
b
ab
．
要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中
，所以
．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中
，所以
．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以
．
要点三、勾股定理的作用
1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2. 用于解决带有平方关系的证明问题；
3． 与勾股定理有关的面积计算；
4．勾股定理在实际生活中的应用．
【典型例题】
类型一、勾股定理的直接应用
1、在△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．
（1）若a ＝5，b ＝12，求c ；
（2）若c ＝26，b ＝24，求a ．
【思路点拨】利用勾股定理
2
2
2
a
b
c
来求未知边长．
【答案与解析】
解：（1）因为△ABC 中，∠C＝90°，
2
2
2
a
b
c
，a ＝5，b ＝12，
所以
2
2
2
2
2
5
12
25 144
169
c
a
b
．所以c ＝13．
（2）因为△ABC 中，∠C＝90°，
2
2
2
a
b
c
，c ＝26，b ＝24，
所以
2
2
2
2
2
26
24
676
576
100
a
c
b
．所以a ＝10．
【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜
边，再决定用勾股原式还是变式．
举一反三：
【变式】在△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．
（1）已知b ＝6，c ＝10，求a ；
（2）已知
:
3:5
a c
，b ＝32，求a 、c ．
【答案】
解：（1）∵ ∠C＝90°，b ＝6，c ＝10，
∴
2
2
2
2
2
10
6
64
a
c
b
，
∴ a ＝8．
（2）设
3
a
k
，
5
c
k
，
∵ ∠C＝90°，b ＝32，
∴
2
2
2
a
b
c
．
即
2
2
2
(3 )
32
(5 )
k
k
．
解得k ＝8．
∴
3
3 8
24
a
k
，
5
5 8
40
c
k
．
类型二、与勾股定理有关的证明
2、（2015•丰台区一模）阅读下面的材料
勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理
的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1
的方法将它们摆成正方形．
由图1 可以得到（a+b）2=4×
，
整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2．
所以a2+b2=c2．
如果把图1 中的四个全等的直角三角形摆成图2 所示的正方形，请你参照上述证明勾股定理
的方法，完成下面的填空：
由图2 可以得到
，
整理，得
，
所以
．
【答案与解析】
证明：∵S 大正方形=c2，S 大正方形=4S△+S 小正方形=4× ab+（b
a
﹣）2，
c
∴2=4× ab+（b
a
﹣）2，
整理，得
2ab+b2
2ab+a
﹣
2=c2，
c
∴2=a2+b2．
故答案是：
；2ab+b2
2ab+a
﹣
2=c2；a2+b2=c2．
【总结升华】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形
边长的关系进行组合图形．
举一反三：
【变式】如图，在△ABC 中，∠C＝90°，D 为BC 边的中点，DE⊥AB 于E，则AE2-BE2等于（ ）
A．AC2 B．BD2 C．BC2 D．DE2
【答案】连接AD 构造直角三角形，得
，选A．
类型三、与勾股定理有关的线段长
【高清课堂 勾股定理 例3】
3、如图，长方形纸片ABCD 中，已知AD＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落
在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D；
【解析】
解：设AB＝x ，则AF＝x ，
∵ △ABE 折叠后的图形为△AFE，
∴ △ABE≌△AFE．BE＝EF，
EC＝BC－BE＝8－3＝5，
在Rt△EFC 中，
由勾股定理解得FC＝4，
在Rt△ABC 中，
2
2
2
8
4
x
x
，解得
6
x
．
【总结升华】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解．
类型四、与勾股定理有关的面积计算
4、如图，直线l 上有三个正方形a，b，c，若a，c 的面积分别为5 和11，则b 的面积为（
）
A．6 B．5 C．11 D．16
【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用，由b 是正方形，可求
△ABC≌△CDE．由勾股定理可求b 的面积=a 的面积+c 的面积．
【答案】D
【解析】
解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，
∴∠ACB=∠DEC，
在△ABC 和△CDE 中，
∵
ABC
CDE
ACB
DEC
AC
CE
∴△ABC≌△CDE
∴BC=DE
∵
2
2
2
AB
BC
AC
∴
2
2
2
AB
DE
AC
∴b 的面积为5+11=16，故选D．
【总结升华】此题巧妙的运用了勾股定理解决了面积问题，考查了对勾股定理几何意义的理
解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．
举一反三：
【变式】（2015•东莞模拟）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S
=4，S =9，S =8，S =10，则S=（ ）
A.25 B.31 C.32 D.40
【答案】解：如图，由题意得：
AB2=S1+S2=13，
AC2=S3+S4=18，
BC
∴
2=AB2+AC2=31，
S=BC
∴
2=31，
故选B．
类型五、利用勾股定理解决实际问题
5、（2016 春•淄博期中）有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹
竿竖放就比门高出1 尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4 尺，求竹竿高与门高．
【思路点拨】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高
构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高．
【答案与解析】
解：设门高为x 尺，则竹竿长为（x+1）尺，
根据勾股定理可得：
x2+42=（x+1）2，即x2+16=x2+2x+1，
解得：x=7.5，
竹竿高=7.5+1=8.5（尺）
答：门高7.5 尺，竹竿高8.5 尺．
【总结升华】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是
解答本题的关键．
举一反三：
【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m 处断裂，旗杆顶部落在离底部12m 处，则旗杆折断前
有多高？
【答案】
解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC＝5m ，AC＝12m ，
∴
2
2
2
2
2
5
12
169
AB
BC
AC
．
∴
13
AB
(m )．
∴ BC＋AB＝5＋13＝18(m )．
∴ 旗杆折断前的高度为18m ．
