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勾股定理（提高）
责编：杜少波
【学习目标】
1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；
2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；
3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．
【要点梳理】
【高清课堂 勾股定理 知识要点】
要点一、勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别
为a
b
，
，斜边长为c ，那么
2
2
2
a
b
c
．
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以
建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．
（3）理解勾股定理的一些变式：
2
2
2
a
c
b
，
2
2
2
b
c
a
，
2
2
2
c
a
b
ab
．
要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中
，所以
．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中
，所以
．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以
．
要点三、勾股定理的作用
1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2. 用于解决带有平方关系的证明问题；
3． 与勾股定理有关的面积计算；
4．勾股定理在实际生活中的应用．
【典型例题】
类型一、与勾股定理有关的证明
1、在△ABC 中，AB=AC，D 是BC 延长线上的点，求证：
【答案与解析】
证明：作等腰三角形底边上的高AE
∵AB=AC，AE⊥BC
∴BE=EC,∠AEB=∠AEC=90°
∴
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
AD
AB
AE
DE
AE
BE
2
2
2
2
AE
DE
AE
BE
2
2
DE
BE
(
)(
)
DE
BE DE
BE
BD CD
【总结升华】解决带有平方关系的问题，关键是找出直角三角形，利用勾股定理进行转化，若
没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再利用勾股定理解题．
类型二、与勾股定理有关的线段长
2、如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 边上中点，过D 点作DE 丄
DF，交AB 于E，交BC 于F，若AE=4，FC=3，求EF 长．
【答案与解析】
解：连接BD，
∵等腰直角三角形ABC 中，D 为AC 边上中点，
∴BD⊥AC（三线合一），BD=CD=AD，∠ABD=45°，
∴∠C=45°，
∴∠ABD=∠C，
又∵DE 丄DF，
∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF，
∴∠FDC=∠EDB，
在△EDB 与△FDC 中，
∵
，
∴△EDB≌△FDC（ASA），
∴BE=FC=3，
∴AB=7，则BC=7，
∴BF=4，
在Rt△EBF 中，
EF2=BE2+BF2=32+42，
∴EF=5．
【总结升华】此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定，关键是由已知先证三角形
全等，求得BE 和BF，再由勾股定理求出EF 的长．
举一反三：
【变式】（2015 春•天津校级期中）如图，∠C=30°，PA OA
⊥
于A，PB OB
⊥
于B，PA=2，PB=11，
求OP 的长．
【答案】
解：∵PA OA
⊥
，∠C=30°，
PC=2PA=4
∴
，
BC=BP+PC=11+4=15
∴
，
∵PB OB
⊥
，∠C=30°，
设OB=x，则OC=2x，
在Rt△BOC 中，由勾股定理得：
x 2 +15 2 =（2x）2 ，
解得，x=5 3 ，
即OB=5 3 ，
OP=
∴
=
=14．
类型三、与勾股定理有关的面积计算
3、（2015•丰台区二模）问题背景：
在△ABC 中，AB，BC，AC 三边的长分别为
，3
，
，求这个三角形的面积．
小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格
中画出格点△ABC（即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1 所示．这样不需要求
出△ABC 的高，借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你直接写出△ABC 的面积
；
思维拓展：
（2）如果△MNP 三边的长分别为
，2
，
，请利用图2 的正方形网格（每个小正方形
的边长为1）画出相应的格点△MNP，并直接写出△MNP 的面积．
【思路点拨】（1）根据图形得出S△ABC=S 矩形MONC
S
﹣
△CMA
S
﹣
△AOB
S
﹣
△BNC，根据面积公式求
出即可；（2）先画出符合的三角形，再根据图形和面积公式求出即可．
【答案与解析】
解：（1）△ABC 的面积是4.5，理由是：
S
ABC
△
=S 矩形MONC
S
﹣
CMA
△
S
﹣
AOB
△
S
﹣
BNC
△
=4×3﹣×4×1﹣×2×1﹣×3×3
=4.5，
故答案为：4.5；
（2）如图2 的△MNP，
S
MNP
△
=S 矩形MOAB
S
﹣
MON
△
S
﹣
PAN
△
S
﹣
MBP
△
=5×3﹣×5×1﹣×2×4﹣×3×1
=7，
即△MNP 的面积是7．
【总结升华】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式的应用，解此题的关键是能正确画出
格点三角形，难度不是很大．
举一反三：
【变式】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三
角形．若正方形A、B、C、D 的边长分别是4、6、3、4，则最大正方形E 的面积是（ ）
A．17 B．36 C．77 D．94
【答案】C
类型四、利用勾股定理解决实际问题
4、（2016•贵阳模拟）一架梯子长25 米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7 米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4 米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【思路点拨】（1）利用勾股定理直接得出AB 的长即可；
（2）利用勾股定理直接得出BC′的长，
进而得出答案．
【答案与解析】
解：（1）由题意得：AC=25 米，BC=7 米，
AB=
=24（米），
答：这个梯子的顶端距地面有24 米；
（2）由题意得：BA′=20 米，
BC′=
=15（米），
则：CC′=15﹣7=8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8 米．
【总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键．
举一反三：
【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面半径等于3cm ，在圆柱的底面A 点有
一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π 取
3)
【答案】
解：如图②所示，由题意可得：
12
AA
，
1
2
3
9
2
A B
在Rt△AA′B 中，根据勾股定理得：
2
2
2
2
2
12
9
225
AB
AA
A B
则AB＝15cm ．
所以需要爬行的最短路程是15cm ．
