文档文本内容
《一元一次方程》全章复习与巩固（基础）知识讲解
【学习目标】
1．经历建立方程模型、解方程和运用方程解决实际问题的过程，体会模型思想；
2．了解一元一次方程、方程的解等基本概念，会解数字系数的一元一次方程，感受转化思想；
3．能运用一元一次方程解决实际问题，能根据实际意义检验方程的合理性．
【知识网络】
【要点梳理】
知识点一、一元一次方程的概念
1．方程：含有未知数的等式叫做方程．
2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次
方程．
要点诠释：
（1）一元一次方程变形后总可以化为ax+b＝0(a≠0)的形式，它是一元一次方程的标准形式．
（2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；
②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．
3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．
4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．
知识点二、等式的性质与去括号法则
1．等式的性质：
等式的性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式．
等式的性质2：等式两边乘同一个数，（或除以同一个不为0 的数），所得结果仍是等式．
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2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．
3．去括号法则：
（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．
（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．
知识点三、一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．
(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．
(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的
形式．
(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解
(a≠0)．
(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两
边的值不相等，则不是方程的解．
知识点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型
1.等级变形：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积.
2.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价
3.行程问题：路程＝速度×时间
4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数
7.数字问题：多位数的表示方法：例如：
.
8.方案问题：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．
（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣
性后下结论．
【典型例题】
类型一、一元一次方程的概念
1．下列方程中，哪些是一元一次方程? 哪些不是?
(1)
； (2)2x+y ＝5 ； (3)x2-5x+6 ＝0 ； (4)
； (5)
．
【思路点拨】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是
1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．
【答案】 (1)、(5)是一元一次方程．因为它们或等价变形后是只含有一个未知数、并且未知数
的次数是1 的方程；
(2)、(3)、(4)都不是一元一次方程，因为(2)中含有两个未知数；(3)中未知数的最高次数是
2；(4)中分母含有未知数，它不是整式方程．
【解析】判断一个方程是不是一元一次方程，有时需要对方程进行等价变形后再判断．例如：
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，可化为：
，所以
是一元一次方程．
【总结升华】凡是分母中含有未知数的方程一定不是一元一次方程．
举一反三：
【变式】下列说法中正确的是( ).
A．2a-a=a 不是等式 B．x2-2x-3 是方程 C．方程是等式 D．等式是方程
【答案】C
2. 若方程3(x-1)+8＝2x+3 与方程
的解相同，求k 的值．
【答案与解析】
解：解方程3(x-1)+8＝2x+3，得x＝-2．
将x＝-2 代入方程
中，得
．
解这个关于k 的方程，得
．
所以，
．
【总结升华】由于两个方程的解相同，所以可以将其中一个方程的解代入另一个方程中，从而
求得问题的答案．
举一反三：
【变式】若关于x 的方程2(x-1)-a＝0 的解是x＝3，则a 的值是( )．
A．4 B．-4 C．5 D．-5
【答案】A.
类型二、一元一次方程的解法
3．解方程
【思路点拨】通过方程的同解原理(去分母，去括号，合并同类项，系数化为1)，一步一步将一
个复杂的方程转化成与它同解的最简的方程，从而达到求解的目的．
【答案与解析】
解：去分母，得3(y+2)-2(3-5y)＝12
去括号，得3y+6-6+10y＝12
合并同类项，得13y＝12
未知数的系数化为1，得
【总结升华】转化思想是初中数学中一种常见的思想方法，它能将复杂的问题转化为简单的
问题，将生疏的问题转化为熟悉的问题，将未知转化为已知．事实上解一元一次方程就是利
用方程的同解原理，将复杂的方程转化为简单的方程直至求出它的解．
举一反三：
【变式】解方程：解方程：
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【答案】解：把方程可化为：
再去分母得：
解得：
4．解方程：
【思路点拨】本题按常规方法求解，比较繁锁，如能根据题目的特点，巧用“整体思维”，就能
算得又快又对，起到事半功倍的效果．
【答案与解析】
解：
x＝-6
【总结升华】直接去括号太繁琐，若将(x+1)及(x-1)看作一个整体，并移项合并同类项，解答
十分巧妙，可免去去分母的步骤及简化去括号的过程．
类型三、一元一次方程的应用
5．甲车从A 地出发以60 km／h 的速度沿公路匀速行驶，0.5 h 后，乙车也从A 地出发，
以80 km／h 的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶，求乙车出发后几小时追上甲车．
【答案与解析】
解：设乙车出发后x 小时追上甲车，依题意得
60×0.5+60x＝80x，
解得 x＝1.5．
答：乙车出发后1.5 小时追上甲车．
【总结升华】此题的等量关系为：甲前0.5 h 的行程+甲后来的行程＝乙的行程．
6.如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为10cm，原容器内水的高度为
12cm，把一根半径为2cm 的玻璃棒垂直插入水中后，问容器内的水将升高多少cm？（圆柱的
体积=底面积×高）
【思路点拨】根据题意，得等量关系为：容器的底面积×容器中水的原来高度+玻璃棒的截面
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积×（容器中水的高度+水增加的高度）=容器的底面积×（容器中水原来的高度+水增加的高
度）．
【答案与解析】
解：解：设容器内的水将升高xcm，据题意得：
π•102×12+π•22（12+x）=π•102（12+x），
1200+4（12+x）=100（12+x），
1200+48+4x=1200+100x，
96x=48，
x=0.5．
答：容器内的水将升高0.5cm．
【总结升华】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列
出方程，再求解．本题也可以根据水面上升部分的体积等于插入水中玻璃棒的体积来列等量
关系进行求解.
7.某商品的进价为1500 元，提高40%后标价，若打折销售，使其利润为20%，则此商品
是按几折销售的？（结果精确到0.1）
【答案与解析】
解：设按x 折销售，根据题意得出：
1500×（1+40%）×
=1500×（1+20%），
解得x≈8.6，
答：此商品是按8.6 折销售的．
【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用，解此题的关键是弄清“售价=进价+利润”和
打几折即现价就是原价的百分之几十．
举一反三：
【变式】“五一”期间，某商场搞优惠促销活动，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买甲、
乙两种商品，分别抽到七折（按原销售价70%销售）和九折，共付款386 元，这两种商品原销售
价之和为500 元，问两种商品原销售价分别为多少元？
【答案】
解：设甲种商品原价x 元，则乙种商品原价为（500-x）元，则：
70%x+90%（500-x）=386，
0.7x+450-0.9x=386，
0.2x=64，
x=320；
乙种商品原价为500-320=180（元）；
答：甲种商品原价为320 元，乙种商品原价为180 元．
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