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一元二次方程的根与系数的关系
1 已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0 的两根，则x1＋x2的值是( B )
A．0 B．2 C．－2 D．4
2．[2013·湘潭]一元二次方程x2＋x－2＝0 的解为x1，x2，则x1·x2＝( D )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
3．[2013·包头]已知方程x2－2x－1＝0，则此方程( C )
A．无实数根
B．两根之和为－2
C．两根之积为－1
D．有一根为－1＋
4．已知一元二次方程x2－6x＋c＝0 有一个根为2，则另一根为( C )
A．2 B．3 C．4 D．8
5．已知方程x2－5x＋2＝0 的两个解分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为( D )
A．－7 B．－3 C．7 D．3
【解析】 由根与系数的关系得x1＋x2＝5，x1x2＝2，所以x1＋x2－x1x2＝5－2＝3.
6．[2012·攀枝花]已知一元二次方程x2－3x－1＝0 的两个根分别是x1，x2，则x1
2x2＋x1x2
2的值
为( A )
A．－3 B．3 C．－6 D．6
【解析】 ∵一元二次方程x2－3x－1＝0 的两个根分别是x1，x2，∴x1＋x2＝3，x1x2＝－1，∴x1
2x2
＋x1x2
2＝x1x2(x1＋x2)＝－1×3＝－3.
7．设x1，x2是方程x2＋3x－3＝0 的两个实数根，则＋的值为( B )
A．5 B．－5
C．1 D．－1
8．若x1，x2是方程x2＋x－1＝0 的两个根，则x1
2＋x2
2＝__3__．
【解析】 由根与系数的关系得x1＋x2＝－1，x1x2＝－1，所以x1
2＋x2
2＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－1)2
－2×(－1)＝3.
9．已知m 和n 是方程2x2－5x－3＝0 的两根，则＋＝__－__．
【解析】 ∵m 和n 是方程2x2－5x－3＝0 的两根，
∴m＋n＝－＝，mn＝－，∴＋＝＝＝－.
10．已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0 的两实数根，试求下列代数式的值：(1)x1
2＋x2
2；(2)＋；
(3)(x1＋1)(x2＋1)．
解：由根与系数的关系得x1＋x2＝－6，x1x2＝3.
(1)x1
2＋x2
2＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－6)2－2×3
＝36－6＝30；
(2)＋＝＝＝10；
(3)(x1＋1)(x2＋1)
＝x1x2＋(x1＋x2)＋1
＝3－6＋1＝－2.
11．已知2－是关于x 的一元二次方程x2－4x＋c＝0 的一个根，求方程的另一个根．
解：设方程的另一个根为x1，由x1＋2－＝4，得x1＝2＋.
12．已知关于x 的方程x2－mx－3＝0 的两实数根为x1，x2，若x1＋x2＝2，求x1，x2的值．
解： ∵x1＋x2＝2，∴m＝2.
∴原方程为x2－2x－3＝0，即(x－3)(x＋1)＝0，
解得x1＝3，x2＝－1 或x1＝－1，x2＝3.
13．关于x 的一元二次方程x2－mx＋2m－1＝0 的两个实数根分别是x1，x2，且x1
2＋x2
2＝7，则
(x1－x2)2的值是( C )
A．1 B．12
C．13 D．25
【解析】 由根与系数的关系知：x1＋x2＝m，x1x2＝2m－1，
∴x1
2＋x2
2＝(x1＋x2)2－2x1x2＝m2－2(2m－1)＝m2－4m＋2，
∴m2－4m＋2＝7，
∴m2－4m－5＝0，
解得m＝5 或m＝－1.
当m＝5 时，原方程为x2－5x＋9＝0，
Δ＝(－5)2－4×1×9＝25－36＝－11<0，此时方程无实根．
当m＝－1 时，原方程为x2＋x－3＝0，方程有实根，
∴当m＝－1 时，x1＋x2＝－1，x1x2＝－3，
∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝(－1)2－4×(－3)＝1＋12＝13，故选C.
14．设a，b 是方程x2＋x－2 012＝0 的两个实数根，则a2＋2a＋b 的值为( A )
A．2 011 B．2 012
C．2 013 D．2 014
【解析】 ∵a 是方程x2＋x－2 012＝0 的根，∴a2＋a－2 012＝0，∴a2＋a＝2 012.又由根与系
数的关系得a＋b＝－1，∴a2＋2a＋b＝a2＋a＋(a＋b)＝2 012－1＝2 011，故选A.
15．已知m，n 是方程x2＋2x＋1＝0 的两根，则代数式的值为( C )
A．9 B．4 C．3 D．5
16．已知关于x 的一元二次方程mx2－4x＋6＝0 的两根为x1，x2，且x1＋x2＝－2，则m＝__－
2__．
【解析】 ∵x1＋x2＝－＝，∴－2＝，∴m＝－2.
17．设α，β 是一元二次方程x2＋3x－7＝0 的两个根，则α2＋4α＋β＝__4__．
【解析】 因为α，β 是一元二次方程x2＋3x－7＝0 的两个根，则α2＋3α－7＝0，α＋β＝－3，α2
＋4α＋β＝α2＋3α＋α＋β＝4.
18．关于x 的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0 的两个实数根分别为x1，x2.
(1)求m 的取值范围；
(2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m 的值．
解：(1)∵原方程有两个实数根，
∴Δ＝9－4(m－1)≥0，解得m≤.
(2)由根与系数的关系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝m－1，
∴2×(－3)＋(m－1)＋10＝0，解得m＝－3，符合题意．
19．已知：关于x 的方程kx2－(3k－1)x＋2(k－1)＝0.
(1)求证：无论k 为何实数，方程总有实数根；
(2)若此方程有两个实数根x1，x2，且│x1－x2│＝2，求k 的值．
解：(1)证明：Δ＝[－(3k－1)]2－4k·2(k －1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2≥0，
所以无论k 为何实数，方程总有实数根；
(2)由根与系数关系，得x1＋x2＝，x1x2＝，
∵│x1－x2│＝2，
∴(x1－x2)2＝4，即(x1＋x2)2－4x1x2＝4，
故()2－＝4，整理，得3k2－2k－1＝0.
解得k1＝1，k2＝－.
经检验，k1＝1，k2＝－都是原分式方程的解，
∴k1＝1，k2＝－.
