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分式方程的解法及应用（基础）
责编：杜少波
【学习目标】
1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．
2. 会列出分式方程解简单的应用问题．
【要点梳理】
【高清课堂 分式方程的解法及应用 知识要点】
要点一、分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知
数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字
母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的
方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
要点二、分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简
公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫
做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，
先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程
的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
要点三、解分式方程产生增根的原因
方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.
产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子
有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以
这个根是原分式方程的增根.
要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原
理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0 的数，所得方程是原方程
的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程
不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.
（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程
过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没
有错误的前提下进行的.
要点四、分式方程的应用
分式方程的应用主要就是列方程解应用题.
列分式方程解应用题按下列步骤进行：
（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；
（2）设未知数；
（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；
（4）解这个分式方程；
（5）验根，检验是否是增根；
（6）写出答案.
【典型例题】
类型一、判别分式方程
1、下列方程中，是分式方程的是（ ）．
A．
3
2
1
4
3
12
x
x
B．
1
2
4
1
1
1
x
x
x
x
x
C．
2
1
3
0
5
x
x
D．x
a
x
a
b
，（a ，b 为非零常数）
【答案】B；
【解析】A、C 两项中的方程尽管有分母，但分母都是常数；D 项中的方程尽管含有分母，但分母
中不含未知数，由定义知这三个方程都不是分式方程，只有B 项中的方程符合分式
方程的定义．
【总结升华】要判断一个方程是否为分式方程，就看其有无分母，并且分母中是否含有未知数．
类型二、解分式方程
2、 解分式方程（1）10
5
2
2
1
1 2
x
x
；（2）
2
2
5
1
0
3
x
x
x
x
．
【答案与解析】
解：（1）10
5
2
2
1
1 2
x
x
，
将方程两边同乘(2
1)
x
，得
10
( 5)
2(2
1)
x
．
解方程，得
7
4
x
．
检验：将
7
4
x
代入2
1
x ，得
5
2
1
0
2
x
．
∴
7
4
x
是原方程的解．
（2）
2
2
5
1
0
3
x
x
x
x
，
方程两边同乘以(
3)(
1)
x x
x
，得5(
1)
(
3)
0
x
x
．
解这个方程，得
2
x
．
检验：把
2
x
代入最简公分母，得2×5×1＝10≠0．
∴ 原方程的解是
2
x
．
【总结升华】将分式方程化为整式方程时，乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项，不要漏
乘常数项．特别提醒：解分式方程时，一定要检验方程的根．
举一反三：
【变式】解方程：2
1
2
3
3
x
x
x
．
【答案】
解：2
1
2
3
3
x
x
x
，
方程两边都乘
3
x
，得2
1 2(
3)
x
x
，
解这个方程，得
3
x
，
检验：当
3
x
时，
3
0
x
，
∴
3
x
是增根，
∴ 原方程无解．
类型三、分式方程的增根
3、
（2015 春•安岳县期中）若解关于x 的分式方程
会产生增根，求m
的值．
【思路点拨】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0 的根．把增根代
入化为整式方程的方程即可求出m 的值．
【答案与解析】
解：方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得
2（x+2）+mx=3（x﹣2）
∵最简公分母为（x+2）（x﹣2），
∴原方程增根为x=±2，
∴把x=2 代入整式方程，得m=﹣4．
把x=﹣2 代入整式方程，得m=6．
综上，可知m=﹣4 或6．
【总结升华】增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方
程即可求得相关字母的值．
举一反三：
【变式】如果方程
1
1
3
2
2
x
x
x
有增根，那么增根是________．
【答案】
2
x
；
提示：因为增根是使分式的分母为零的根，由分母
2
0
x
或2
0
x
可得
2
x
．
所以增根是
2
x
．
类型四、分式方程的应用
4、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2 棵树，甲班种60
棵树所用的时间与乙班种66 棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少
棵树?
【思路点拨】本题的等量关系为：甲班种60 棵树所用的时间与乙班种66 棵树所用的时间相等．
【答案与解析】
解：设甲班每小时种x 棵树，则乙班每小时种
2
x
棵树．
由题意可得60
66
2
x
x
，解这个方程，得
20
x
．
经检验
20
x
是原方程的根且符合题意．
所以
2
22
x
(棵)．
答：甲班每小时种20 棵树，乙班每小时种22 棵树．
【总结升华】解此题的关键是设出未知数后，用含x 的分式表示甲、乙两班种树所用的时间．
举一反三：
【变式】（2016•淮安）王师傅检修一条长600 米的自来水管道，计划用若干小时完成，在实际
检修过程中，每小时检修管道长度是原计划的1.2 倍，结果提前2 小时完成任务，王师傅原计
划每小时检修管道多少米？
【答案】
解：设原计划每小时检修管道x 米．
由题意，得
．
解得
．
经检验，
是原方程的解．且符合题意．
答：原计划每小时检修管道50 米．
