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公式法
1．方程x2＋x－1＝0 的一个根是( D )
A．1－ B.
C．－1＋ D.
【解析】 用公式法解得 x＝.
2．一元二次方程x2＋x－2＝0 的根的情况是( A )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
3．[2012·南昌]已知关于x 的一元二次方程x2＋2x－a＝0 有两个相等的实数根，则a 的值是(
B )
A．1 B．－1
C. D．－
【解析】 ∵关于x 的一元二次方程x2＋2x－a＝0 有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝0，即
22－4(－a)＝0，解得a＝－1.
4．[2012·广安]已知关于x 的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0 有两个不相等的实数根，则a
的取值范围是( C )
A．a＞2 B．a＜2
C．a＜2 且a≠1 D．a＜－2
【解析】 Δ＝4－4(a－1)＝8－4a＞0，得a＜2.又a－1≠0，∴a＜2 且a≠1.
5．方程4y2＝5－y 化成一般形式后，a＝__4__，b＝__1__，c＝__－
5 __，则b2－4ac＝__81__，
所以方程的根为__y1＝
1 ，
y 2＝－__．
6．[2013·滨州]一元二次方程2x2－3x＋1＝0 的解为__x1＝
1 ，
x 2＝__．
7．方程2x2＋5x－3＝0 的解是__x1＝－
3 ，
x 2＝__．
8．如果关于x 的一元二次方程x2－6x＋c＝0(c 是常数)没有实数根，那么c 的取值范围是__c
＞
9 __．
【解析】 ∵关于x 的一元二次方程x2－6x＋c＝0(c 是常数)没有实数根，∴Δ＝(－6)2－4c＜0，
即36－4c＜0，c＞9.
9．不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况：
(1)3x2－2x－1＝0;
(2)2x2－x＋1＝0；
(3)4x－x2＝x2＋2;
(4)3x－1＝2x2.
解：(1)Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；
(2)Δ＜0，方程没有实数根；
(3)Δ＝0，方程有两个相等的实数根；
(4)Δ＞0，方程有两个不相等的实数根．
10．用公式法解方程：
(1)x2－5x＋2＝0；
(2)x2＝6x＋1；
(3)2x2－3x＝0;
(4)3x2＋6x－5＝0；
(5)0.2x2－0.1＝0.4x;
(6)x－2＝2x2.
解：(1)x1＝，x2＝；
(2)x1＝3＋，x2＝3－；
(3)x1＝0，x2＝；
(4)x1＝，x2＝；
(5)x1＝，x2＝；
(6)无解．
11．用两种不同的方法解一元二次方程x2＋4x－2＝0.
解：方法一：由原方程得x2＋4x＋4＝2＋4，
即(x＋2)2＝6，
∴x＋2＝±，
∴x＝－2±，
∴x1＝－2＋，x2＝－2－.
方法二：∵a＝1，b＝4，c＝－2，
Δ＝b2－4ac＝42－4×1×(－2)＝24＞0，
∴x ＝＝－2±，
∴x1＝－2＋，x2＝－2－.
12．用适当的方法解一元二次方程：
(1)(3x＋1)2－9＝0； (2)x2＋4x－1＝0；
(3)3x2－2＝4x; (4)(y＋2)2＝1＋2y.
解：(1)x1＝，x2＝－；
(2)x1＝－2－，x2＝－2＋；
(3)x1＝，x2＝；
(4)无解．
13．先化简，再求值：÷，其中x 满足方程x2＋x－6＝0.
解：÷
＝÷
＝·
＝.
由x2＋x－6＝0 可解得x1＝2(不合题意，舍去)，x2＝－3，
∴x＝－3.∴原式＝＝＝.
14．[2012·珠海]已知关于x 的一元二次方程x2＋2x＋m＝0.
(1)当m＝3 时，判断方程的根的情况；
(2)当m＝－3 时，求方程的根．
解：(1)当m＝3 时，b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，
∴原方程没有实数根；
(2)当m＝－3 时，x2＋2x－3＝0，
∵a＝1，b＝2，c＝－3，
Δ＝b2－4ac＝4－4×1×(－3)＝16，
∴x＝＝，
∴x1＝－3，x2＝1.
15．已知关于x 的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＝0 有两个实数根，求m 的取值范围．
【解析】 由方程根的情况得到关于m 的不等式，若二次项中存在字母系数，则系数不为零，从
以上两个方面确定字母的取值范围．
解：因为一元二次方程有两个实数根，
所以Δ≥0，即(－2m)2－4(m－1)·m≥0，
所以4m2－4m2＋4m≥0，m≥0.
又因为m－1≠0，
所以m≠1，
所以m 的取值范围是m≥0 且m≠1.
16．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0 有两个不相等的实数根．
(1)求k 的取值范围；
(2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．
解：(1)Δ＝b2－4ac＝4－4(2k－4)＝20－8k.
∵方程有两个不等的实根
∴20－8k>0
∴k<.
(2)∵k 为整数，
∴0<k<(且k 为整数)，即k 为1 或2，
∴x1＝－1＋，x2＝－1－.
∵方程的根为整数，
∴5－2k 为完全平方数．
当k＝1 时，5－2k＝3；
当k＝2 时，5－2k＝1.
∴k＝2.
