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让更多的孩子得到更好的教育
《三角形》全章复习与巩固（提高）巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1．如果三条线段的比是：①1:3:4；②1:2:3；③1:4:6；④3:3:6；⑤6:6:10；⑥3:4:5，其中
可构成三角形的有( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2．下列正多边形能够进行镶嵌的是（ ）
A．正三角形与正五边形 B．正方形与正六边形
C．正方形与正八边形 D．正六边形与正八边形
3．一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别为5 和9，则满足上述条件的三角形个数为
( )
A．2 个 B．4 个 C．6 个 D．8 个
4．（2016•乐山）如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（
）
A．35° B．95° C．85° D．75°
5．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，则下列说法中错误的是 ( )
A．在△ABC 中，AC 是BC 边上的高
B．在△BCD 中，DE 是BC 边上的高
C．在△ABE 中，DE 是BE 边上的高
D．在△ACD 中，AD 是CD 边上的高
6．每个外角都相等的多边形，如果它的一个内角等于一个外角的9 倍，则这个多边形的边数
( )
A．19 B．20 C．21 D．22
7．给出下列图形：
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其中具有稳定性的是( )
A．① B．③ C．②③ D．②③④
8．（2015 春•历城区期中）下面有关三角形的内角的说法正确的是（ ）
A.一个三角形中可以有两个直角
B.一个三角形的三个内角能都大于70°
C.一个三角形的三个内角能都小于50°
D.三角形中最大的内角不能小于60°
二、填空题
9. （2016 春•南陵县期中）如图，在△ABC 中，AD⊥BC，AE 平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，
则∠B=
．
10．若a、b、c 表示△ABC 的三边长，则|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|＝________．
11．三角形的两边长分别为5 cm 和12 cm，第三边与前两边中的一边相等，则三角形的周长
为________．
12．一个多边形的内角和比它的外角和的2 倍还大180°，这个多边形的边数为
．
13．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的任意一点，AH⊥BC 于H，图中以AH 为高的三角形的个数
为______个．
14. 用正三角形和正方形镶嵌平面，每一个顶点处有
个正三角形和
个正方形．
15．（2015•金平区一模）已知a、b、c 是△ABC 的三边，且满足
+（b﹣4）2=0，则第三边c
的取值范围是
．
16．如图，是用四根木棒搭成的平行四边形框架，AB＝8cm，AD＝6cm，使AB 固定，转动AD，当
∠DAB＝_____时，ABCD 的面积最大，最大值是________．
三、解答题
17．（2015 春•福泉市校级期中）如图，已知AB∥CD，EF 与AB、CD 分别相交于点E、F，∠BEF 与
∠EFD 的平分线相交于点P，求证：EP⊥FP．
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18．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，求原多边形边数．
19．已知AD 是△ABC 的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，
（1）求∠BAC 的度数．
（2）△ABC 是什么三角形．
20．（2014 春•苏州期末）观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．
（1）如图，△ABC 中，P 为边BC 上一点，试观察比较BP+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由．
（2）将（1）中点P 移至△ABC 内，得图②，试观察比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小，并
说明理由．
（3）将（2）中点P 变为两个点P1、P2得下图，试观察比较四边形BP1P2C 的周长与△ABC 的周长
的大小，并说明理由．
（4）将（3）中的点P1、P2移至△ABC 外，并使点P1、P2与点A 在边BC 的异侧，且∠P1BC＜∠ABC，
∠P2CB＜∠ACB，得图，试观察比较四边形BP1P2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由．
（5）若将（3）中的四边形BP1P2C 的顶点B、C 移至△ABC 内，得四边形B1P1P2C1，如图⑤，试观察
比较四边形B1P1P2C1的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由．
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【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】B；
【解析】根据两边之和大于第三边：⑤⑥满足.
2. 【答案】C；
【解析】解：A 、正三角形的每个内角是60° ，正五边形每个内角是180°﹣
360°÷5=108°，60m+108n=360°，m=6﹣n，显然n 取任何正整数时，m 不能得
正整数，故不能够进行镶嵌，不符合题意；
B、正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120°，90m+120n=360°，
m=4﹣n，显然n 取任何正整数时，m 不能得正整数，故不能够进行镶嵌，不符合
题意；
C、正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角为：180°﹣
360°÷8=135°，∵90°+2×135°=360°，∴能够组成镶嵌，符合题意；
D、正八边形的每个内角为：180°﹣360°÷8=135°，正六边形的每个内角是
120°，135m+120n=360°，n=3﹣m，显然m 取任何正整数时，n 不能得正整数，
故不能够进行镶嵌，不符合题意．
3. 【答案】B；
【解析】5+9＝14，所以第三边长应为偶数，大于4 而小于14 的偶数有4 个，所以
4. 【答案】C；
【解析】∵CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，∠ACE=60°，
∴∠ACD=2∠ACE=120°，
∵∠ACD=∠B+∠A，
∴∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣35°=85°，故选：C．
5. 【答案】C；
【解析】三角形高的定义.
6. 【答案】B；
【解析】设外角为x 则内角为9x，因为每一个内角与它的外角互为邻补角
∴ x+ 9x=180°； x=18°
∵ 多边形的外角和为360°
∴ 360°÷18°=20
∴ 此多边形为20 边形
7. 【答案】C；
【解析】均是由三角形构成的图形，具有稳定性.
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8. 【答案】D；
【解析】解：∵三角形内角和=180°，90°+90°=180°，
∴一个三角形中不可以由两个直角，
∴A 不正确；
∵三角形内角和=180°，70°+70°+70°=210°，
∴一个三角形的三个内角不能都大于70°，
∴B 不正确；
∵三角形内角和=180°，50°+50°+50°=150°，
∴一个三角形的三个内角不能多小于50°，
∴C 不正确；
∵三角形内角和=180°，
∴三角形中最大的内角不能小于60°，
∴D 正确；
故选：D．
二、填空题
9. 【答案】50°；
【解析】解：∵AE 平分∠BAC，∴∠1=∠EAD+∠2，∴∠EAD=∠1﹣∠2=30°﹣20°=10°，
Rt△ABD 中，∠B=90°﹣∠BAD=90°﹣30°﹣10°=50°．
10.【答案】a
b
c
；
【解析】根据三角形的三边关系可以去掉绝对值，再对原式进行化简．
11.【答案】29cm；
12.【答案】7；
13.【答案】6；
14．【答案】3；2；
【解析】正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，
∵3×60°+2×90°=360°，
∴用正三角形和正方形镶嵌平面，每一个顶点处有3 个正三角形和2 个正方形．
15.【答案】5＜c＜13．
【解析】解：根据题意得：
，
解得：
，
则9﹣4＜c＜9+4，
即5＜c＜13．
16.【答案】90°， 48 cm2.
三、解答题
17.【解析】
证明：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°，
又EP、FP 分别是∠BEF、∠EFD 的平分线，
∴∠PEF= ∠BEF，∠EFP= ∠EFD，
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∴∠PEF+∠EFP= （∠BEF+∠EFD）=90°，
∴∠P=180°﹣（∠PEF+∠EFP）=180°﹣90°=90°，
即EP⊥FP．
18.【解析】
解：设新多边形的边数为n，
则（n﹣2）•180°=2520°，
解得n=16，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，
所以多边形的边数可以为15，16 或17．
故答案为：15，16 或17．
19.【解析】
解：（1）当高AD 在△ABC 的内部时(如图(1))．
因为∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，所以∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝70°+20°＝90°．
当高AD 在△ABC 的外部时(如图(2))．
因为∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，
所以∠BAC＝∠BAD-∠CAD＝70°-20°＝50°．
综上可知∠BAC 的度数为90°或50°．
（2）如图(1)，当AD 在△ABC 的内部时，
因为∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝70°+20°＝90°，
所以△ABC 是直角三角形．
如图(2)，当AD 在△ABC 的外部时，
因为∠BAC＝∠BAD-∠CAD＝70°-20°＝50°，
∠ABC＝90°-∠BAD＝90°-70°＝20°，
所以∠ACB＝180°-∠ABC-∠BAC＝180°-50°-20°＝110°．
所以△ABC 为钝角三角形．
综上可知，△ABC 是直角三角形或钝角三角形．
20.【解析】
解：（1）BP+PC＜AB+AC，理由：三角形两边之和大于第三边，或两点之间线段最短．
（2）△BPC 的周长＜△ABC 的周长．理由如下：
如图，延长BP 交AC 于M，在△ABM 中，BP+PM＜AB+AM，在△PMC 中，PC＜PM+MC，两式相加
得BP+PC＜AB+AC，于是得：△BPC 的周长＜△ABC 的周长．
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（3）四边形BP1P2C 的周长＜△ABC 的周长．理由如下：
如图，分别延长BP1、CP2交于M，由（2）知，BM+CM＜AB+AC，又P1P2＜P1M+P2M，可得，
BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，可得结论．
或：作直线P1P2分别交AB、AC 于M、N（如图），△BMP1中，BP1＜BM+MP1，△AMN 中，MP1+P1P2+P2M
＜AM+AN，△P2NC 中，P2C＜P2N+NC，三式相加得：BP1+P1P2+P2C＜AB+AC，可得结论．
（4）四边形BP1P2C 的周长＜△ABC 的周长．理由如下：
将四边形BP1P2C 沿直线BC 翻折，使点P1、P2落在△ABC 内，转化为（3）情形，即可．
（5）比较四边形B1P1P2C1的周长＜△ABC 的周长．理由如下：
如图，分别作如图所示的延长线交△ABC 的边于M、N、K、H，在△BNM 中，NB1+B1P1+P1M＜
BM+BN，又显然有，B1C1+C1K＜NB1+NC+CK，及C1P2+P2H＜C1K+AK+AH，及P1P2＜P2H+MH+P1M，将以
上各式相加，得B1P1+P1P2+P2C+B1C1＜AB+BC+AC，于是得结论．
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