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中考冲刺：几何综合问题(提高)
一、选择题
1. （2015 春•江阴市校级期中）在平面直角坐标系中，直角梯形AOBC 的位置如图所示，
∠OAC=90°，AC∥OB，OA=4，AC=5，OB=6．M、N 分别在线段AC、线段BC 上运动，当△MON 的面积
达到最大时，存在一种使得△MON 周长最小的情况，则此时点M 的坐标为（ ）
A．（0，4） B．（3，4） C．（，4） D．（
，3）
2. 如图，△ABC 和△DEF 是等腰直角三角形，∠C=∠F=90°，AB=2，DE=4．点B 与点D 重
合，点A，B（D），E 在同一条直线上，将△ABC 沿DE 方向平移，至点A 与点E 重合时停止．设点
B，D 之间的距离为x，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y，则准确反映y 与x 之间对应关系的
图象是（ ）
A B C
D
二、填空题
3. （2016•绥化）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点E，
∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB=
，则AE=______（提示：可过点A 作BD 的
垂线）
4. 如图，一块直角三角形木板△ABC，将其在水平面上沿斜边AB 所在直线按顺时针方
向翻滚，使它滚动到
△A″B″C″的位置，若BC=1cm，AC=
cm，则顶点A 运动到A″时，点A 所经过的路径是
_________cm．
三、解答题
5.（2017•莒县模拟）在边长为1 的正方形ABCD 中，点E 是射线BC 上一动点，AE 与BD 相
交于点M，AE 或其延长线与DC 或其延长线相交于点F，G 是EF 的中点，连结CG．
（1）如图1，当点E 在BC 边上时．求证：①△ABM≌△CBM；②CG⊥CM．
（2）如图2，当点E 在BC 的延长线上时，（1）中的结论②是否成立？请写出结论，不用证
明．
（3）试问当点E 运动到什么位置时，△MCE 是等腰三角形？请说明理由．
6. 如图，等腰Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，动点P、Q 分别从A、B 两点同时以每秒1 个
单位长的速度按顺时针方向沿△ABC 的边运动，当Q 运动到A 点时，P、Q 停止运动.设Q 点运
动时间为t 秒，点P 运动的轨迹与PQ、AQ 围成图形的面积为S.求S 关于t 的函数解析式.
7. 正方形ABCD 中，点F 为正方形ABCD 内的点，△BFC 绕着点B 按逆时针方向旋转90°
后与△BEA 重合．
（1）如图1，若正方形ABCD 的边长为2，BE=1，FC=
，求证：AE∥BF；
（2）如图2，若点F 为正方形ABCD 对角线AC 上的点，且AF：FC=3：1，BC=2，求BF 的长．
8. 将正方形ABCD 和正方形BEFG 如图1 摆放，连DF．
（1）如图2，将图1 中的正方形BEFG 绕B 点顺时针旋转90°，连DF、CG 相交于M，则
=_____，∠DMC=_____；
（2）如图3，将图1 中的正方形BEFG 绕B 点顺时针旋转45°，DF 的延长线交CG 于M，试
探究
与∠DMC 的值，并证明你的结论；
（3）若将图1 中的正方形BEFG 绕B 点逆时针旋转β（0°＜β＜90°），则
=_______，
∠DMC=_________．请画出图形，并直接写出你的结论（不用证明）．
9. 已知△ABC≌△ADE，∠BAC=∠DAE=90°．
（1）如图（1）当C、A、D 在同一直线上时，连CE、BD，判断CE 和BD 位置关系，填空：
CE_____BD．
（2）如图（2）把△ADE 绕点A 旋转到如图所示的位置，试问（1）中的结论是否仍然成立，
写出你的结论，并说明理由．
（3）如图（3）在图2 的基础上,将△ACE 绕点A 旋转一个角度到如图所示的△AC′E′的
位置,连接BE′、DC′,过点A 作AN⊥BE′于点N，反向延长AN 交DC′于点M．求
的值．
10. 将正方形ABCD 和正方形CGEF 如图1 摆放，使D 点在CF 边上，M 为AE 中点，
（1）连接MD、MF，则容易发现MD、MF 间的关系是______________
（2）操作：把正方形CGEF 绕C 点旋转，使对角线CE 放在正方形ABCD 的边BC 的延长线上
（CG＞BC），取线段AE 的中点M，探究线段MD、MF 的关系，并加以说明；
（3）将正方形CGEF 绕点C 旋转任意角度后（如图3），其他条件不变，（2）中的结论是否
仍成立？直接写出猜想，不需要证明.
答案与解析
【答案与解析】 一、选择题
1.【答案】B.
【解析】如图，过点M 作MP∥OA，交ON 于点P，过点N 作NQ∥OB，分别交OA、MP 于两点
Q、G，则S△MON=S△OMP+S△NMP= MP•QG+ MP•NG= MP•QN，
∵MP≤OA，QN≤OB，
∴当点N 与点B 重合，QN 取得最大值OB 时，△MON 的面积最大值= OA•OB，
设O 关于AC 的对称点D，连接DB，交AC 于M，
此时△MON 的面积最大，周长最短，
∵
=
，即=
，
∴AM=3，
∴M（3，4）．
故选B．
2.【答案】B.
二、填空题
3.【答案】2.
【解析】过A 作AF⊥BD，交BD 于点F，
∵AD=AB，∠DAB=90°，
∴AF 为BD 边上的中线，
∴AF=
BD，
∵AB=AD=
，
∴根据勾股定理得：BD=
=2
，
∴AF=
，
在Rt△AFE 中，∠EAF=∠DCA=30°，
∴EF=
AE，
设EF=x，则有AE=2x，
根据勾股定理得：x2+3=4x2，
解得：x=1，
则AE=2．
故答案为：2.
4.【答案】
.
三、解答题
5.【答案与解析】
（1）证明：①∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC，∠ABM=∠CBM，
在△ABM 和△CBM 中，
，
∴△ABM≌△CBM（SAS）．
②∵△ABM≌△CBM
∴∠BAM=∠BCM，
又∵∠ECF=90°，G 是EF 的中点，∴GC=
EF=GF，
∴∠GCF=∠GFC，
又∵AB∥DF，
∴∠BAM=∠GFC，
∴∠BCM=∠GCF，
∴∠BCM+∠GCE=∠GCF+∠GCE=90°，
∴GC⊥CM；
（2）解：成立；理由如下：
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC，∠ABM=∠CBM，
在△ABM 和△CBM 中，
，
∴△ABM≌△CBM（SAS）
∴∠BAM=∠BCM，
又∵∠ECF=90°，G 是EF 的中点，
∴GC=GF，
∴∠GCF=∠GFC，
又∵AB∥DF，
∴∠BAM=∠GFC，
∴∠BCM=∠GCF，
∴∠GCF+∠MCF=∠BCM+MCFE=90°，
∴GC⊥CM；
（3）解：分两种情况：①当点E 在BC 边上时，
∵∠MEC＞90°，要使△MCE 是等腰三角形，必须EM=EC，
∴∠EMC=∠ECM，
∴∠AEB=2∠BCM=2∠BAE，
∴2∠BAE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=30°，
∴BE=
AB=
；
②当点E 在BC 的延长线上时，同①知BE=
．
综上①②，当BE=
戓BE=
时，△MCE 是等腰三角形．
6.【答案与解析】
当P 运动到C 点时：t=6
当Q 运动到A 点：t=
∴分两种情况讨论
（1）当0≤t≤6 时，如图：
作PH⊥AB 于H，则△APH 为等腰直角三角形
此时 AP=t，BQ=t，则AQ=
-t
PH=APsin45°=
t
∴S△AQP=
AQ·PH
=
·(
-t)·
t
=
t2+3t
（2）当6＜t≤
时，如图：
过P 过PH⊥AB 于H，此时△PBH 为等腰直角三角形
AC+CP=t，BQ=t
∴BP=AC+CB-(AC+CP)=12-t
∴PH=BPsin45°=
(12-t)
∴S 四边形AQPC=S△ABC-S△BPQ
=
AC·BC-
BQ·PH
=
·6·6-
·t·
(12-t)
=18-
t+
t2
=
t2-
t+18.
综上，
.
7.【答案与解析】
（1）证明：∵△BFC 绕着点B 按逆时针方向旋转90°后与△BEA 重合
∴BE=BF=1，∠EBF=∠ABC=90°，∠AEB=∠BFC
在△BFC 中，
∵BF2+FC2=12+(
)2=4，
BC2=22=4
∴BF2+FC2=BC2
∴∠BFC=90°…（3 分）
∴∠AEB+∠EBF=180°
∴AE∥BF…（4 分）
（2）解：∵Rt△ABC 中，AB=BC=2，由勾股定理，得
AC=
=2
．
∵AF：FC=3：1，
∴AF=
AC=
，FC=
AC=
∵△BFC 绕着点B 按逆时针方向旋转90°后与△BEA 重合
∴∠EAB=∠FCB，BE=BF，AE=CF=
，
∵四边形ABCD 是正方形
∴∠ABC=90°
∴∠BAC+∠ACB=90°
∴∠EAB+∠BAC=90°
即∠EAF=90°
在Rt△EAF 中，EF=
=
，
在Rt△EBF 中，EF2=BE2+BF2
∵BE=BF
∴BF=
EF=
．
8.【答案与解析】
（1）如图2，连接BF，
∵四边形ABCD、四边形BEFG 是正方形，
∴∠FBC=∠CBD=45°，
∴∠CBD=∠GBC=90°，
而BF=
BG，BD=
BC，
∴△BFD∽△BGC，
∴∠BCG=∠BDF，
=
而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-
90°=45°，
∴
=
，∠DMC=45°；
（2）如图3，
∵将图1 中的正方形BEFG 绕B 点顺时针旋转45°，DF 的延长线交CG 于M，
∴B、E、D 三点在同一条直线上，
而四边形ABCD、四边形BEFG 是正方形，
∴∠CBD=∠GBC=45°，BF=
BG，BD=
BC，
∴△BFD∽△BGC，
∴
=
，∠BCG=∠BDF
而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-
90°=45°，
即∠DMC=45°；
（3）
=
，∠DMC=45°,图略.
9.【答案与解析】
（1）CE⊥BD．
（2）延长CE 交BD 于M，设AB 与EM 交于点F．
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠CAE=∠BAD．
又∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，AB=AD，
∴∠ACE=
，∠ABD=
，
∴∠ACE=∠ABD．
又∵∠AFC=∠BFM，∠AFC+∠ACE=90°，
∴∠ABD+∠BFM=90°，
∴∠BMC=90°，
∴CE⊥BD．
（3）过C′作C′G⊥AM 于G，过D 作DH⊥AM 交延长线于点H．
∵∠∠E′NA=∠AGC′=90°，
∴∠NE′A+∠NAE′=90°，∠NAE′+∠C′AG=90°，∴∠NE′A=∠C′AG，
∵AE′=AC′
∴△ANE′≌△C′GA（AAS），
∴AN=C′G．
同理可证△BNA≌△AHD，AN=DH．
∴C′G=DH．
在△C′GM 与△DHM 中，
∠C′GM=∠DHM=90°，∠C′MG=∠DMH，C′G=DH，
∴△C′GM≌△DHM，
∴C′M=DM，
∴
．
10.【答案与解析】
（1）如图1，延长DM 交FE 于N，
图1
∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE，
∴∠1=∠2，
又∵MA=ME，∠3=∠4，
∴△AMD≌△EMN，
∴MD=MN，AD=EN．
∵AD=DC，
∴DC=NE．
又∵FC=FE，
∴FD=FN．
又∵∠DFN=90°，
∴FM⊥MD，MF=MD；
（2）MD=MF，MD⊥MF．
如图2，延长DM 交CE 于N，连接FD、FN．∵正方形ABCD，
∴AD∥BE，AD=DC，
∴∠1=∠2．
又∵AM=EM，∠3=∠4，
∴△ADM≌△ENM，
∴AD=EN，MD=MN．
∵AD=DC，
∴DC=NE．
又∵正方形CGEF，
∴∠FCE=∠NEF=45°，FC=FE，∠CFE=90°．
又∵正方形ABCD，
∴∠BCD=90°，
∴∠DCF=∠NEF=45°，
∴△FDC≌△FNE，
∴FD=FN，∠5=∠6，∠DFN=∠5+∠CFN=∠6+∠CFN=90°，
∴△DFN 为等腰直角三角形，且FM 为斜边DN 上的中线，
∴MD=MF，MD⊥MF；
（3）FM⊥MD，MF=MD．
如图3，过点E 作AD 的平行线分别交DM、DC 的延长线于N、H，连接DF、FN．
∴∠ADC=∠H，AD∥EH，
∴∠3=∠4．
∵AM=ME，∠1=∠2，
∴△AMD≌△EMN，
∴DM=NM，AD=EN．
∵正方形ABCD、CGEF，
∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°．
∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE．
∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°，
∴∠DCF=∠5=∠NEF．
∵FC=FE，
∴△DCF≌△NEF．
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．
∵∠CFE=90°，
∴∠DFN=90°．
∴FM⊥MD，MF=MD．
