文档文本内容
《一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法》
—知识讲解（基础）
【学习目标】
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；
2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；
3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．
【要点梳理】
要点一、公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式
一元二次方程
，当
时，
.
2.一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：
．
①当
时，原方程有两个不等的实数根
；
②当
时，原方程有两个相等的实数根
；
③当
时，原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤
用公式法解关于x 的一元二次方程
的步骤：
①把一元二次方程化为一般形式；
②确定a、b、c 的值（要注意符号）；
③求出
的值；
④若
，则利用公式
求出原方程的解；
若
，则原方程无实根.
要点诠释：
（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选
择.
（2）一元二次方程
2
0 (
0)
ax
bx
c
a
，用配方法将其变形为：
2
2
2
4
(
)
2
4
b
b
ac
x
a
a
.
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①当
2
4
0
b
ac
时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：
2
1,2
4
2
b
b
ac
x
a
.
② 当
2
4
0
b
ac
时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：
1,2
2
b
x
a
.
③ 当
2
4
0
b
ac
时，右端是负数．因此，方程没有实根.
要点二、因式分解法解一元二次方程
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点诠释：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次
因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等
于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以
含有未知数的代数式.
【典型例题】
类型一、公式法解一元二次方程
1.用公式法解下列方程．
(1) x2+3x+1=0； (2)
2
2
4
1
x
x
； (3) 2x2+3x-1=0．
【答案与解析】
(1) a=1，b=3，c=1
∴x=
=
．
∴x1=
，x2=
．
(2)原方程化为一般形式，得
2
2
4
1
0
x
x
．
∵
2
a
，
4
b ，
1
c
，
∴
2
2
4
( 4)
4 2 1
8
0
b
ac
．
∴
4
2 2
2
1
2 2
2
x
，即
1
2
1
2
x
，
2
2
1
2
x
．
第2页 共6页
(3) ∵a=2，b=3，c=﹣1
∴b2﹣4ac=17＞0
∴x=
∴x1=
，x2=
．
【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a、b、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：
(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a，b，c 的值并计算
2
4
b
ac
的值；(3)若
2
4
b
ac
是非
负数，用公式法求解．
举一反三：
【变式】用公式法解方程：3x2=4x+1
【答案】原方程化为一般形式，得
2
3
4
1
0
x
x
．
∵a=3, b=-4, c=-1,
∴
2
2
b -4ac=(-4) -4
3
(-1)=28
0.
＞
∴
4
28
2
7
2
3
3
x
, 即
1
2
2
7
2
7
,
.
3
3
x
x
2．用公式法解下列方程：
(1)
2
4 3
10
0
x
x
； (2)(
1)(
1)
2 2
x
x
x
； （3）2x2﹣2
x﹣5=0
【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c 的值，代入求值即可.
【答案与解析】
(1)∵
1
a
，
4 3
b
，
10
c
，
2
2
4
( 4 3)
4 1 10
8
0
b
ac
，
∴
( 4 3)
8
4 3
2 2
2 3
2
2 1
2
x
．
∴
1
2 3
2
x
，
2
2 3
2
x
．
(2)原方程可化为
2
2 2
1
0
x
x
．
∵
1
a
，
2 2
b
，
1
c ，
2
2
4
( 2 2)
4 1 ( 1)
12
0
b
ac
，
∴
( 2 2)
12
2 2
2 3
2
3
2 1
2
x
，
∴
1
2
3
x
，
2
2
3
x
．
（3）a=2，b=﹣2
，c=﹣5
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b2﹣4ac=
﹣4×2×（﹣5）=8+40=48；
x=
=
=
=
∴x1=
，x2=
．
【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a、b、c 的值，在
2
4
0
b
ac
的前提下，代入求根公式
可求出方程的根．
举一反三：
【变式】用公式法解下列方程：
2
2
2
1
x
x
；
【答案】解：移项，得
2
2
2
1
0
x
x
．
∵
2
a
，
2
b
，
1
c ，
2
2
4
2
4 2 ( 1)
12
0
b
ac
，
∴
2
12
1
3
2 2
2
x
，
∴
1
1
3
2
x
，
2
1
3
2
x
．
类型二、因式分解法解一元二次方程
3．用因式分解法解下列方程：
(1)3(x+2)2＝2(x+2)； (2)(2x+3)2-25＝0； （3）x（2x+1）=8x﹣3．
【思路点拨】 用因式分解法解方程，一定要注意第1 小题，等号的两边都含有（x+2）这一项，切不可在方程
的两边同除以（x+2）,化简成3（x+2）=2,因为你不知道（x-2）是否等于零.第2 小题，运用平方差公式可以，
用直接开方也可以.第3 小题化成一般式之后，再运用分解因式法解方程.
【答案与解析】
(1)移项．得3(x+2)2-2(x+2)＝0，(x+2)(3x+6-2)＝0．
∴ x+2＝0 或3x+4＝0，
∴ x1＝-2，
2
4
3
x
．
(2)(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，
∴ 2x-2＝0 或2x+8＝0，
∴ x1＝1，x2＝-4．
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（3）去括号，得：2x2+x=8x﹣3，
移项，得：2x2+x﹣8x+3=0
合并同类项，得：2x2﹣7x+3=0，
∴（2x﹣1）（x﹣3）=0，
∴2x﹣1=0 或 x﹣3=0，
∴
，x2=3．
【总结升华】(1)中方程求解时，不能两边同时除以(x+2)，否则要漏解．用因式分解法解一元二次方程必须
将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解．因式分解的方法有提公因式
法、公式法、二次三项式法及分组分解法．(2)可用平方差公式分解．
4．解下列一元二次方程：
(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)(3
1)(
1)
(4
1)(
1)
x
x
x
x
．
【答案与解析】
(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，
(2x+1+2)2＝0．
即
2
(2
3)
0
x
，
∴
1
2
3
2
x
x
．
(2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，
即(x-1)(x+2)＝0，
所以
1
1
x
，
2
2
x ．
【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．
用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x＝1 这个根．
举一反三：
【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0 （2）3 (2
1)
4
2
x
x
x
【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0
(x+6)(x+5)=0
X1=-6,x2=-5.
(2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0
(2x+1)(3x-2)=0
1
2
1
2
,
2
3
x
x
.
5．探究下表中的奥秘，并完成填空：
一元二次方程 两个根
二次三项式因式分解
x2﹣2x+1=0
x1=1，x2=1
x2﹣2x+1=（x﹣1）（x﹣1）
x2﹣3x+2=0
x1=1，x2=2
x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）
3x2+x﹣2=0
x1= ，x2=﹣1
3x2+x﹣2=3（x﹣）（x+1）
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2x2+5x+2=0
x1=﹣，x2=﹣2 2x2+5x+2=2（x+ ）（x+2）
4x2+13x+3=0 x1= ，x2=
4x2+13x+3=4（x+ ）（x+ ）
将你发现的结论一般化，并写出来．
【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论．
【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x2+13x+3=4（x+ ）（x+3）．
发现的一般结论为：若一元二次方程ax2+bx+c=0 的两个根为x1、x2，则
ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）．
【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解
法．
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