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专题21.2 一元二次方程的解法【八大题型】
【人教版】
【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】.........................................................................................................1
【题型2 用配方法解一元二次方程】......................................................................................................................2
【题型3 用公式法解一元二次方程】......................................................................................................................4
【题型4 用因式分解法解一元二次方程】..............................................................................................................5
【题型5 用指定方法解一元二次方程】..................................................................................................................6
【题型6 用适当的方法解一元二次方程】...........................................................................................................12
【题型7 用换元法解一元二次方程】....................................................................................................................14
【题型8 配方法的应用】........................................................................................................................................17
【知识点1 直接开平方法解一元二次方程】
根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.
直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x
2= p( p≥0)或(mx +n)
2= p( p≥0,m≠0)的形式；
②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.
【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】
【例1】（2022•建华区二模）解方程：−1
3（x
2
﹣）2+ 3
4 =0（开平方法）．
【分析】先把方程变形为（x
2
﹣）2= 9
4 ，再两边开方得到x
2
﹣＝±3
2，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：−1
3（x
2
﹣）2+ 3
4 =0，
−1
3（x
2
﹣）2=−3
4 ，
（x
2
﹣）2= 9
4 ，
x
2
﹣＝±3
2，
所以x1= 7
2，x2= 1
2．
【变式1-1】（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2（开平方法）．
【分析】方程开方转化为一元一次方程，求出解即可．
【解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，
开方得：2x+3＝3x+2 或2x+3＝﹣3x
2
﹣，
解得：x1＝1，x2＝﹣1．
【变式1-2】（2021 秋•徐汇区校级月考）解方程：4（x+1）2
9
﹣（x
2
﹣）2＝0（开平方法）．
【分析】直接开方，再解一元一次方程即可．
【解答】解：4（x+1）2＝9（x
2
﹣）2，
2
∴（x+1）＝±3（x
2
﹣），
∴x1＝8，x2= 4
5 ．
【变式1-3】（2022 春•黄浦区校级期中）解关于x 的方程：x2
3
﹣＝1+ax2（a≠1）（开平方法）．
【分析】方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解．
【解答】解：方程整理得：（a
1
﹣）x2＝﹣4，即x2=
4
1−a，
当1﹣a＞0，即a＜1 时，x＝±√
4
1−a =±2√1−a
1−a
；
当1﹣a＜0，即a＞1 时，无解．
【知识点2 配方法解一元二次方程】
将一元二次方程配成( x +m)
2=n的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax
2+bx +c =0(a≠0)的形式；②方程两边同除以二
次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④
把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法
来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
【题型2 用配方法解一元二次方程】
【例2】（2022 春•淄川区期中）（1）请用配方法解方程2x2
6
﹣x+3＝0；
（2）请用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．
【分析】（1）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半系数平方，利用完
全平方公式变形，开方即可求出解；
（2）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半系数平方，利用完全平方公
式变形，开方即可求出解．
【解答】解：（1）方程整理得：x2
3
﹣x=−3
2，
配方得：x2
3
﹣x+ 9
4 = 9
4 −3
2，即（x−3
2）2= 3
4 ，
开方得：x−3
2 =±√3
2 ，
解得：x1= 3
2 + √3
2 ，x2= 3
2 −√3
2 ；
（2）方程整理得：x2+ b
ax=−c
a，
配方得：x2+ b
ax+ b
2
4 a
2 = b
2
4 a
2 −c
a，即（x+ b
2a）2= b
2−4 ac
4 a
2
，
开方得：x+ b
2a =±√b
2−4 ac
2a
，
解得：x1= −b+√b
2−4 ac
2a
，x2= −b−√b
2−4 ac
2a
．
【变式2-1】（2022 秋•松江区期末）用配方法解方程：x
2−2√5 x = 4．
【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
【解答】解：∵x
2−2√5 x = 4，
∴x2
2
﹣√5x+5＝4+5，即（x−√5）2＝9，
∴x−√5=3 或x−√5=−3，
∴x1＝3+√5，x2＝﹣3+√5．
【变式2-2】（2022 秋•伊川县期中）用配方法解方程：4x2
8
﹣x
7
﹣＝0．
【分析】根据配方法的步骤先把二次项系数化为1，再在等式左右两边同时加上一次项系数的一半的平
方，然后开方即可．
【解答】解：4x2
8
﹣x
7
﹣＝0，
4x2
8
﹣x＝7，
x2
2
﹣x= 7
4 ，
配方得x2
2
﹣x+12= 7
4 +1，
（x
1
﹣）2= 11
4 ，
x
1
﹣＝±√11
2 ，
x＝1±√11
2 ，
∴x1＝1+ √11
2 ，x2＝1−√11
2 ．
【变式2-3】（2022 秋•潢川县期末）解方程：2x2
5
﹣x+1＝0（用配方法）
【分析】将常数项移到右边后把二次项系数化为1，再两边配上一次项系数一半的平方求解可得．
【解答】解：∵2x2
5
﹣x＝﹣1，
∴x2−5
2x=−1
2，
∴x2−5
2x+ 25
16 =−1
2 + 25
16，即（x−5
4 ）2= 17
16 ，
则x−5
4 =±√17
4 ，
∴x= 5±√17
4
．
【知识点3 公式法解一元二次方程】
当b
2−4 ac≥0时，方程ax
2+bx +c =0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x = −b±√b
2−4 ac
2a
的形式，这
个
式子叫做一元二次方程ax
2+bx +c =0(a≠0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解
一元二次方程的方法叫做公式法.
【题型3 用公式法解一元二次方程】
【例3】（2022 春•通州区校级月考）用公式法解方程：2a2
3
﹣＝﹣4a．
【分析】先把原方程化成一元二次方程的一般形式，再利用公式法进行计算即可解答．
【解答】解：2a2
3
﹣＝﹣4a，
整理得：2a2+4a
3
﹣＝0，
Δ
∵＝42
4×2×
﹣
（﹣3）
＝16+24
＝40，
∴a= −4±√40
2×2
= −4±2√10
4
= −2±√10
2
，
∴a1= −2+√10
2
，a2= −2−√10
2
．
【变式3-1】（2022 秋•徐汇区校级月考）解方程：5x+2＝（3x
1
﹣）（2x+2）（公式法）．
【分析】整理成一般式，先求出b2
4
﹣ac 的值，再代入公式求出即可．
【解答】解：方程整理得：6x2﹣x
4
﹣＝0，
∵a＝6，b＝﹣1，c＝﹣4，
∴b2
4
﹣ac＝（﹣1）2
4×6×
﹣
（﹣4）＝97＞0，
∴x= −b±√b
2−4 ac
2a
= 1±√97
12
，
∴x1= 1+√97
12
，x2= 1−√97
12
．
【变式3-2】（2022 秋•金山区校级期中）用公式法解方程：x2
2
﹣√2x
3
﹣＝0．
【分析】先求出b2
4
﹣ac 的值，再代入公式求出方程的解即可．
【解答】解：x2
2
﹣√2x
3
﹣＝0，
∵a＝1，b＝﹣2√2，c＝﹣3，
Δ
∴＝b2
4
﹣ac＝（﹣2√2）2
4×1×
﹣
（﹣3）＝20＞0，
∴x= −b±√b
2−4 ac
2a
= 2√2±2√5
2
，
∴x1=√2+√5，x2=√2−√5．
【变式3-3】（2022•市中区二模）用公式法解一元二次方程：2x2
7
﹣x+6＝0．
【分析】方程利用公式法求出解即可．
【解答】解：方程2x2
7
﹣x+6＝0，
这里a＝2，b＝﹣7，c＝6，
Δ
∵＝49
48
﹣
＝1＞0，
∴x= 7±1
4
，
则x1＝2，x2＝1.5．
【知识点4 因式分解法概念】
当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方
程
转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
【题型4 用因式分解法解一元二次方程】
【例4】（2022 秋•莲湖区期中）用因式分解法解方程：2（x
3
﹣）＝3x（x
3
﹣）．
【分析】移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，再进
一步求解即可．
【解答】解：∵2（x
3
﹣）＝3x（x
3
﹣），
2
∴（x
3
﹣）﹣3x（x
3
﹣）＝0，
则（x
3
﹣）（2
3
﹣x）＝0，
∴x
3
﹣＝0 或2
3
﹣x＝0，
解得x1＝3，x2= 2
3．
【变式4-1】（2022 秋•徐汇区校级月考）解方程：（4
3
﹣x）+（3x
4
﹣）2＝0（因式分解法）．
【分析】利用提取公因式（4
3
﹣x），将左边因式分解，再进一步求解即可．
【解答】解：∵（4
3
﹣x）+（3x
4
﹣）2＝0，
∴（4
3
﹣x）（5
3
﹣x）＝0，
则4
3
﹣x＝0 或5
3
﹣x＝0，
解得x1= 4
3 ，x2= 5
3．
【变式4-2】（2022 秋•长白县期中）用因式分解法解方程：（x+3）2＝（1
2
﹣x）2．
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：（x+3）2﹣（1
2
﹣x）2＝0，
分解因式得：（x+3+1
2
﹣x）（x+3
1+2
﹣
x）＝0，即（4﹣x）（3x+2）＝0，
可得4﹣x＝0 或3x+2＝0，
解得：x1＝4，x2=−2
3．
【变式4-3】（2022 秋•简阳市 月考）用因式分解法解方程：x2−√3 x +√2 x−√6=0
【分析】利用因式分解法把方程化为x−√3=0 或x+√2=0，然后解一次方程即可．
【解答】解：（x−√3）（x+√2）＝0，
x−√3=0 或x+√2=0，
所以x1=√3，x2=−√2．
【题型5 用指定方法解一元二次方程】
【例5】（2022 秋•兴平市校级月考）按规定的方法解下列方程：
（1）（x+1）2
144
﹣
＝0（直接开平方法）；
（2）x2＝8x+9（配方法）；
（3）2y2+7y+3＝0（公式法）；
（4）3（x
2
﹣）2＝x（x
2
﹣）（因式分解法）．
【分析】（1）移项，然后开平方即可求解；
（2）首先移项，然后配方，利用直接开平方法即可求解；
（3）利用公式法即可求解；
（4）移项，然后利用因式分解法即可求解．
【解答】解：（1）（x+1）2＝144，
则x+1＝12 或x+1＝﹣12，
解得：x1＝﹣13，x2＝11；
（2）移项，得：x2
8
﹣x＝9，
配方，得x2
8
﹣x+16＝25，
则（x
4
﹣）2＝25，
即x
4
﹣＝5 或x
4
﹣＝﹣5，
解得：x1＝9，x2＝﹣1；
（3）a＝2，b＝7，c＝3，
△＝49
4×2×3
﹣
＝49
24
﹣
＝25＞0．
则x= −7±5
4
，
则x1＝﹣3，x2=−1
2；
（4）原式即3（x
2
﹣）2﹣x（x
2
﹣）＝0，
因式分解得：（x
2
﹣）【3（x
2
﹣）﹣x】＝0，
即（x
2
﹣）（2x
6
﹣）＝0，
则x
2
﹣＝0 或2x
6
﹣＝0，
解得：x1＝2，x2＝3．
【变式5-1】（2022 秋•宁县校级月考）用适当的方法解方程：
（1）x（x
2
﹣）+x
2
﹣＝0（用因式分解法）
（2）x2
4
﹣x+3＝0（用配方法解）
（3）x2+5x+1＝0（用公式法解）
（4）（x
4
﹣）2＝（5
2
﹣x）2（用直接开平方法）
【分析】（1）先提取公因式（x
2
﹣）因式分解，再求解即可；
（2）先利用完全平方公式配方，然后开平方求解即可；
（3）写出a、b、c 的值，然后利用求根公式法求解；
（4）直接开平方求解即可．
【解答】解：（1）因式分解得，（x
2
﹣）（x+1）＝0，
由此得，x
2
﹣＝0，x+1＝0，
所以，x1＝2，x2＝﹣1；
（2）配方得，x2
4
﹣x+4
4+3
﹣
＝0，
即（x
2
﹣）2＝1，
所以，x
2
﹣＝±1，
所以，x1＝3，x2＝1；
（3）a＝1，b＝5，c＝1，
Δ＝b2
4
﹣ac＝52
4×1×1
﹣
＝25
1
﹣＝24，
x= −5±√24
2×1
= −5±2√6
2
，
x1= −5+2√6
2
，x2= −5−2√6
2
；
（4）开平方得，x
4
﹣＝±（5
2
﹣x），
所以，x
4
﹣＝5
2
﹣x 或x
4
﹣＝2x
5
﹣，
解得x1＝3，x2＝1．
【变式5-2】（2022 秋•简阳市月考）解下列方程
（1）（2x
1
﹣）2＝7（直接开平方法）
（2）2x2
7
﹣x
4
﹣＝0（用配方法）
（3）2x2
10
﹣
x＝3（公式法）
（4）（3x
4
﹣）2＝（3
4
﹣x）2（因式分解法）
（5）x
2+ 4−√x
2+8=26（用换元法解）
（6）（2x2+1）2
2
﹣x2
3
﹣＝0（用换元法解）
【分析】（1）用直接开平方法求解就可以了；
（2）先将常数项移到等号的右边，再将二次项系数化为1，然后配方为完全平方公式后直接用开平方
法求解就可以；
（3）先化为一般形式，然后确定a、b、c 的值，最后代入求根公式求解就可以了；
（4）先移项，然后用平方差公式分解因式就可以求出结论；
（5）设√x
2+8=a，将原方程变形为a2﹣a＝30，再解一个关于a 的一元二次方程求解；
（6）将原方程变形为：（2x2+1）2﹣（2x2+1）﹣2＝0，再设2x2+1＝a，就可以变为a2﹣a
2
﹣＝0，最后
可以运用因式分解法求解．
【解答】解：（1）开平方，得
2x
1
﹣＝±√7，
∴x1= √7+1
2
，x2= −√7+1
2
；
（2）移项，得
2x2
7
﹣x＝4，
化二次项的系数为1，得
x2−7
2x＝2，
配方，得
x2−7
2x+ 49
16 =2+ 49
16 ，
（x−7
4 ）2= 81
16
开平方，得
x−7
4 =±9
4 ，
∴x1＝4，x2=−1
2；
（3）移项，得
2x2
10
﹣
x
3
﹣＝0，
∴a＝2，b＝﹣10，c＝﹣3，
∴△＝100+24＝124＞0，
∴x= 10±√124
4
，
∴x1= 5+√31
2
，x2= 5−√31
2
；
（4）移项，得
（3x
4
﹣）2﹣（3
4
﹣x）2＝0
分解因式，得
（3x
4+3
4
﹣
﹣x）（3x
4
3+4
﹣﹣
x）＝0，
∴﹣x
1
﹣＝0 或7x
7
﹣＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝1；
（5）原方程变形为：
x
2+8−√x
2+8=30，
设√x
2+8=a，将原方程变形为：
a2﹣a＝30，
移项，得
a2﹣a
30
﹣
＝0，
因式分解，得
（a+5）（a
6
﹣）＝0，
∴a+5＝0 或a
6
﹣＝0，
∴a1＝﹣5（舍去），a2＝6，
∴√x
2+8=6，
解得：x＝±2√7，
经检验，x＝±2√7是原方程的根；
（6）原方程变形为：
（2x2+1）2﹣（2x2+1）﹣2＝0，
设2x2+1＝a，则原方程变为：
a2﹣a
2
﹣＝0，
解得：
a1＝﹣1，a2＝2，
当a＝﹣1 时，
2x2+1＝﹣1，
Δ＜0，原方程无解，
当a＝2 时，
2x2+1＝2，
解得：x＝±√2
2
【变式5-3】（2022 秋•恩阳区月考）解方程：
①x2+（√3+√2）x+√6=0（因式分解法）
②5x2+2x
1
﹣＝0（公式法）
③y2+6y+2＝0（配方法）
④9（x
2
﹣）2＝121（x+1）2（直接开平方法）
⑤x +1
x
2 −2 x
2
x +1 =1（换元法）
⑥（x2﹣x）2
5
﹣（x2﹣x）+6＝0（适当方法）
【分析】①根据方程特点，采用因式分解法解答．
②根据方程的系数特点，应准确确定各个项系数，利用求根公式求得．
③可以先移项，然后利用配方法解答．
④利用直接开平方法解答；
⑤移项整理，利用换元法求得未知数的解即可．
⑥利用换元法解答．
【解答】解：①x2+（√3+√2）x+√6=0，
（x+√2）（x+√3）＝0，
∴x+√2=0 或x+√3=0，
∴x1=−√2，x2=−√3；
②5x2+2x
1
﹣＝0，
a＝5，b＝2，c＝﹣1，
Δ＝b2
4
﹣ac＝4+20＝24，
x= −2±√24
2×5
= −2±2√6
10
= −1±√6
5
，
所以x1= −1+√6
5
，x2= −1−√6
5
；
③y2+6y+2＝0，
y2+6y＝﹣2，
y2+6y+9＝﹣2+9，即（y+3）2＝7，
∴y+3=±√7，
∴y1＝﹣3+√7，y2＝﹣3−√7；
④9（x
2
﹣）2＝121（x+1）2，
3（x
2
﹣）＝±11（x+1），
3
∴（x
2
﹣）＝11（x+1）或3（x
2
﹣）＝﹣11（x+1），
∴x1=−17
8 ，x2=−5
14 ；
⑤x +1
x
2 −2 x
2
x +1 =1，
x +1
x
2 −2 x
2
x +1 −1＝0，
设y= x +1
x
2 ，
则原方程为y−2
y −1＝0，
y2﹣y
2
﹣＝0，
解得：y＝﹣1，或y＝2，
当y＝﹣1，x +1
x
2 =−1，此方程无解；
当y＝2，x +1
x
2 =2，解得：x1＝1，x2=−1
2，
经检验，x1＝1，x2=−1
2是原分式方程的解，
所以原方程的解为x1＝1，x2=−1
2．
⑥（x2﹣x）2
5
﹣（x2﹣x）+6＝0，
设y＝x2﹣x，
则原方程为y2
5
﹣y+6＝0，
解得：y＝3，或y＝2，
当y＝3，x2﹣x＝3，x1= 1+√13
2
，x2= 1−√13
2
；
当y＝2，x2﹣x＝2，解得：x3＝2，x4＝﹣1；
所以原方程的解为x1= 1+√13
2
，x2= 1−√13
2
，x3＝2，x4＝﹣1．
【题型6 用适当的方法解一元二次方程】
【例6】（2022 春•富阳区校级期中）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）（x+4）2
5
﹣（x+4）＝0；
（2）x2
2
﹣x
15
﹣
＝0．
【分析】（1）等式左边可提取公因式（x+4），转化为（x+4）（x
1
﹣）＝0 求解；
（2）根据十字相乘法可将方程变形为（x+3）（x
5
﹣）＝0，由此可得同解方程x+3＝0 或x
5
﹣＝0，据
此求解．
【解答】解：（1）（x+4）2
5
﹣（x+4）＝0，
将方程变形，得（x+4）（x
1
﹣）＝0，
即x+4＝0，x
1
﹣＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝1．
（2）x2
2
﹣x
15
﹣
＝0，
将方程变形，得（x+3）（x
5
﹣）＝0，
则x+3＝0 或x
5
﹣＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝5．
【变式6-1】（2022 春•大观区校级期中）用适当的方法解方程
（1）x2﹣x
1
﹣＝0；
（2）（x+1）2
3
﹣（x+1）＝0．
【分析】（1）利用公式法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）Δ＝（﹣1）2
4×
﹣
（﹣1）＝5＞0，
x= 1±√5
2×1
，
所以x1= 1+√5
2
，x2= 1−√5
2
；
（2）（x+1）2
3
﹣（x+1）＝0．
（x+1）（x+1
3
﹣）＝0，
x+1＝0 或x+1
3
﹣＝0，
所以x1＝﹣1，x2＝2．
【变式6-2】（2022 春•萧山区期中）用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣x
6
﹣＝0；
（2）4（x
1
﹣）2＝9（x
5
﹣）2．
【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，再进一
步求解即可；
（2）先移项，再利用公式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，再进一步
求解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣x
6
﹣＝0，
∴（x
3
﹣）（x+2）＝0，
则x
3
﹣＝0 或x+2＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣2；
（2）∵4（x
1
﹣）2＝9（x
5
﹣）2，
4
∴（x
1
﹣）2
9
﹣（x
5
﹣）2＝0，
[2
∴
（x
1
﹣）+3（x
5
﹣）][2（x
1
﹣）﹣3（x
5
﹣）]＝0，
则2（x
1
﹣）+3（x
5
﹣）＝0 或2（x
1
﹣）﹣3（x
5
﹣）＝0，
解得x1＝13，x2= 17
5 ．
【变式6-3】（2022 春•柯桥区期中）选用适当的方法解下列方程．
（1）2x（x
1
﹣）＝3（x
1
﹣）；
（2）1
2x2+2√2x
5
﹣＝0．
【分析】（1）方程移项后，利用因式分解法求出解即可；
（2）方程整理后，利用配方法求出解即可．
【解答】解：（1）方程移项得：2x（x
1
﹣）﹣3（x
1
﹣）＝0，
分解因式得：（x
1
﹣）（2x
3
﹣）＝0，
所以x
1
﹣＝0 或2x
3
﹣＝0，
解得：x1＝1，x2= 3
2；
（2）方程整理得：x2+4√2x＝10，
配方得：x2+4√2x+8＝18，即（x+2√2）2＝18，
开方得：x+2√2=±3√2，
解得：x1=√2，x2＝﹣5√2．
【题型7 用换元法解一元二次方程】
【例7】（2022 秋•安居区期末）为解方程（x2
1
﹣）2
5
﹣（x2
1
﹣）+4＝0，我们可以将x2
1
﹣视为一个整体，
然后设x2
1
﹣＝y，则原方程可化为y2
5
﹣y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4．
当y＝1 时，x2
1
﹣＝1，所以x =±√2；
当y＝4 时，x2
1
﹣＝4，所以x =±√5．
所以原方程的根为x1=√2，x2=−√2，x3=√5，x4=−√5．
以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法
解下列方程：
（1）（x2﹣x）（x2﹣x
4
﹣）＝﹣4；
（2）x4+x2
12
﹣
＝0．
【分析】（1）设x2﹣x＝a，原方程可化为a2
4
﹣a+4＝0，求出a 的值，再代入x2﹣x＝a 求出x 即可；
（2）设x2＝y，原方程化为y2+y
12
﹣
＝0，求出y，再把y 的值代入x2＝y 求出x 即可．
【解答】解：（1）（x2﹣x）（x2﹣x
4
﹣）＝﹣4，
设x2﹣x＝a，则原方程可化为a2
4
﹣a+4＝0，
解此方程得：a1＝a2＝2，
当a＝2 时，x2﹣x＝2，即x2﹣x
2
﹣＝0，
因式分解得：（x
2
﹣）（x+1）＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1，
所以原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1；
（2）x4+x2
12
﹣
＝0，
设x2＝y，则原方程化为y2+y
12
﹣
＝0，
因式分解，得（y
3
﹣）（y+4）＝0，
解得：y1＝3，y2＝﹣4，
当y＝3 时，x2＝3，解得：x=±√3；
当y＝﹣4 时，x2＝﹣4，无实数根，
所以原方程的解是x1=√3，x2=−√3．
【变式7-1】（2021 春•龙口市月考）阅读下面材料：方程x4
6
﹣x2+8＝0 是一个一元四次方程，根据该方程
的特点，它的解法通常是设x2＝y，则x4＝y2，∴原方程可化为y2
6
﹣y+8＝0，解方程求得y 的值，进而
得到原方程的四个根x1=√2，x2=−√2，x3＝2，x4＝﹣2．
以上方法叫做换元法，通过换元达到降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．
（1）解方程2（x2+3x）2
3
﹣（x2+3x）﹣2＝0；
（2）已知实数a 满足（a2+√3）2
3
﹣a2＝10+3√3，请直接写出−√3a2的值．
【分析】（1）先设y＝x2+3x，则原方程变形为2y2
3
﹣y
2
﹣＝0，运用因式分解法解得y1＝2，y2=−1
2，
再把y＝2 和−1
2分别代入y＝x2+3x 得到关于x 的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原
方程的解；
（2）设y＝a2+√3，则y2
3
﹣y
10
﹣
＝0，运用因式分解法解得y1＝﹣2，y2＝5，再把y＝5 代y＝a2+√3得
到a2+√3=5，即可求得a2＝5−√3，进而即可求得−√3a2的值．
【解答】解：（1）设y＝x2+3x，则2y2
3
﹣y
2
﹣＝0，
则（y
2
﹣）（2y+1）＝0，
解得y1＝2，y2=−1
2，
当x2+3x＝2，即x2+3x
2
﹣＝0 时，解得x= −3±√17
2
；
当x2+3x=−1
2，即x2+3x+ 1
2 =0 时，解得x= −3±√7
2
；
综上所述，原方程的解为x1= −3+√17
2
，x2= −3−√17
2
，x3= −3+√7
2
，x4= −3−√7
2
；
（2）（a2+√3）2
3
﹣a2＝10+3√3整理得：（a2+√3）2
3
﹣（a2+√3）﹣10＝0，
设y＝a2+√3，则y2
3
﹣y
10
﹣
＝0，
则（y+2）（y
5
﹣）＝0，
解得y1＝﹣2，y2＝5，
当y＝﹣2 时，则a2+√3=−2，无意义，舍去；
当y＝5 时，则a2+√3=5，得到a2＝5−√3，
∴−√3a2=−√3（5−√3）＝3
5
﹣√3．
故−√3a2的值为3
5
﹣√3．
【变式7-2】（2022 秋•邵东市期末）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知（x+y
3
﹣）（x+y+4）＝﹣10，求x+y 的值．
解：设t＝x+y，则原方程变形为（t
3
﹣）（t+4）＝﹣10，即t2+t
2
﹣＝0
∴（t+2）（t
1
﹣）＝0 得t1＝﹣2，t2＝1∴x+y＝﹣2 或x+y＝1
已知（x2+y2
4
﹣）（x2+y2+2）＝7，求x2+y2的值．
【分析】根据举例进行解答即可．
【解答】解：设t＝x2+y2＞0
∴（t
4
﹣）（t+2）＝7
t2
2
﹣t
15
﹣
＝0，
解得：t1＝5，t2＝﹣3（舍去）
∴x2+y2＝5．
【变式7-3】（2022 秋•甘井子区月考）【例】解方程（x
1
﹣）2
5
﹣（x
1
﹣）+4＝0．
解：设x
1
﹣＝y，则原方程可化为y2
5
﹣y+4＝0．
解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1 时，即x
1
﹣＝1，解得x＝2；
当y＝4 时，即x
1
﹣＝4，解得x＝5．
所以原方程的解为x1＝2，x2＝5．
上述解法称为“整体换元法”．
（1）请运用“整体换元法”解方程：（2x
5
﹣）2﹣（2x
5
﹣）﹣2＝0；
（2）已知x2﹣xy﹣y2＝0，求x
y 的值．
【分析】（1）先设y＝2x
5
﹣，则原方程变形为y2﹣y
2
﹣＝0，运用因式分解法解得y1＝2，y2＝﹣1，再
把y＝2 和﹣1 分别代y＝2x
5
﹣得到关于x 的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方
程的解；
（2）x2﹣xy﹣y2＝0，方程两边同时除以y2，可得x
2−xy −y
2
y
2
=0，设x
y =m，方程可化为m2﹣m
1
﹣＝
0，类似（1）的减法可得x
y 的值．
【解答】解：（1）设y＝2x
5
﹣，则原方程变形为y2﹣y
2
﹣＝0，
解得y1＝2，y2＝﹣1，
当y＝2 时，即2x
5
﹣＝2，解得x＝3.5；
当y＝﹣1 时，2x
5
﹣＝﹣1，解得x＝2．
所以原方程的解为x1＝3.5，x2＝2；
（2）x2﹣xy﹣y2＝0，
方程两边同时除以y2，得x
2−xy −y
2
y
2
=0，
设x
y =m，方程可化为m2﹣m
1
﹣＝0，
解得m1= 1+√5
2
，m2= 1−√5
2
，
∴x
y 的值为1+√5
2
或1−√5
2
．
【题型8 配方法的应用】
【例8】（2022 秋•饶平县期末）已知a，b，c 满足a2+2b＝7，b2
2
﹣c＝﹣1，c2
6
﹣a＝﹣17，则a+b﹣c 的
值为（ ）
A．1
B．﹣5
C．﹣6
D．﹣7
【分析】题目中的式子相加，然后利用配方法变形为完全平方的形式，再利用非负数的性质即可求得所
求式子的值．
【解答】解：∵a2+2b＝7，b2
2
﹣c＝﹣1，c2
6
﹣a＝﹣17，
∴（a2+2b）+（b2
2
﹣c）+（c2
6
﹣a）＝7+（﹣1）+（﹣17），
∴a2+2b+b2
2
﹣c+c2
6
﹣a＝﹣11，
∴（a2
6
﹣a+9）+（b2+2b+1）+（c2
2
﹣c+1）＝0，
∴（a
3
﹣）2+（b+1）2+（c
1
﹣）2＝0，
∴a
3
﹣＝0，b+1＝0，c
1
﹣＝0，
解得，a＝3，b＝﹣1，c＝1，
∴a+b﹣c＝3
1
1
﹣﹣＝1．
故选：A．
【变式8-1】（2022•武汉模拟）若实数a，b，x 满足a﹣b＝2，a2﹣b2＝﹣4x，则多项式a2+ab﹣b2的值可
能为（ ）
A．﹣5
B．﹣6
C．﹣7
D．﹣8
【分析】将多项式a2+ab﹣b2进行变形，利用配方法可得（b+3）2
5
﹣，再根据偶次方的非负数性质解答
即可．
【解答】解：∵a﹣b＝2，
∴a＝b+2，
∴a2+ab﹣b2
＝（b+2）2+b（a﹣b）
＝b2+4b+4+2b
＝b2+6b+4
＝（b+3）2
5
﹣，
∴a2+ab﹣b2的最小值是﹣5．
故选：A．
【变式8-2】（2022 春•仪陇县校级月考）已知a+b+c+3＝2√a+4√b−1+2√c−2，则a+b+c 的值是
．
【分析】先将条件配方成(√a−1)
2+(√b−1−2)
2+(√c−2−1)
2=0，根据完全平方式的非负性求出
a、b 和c 的值即可．
【解答】解：∵a+b+c+3＝2√a+4√b−1+2√c−2，
∴(a−2√a+1)+b−1−4√b−1+ 4 +c−2−2√c−2+1=0，
即(√a−1)
2+(√b−1−2)
2+(√c−2−1)
2=0，
∴√a−1＝0，√b−1−2=0，√c−2−1=0，
解得a＝1，b＝5，c＝3．
∴a+b+c＝1+5+3＝9．
故答案为：9．
【变式8-3】（2022 春•临湘市期中）阅读材料
例：求代数式2x2+4x
6
﹣的最小值．
解：2x2+4x
6
﹣＝2（x2+2x
3
﹣）＝2（x+1）2
8
﹣．可知当x＝﹣1 时，2x2+4x
6
﹣有最小值，最小值是﹣
8．
根据上面的方法解决下列问题：
（1）m2
4
﹣m
5
﹣最小值是
．
（2）多项式a2+b2
4
﹣a+6b+18 最小值可以是
．
【分析】（1）将多项式加4 再减4，利用配方法后可得结论；
（2）将多项式重新分组，改写成（a2
4
﹣a+4）+（b2+6b+9）+5，配方后可得结论．
【解答】解：（1）∵m2
4
﹣m
5
﹣
＝m2
4
﹣m+4
9
﹣
＝（m
2
﹣）2
9
﹣，
∴当m＝2 时，m2
4
﹣m
5
﹣有最小值，最小值是﹣9．
故答案为：﹣9；
（2）∵a2+b2
4
﹣a+6b+18
＝（a2
4
﹣a+4）+（b2+6b+9）+5
＝（a
2
﹣）2+（b+3）2+5，
∴当a＝2，b＝﹣3 时，多项式a2+b2
4
﹣a+6b+18 有最小值，最小值是5．
故答案为：5．
