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专题21.15 一元二次方程根与系数关系（基础篇）
（专项练习）
一、单选题
类型一、由根与系数关系直接求值
1．若
是一元二次方程
的两个根，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知方程
的两根分别为
、
，则
的值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
3．一元二次方程
的两个实数根为
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．0
D．1
4．关于的一元二次方程
有两个相等的实数根
，则下列关于
的值判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
类型二、由根与系数关系求参数的值
5．已知方程
的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
A．1
B．2
C．
D．3
6．一元二次方程(m+1)x2-2mx+m2-1＝0 有两个异号根，则m 的取值范围是（ ）
A．m＜1
B．m＜1 且m≠-1
C．m＞1
D．-1＜m＜1
7．若
，
是
的两个根，且
，则b 的值是（ ）
A．1
B．
C．1 或7
D．7 或
8．若一元二次方程
有一个根为1，则
的值为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
类型三、根的判断别与根与系数关系综合
9．已知一元二次方程
的两实数根之和等于两实数根之积，则k 的
值为（ ）
A．
B．3
C．
D．不存在
10．关于x 的方程（x
1
﹣）（x+2）＝p2（p 为常数）的根的情况，下列结论中正确的
是（ ）
A．两个正根
B．两个负根
C．一个正根，一个负根
D．无实数根
11．关于x 的方程（x
3
﹣）（x+2）＝p2（p 为常数）的根的情况，下列结论中正确的
是（ ）
A．两个正根
B．两个负根
C．一个正根，一个负根
D．无实数根
12．定义新运算“a⊕b”：对于任意实数a，b 都有a⊕b＝（a+b）（a﹣b）﹣1．例如
4 3
⊕＝（4+3）（4
3
﹣）﹣1＝6．若x⊕k＝x（k 为实数）是关于x 的方程，则它的根的情况
为（ ）
A．有两个不相等的实根
B．有两个相等的实根
C．有一个实根
D．没有实根
二、填空题
类型一、由根与系数关系直接求值
13．已知方程x2﹣2x﹣2＝0 的两根分别为x1，x2，则x1
2﹣x2
2+4x2的值为 _____．
14．已知a，b 是方程x2+x-3=0 的两个实数根，则a2+b2+2015 的值是___．
15．已知
，
是一元二次方程
的两根，则代数式
的
值______．
16．若
、
是一元二次方程
的两根，则
的值是_______．
类型二、由根与系数关系求参数的值
17．已知关于x 的方程x2+3x+m＝0 的一个根是1，则此方程的另一个根为 _____．
18．设
，
是关于x 的方程
的两个根，且
，则
______．
19．已知x1、x2是方程x2﹣mx+2＝0 的两个根x1＝2，则2m
5
﹣x1•x2＝__________．
20．在解一元二次方程x2＋px＋q＝0 时，小明看错了系数p，解得方程的根为1 和﹣
3；小红看错了系数q，解得方程的根为4 和﹣2，则p＝________，q＝________．
类型三、根的判断别与根与系数关系综合
21．写一个一元二次方程，使其满足有一正一负两个不等实根．你写的方程式：_____．
22．已知关于x 的一元二次方程mx2
2
﹣（m＋2）x＋m＝0 有两个不相等的实数根x1，
x2，若x1＋x2＝2m，则m 的值是___．
23．关于x 的一元二次方程
的两实数根
，
，满足
，
则m 的值是______．
24．已知关于x 的一元二次方程x2
2(1
﹣
﹣m)x+m2＝0 的两实数根为x1，x2，若x1•x2＝
1，则m 的值为___．
三、解答题
25．已知
是一元二次方程
的两个根，求
的值．
26．已知关于x 的方程
的一个根为-3，求m 的值及另一个根．
27．已知关于x 的方程
．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)设此方程的两个根分别为
，
，若
，求m 的值．
28．已知，关于x 的一元二次方程
．
(1)k 取何值时，此方程有两个不相等的实数根？
(2)如果此方程的一个根为
，求k 的值和另一个根．
参考答案
1．B
【分析】
根据一元二次方程根与系数关系
解答即可
解：∵
，
，则
故本题选B．
【点拨】本题考查一元二次方程根与系数关系，熟记一元二次方程根与系数关系是解
答的关键．
2．B
【分析】
直接利用一元二次方程的根与系数关系，得出
，
，进而将原式变
形求出答案．
解：∵6x2−7x−3=0 的两根分别为x1、x2，
∴
，
，
∴
，
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，正确把握根与系数关系是解题的
关键．
3．D
【分析】
由根的定义可得
，由根与系数的关系可分别求得
和
的值，代入求值即可．
解：一元二次方程
的两个实数根为
，
，
，
=1．
故选D．
【点拨】本题主要考查方程的根的定义、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程两
根之和等于
，两根之积等于
是解题的关键．
4．C
【分析】
直接根据一元二次方程根与系数的关系得出答案．
解：
一元二次方程
有两个相等的实数根
，
，
，即
故选：C．
【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，即
，
，熟练掌
握并会应用是解题的关键．
5．B
【分析】
设方程的另一个根为x1，根据两根之积等于
，即可得出关于x1的一元一次方程，解
之即可得出结论．
解：设方程的另一个根为x1，根据题意得：
=2，解得 x1=2．
故选:B．
【点拨】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解以及解一元一次方程，牢记
一元二次方程
ax²+bx+c=0(a≠0)的两根之积等于
是解题的关键．
6．B
【分析】
设方程两根为x1，x2，根据一元二次方程的定义和根与系数的关系求解即可．
解：设方程两根为x1，x2，
根据题意得m+1≠0，
，
解得m＜1 且m≠-1，
∵x1•x2＜0，
∴Δ＞0，
∴m 的取值范围为m＜1 且m≠-1．
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞
0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有
实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．
7．A
解：∵
，
是
的两个根，
∴
，
，且
，
∵
，
∴
，
∴
，
解得：
或-7，
当
时，
，
当
时，
，不合题意，舍去，
综上所述，b 的值是1．
故选：A
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握若
，
是一元二次方程
的两个实数根，则
，
是
解题的关键．
8．B
【分析】
设该一元二次方程的另一个根为x1，根据两个之积等于
求出x1=-3，再根据两根之和
为
求出k．
解：设该一元二次方程的另一个根为x1，根据两根之积为
得x1=-3，
根据两根的和为
，得1+x1=-k，即k=-(1-3)=2，
故选：B．
【点拨】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的两个关系式是解
题的关键．
9．D
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，即两实数根之和为
，两实数根之积为
，即
可求得
的值，再利用一元二次方程跟的判别式
进行判断即可得出答案．
解：根据题意可知，此一元二次方程
，
，
，
∴
，
，
∴
，
解得
，
当
时，
，方程无实根，
当
时，
，方程无实根，
∴不存在，
故选：D
【点拨】本题考查了了一元二次方程的性质，解答本题的关键是熟练运用根与系数的
关系和根的判别式，属于基础题型．
10．C
【分析】
先把方程（x
1
﹣）（x+2）＝p2化为x2+x
2
﹣﹣p2＝0，再根据b2
4
﹣ac＝1+8+4p2＝9+4p2
＞0 可得方程有两个不相等的实数根，由x1x2=
2
﹣﹣p2＜0 即可得出结论．
解：∵关于x 的方程（x
1
﹣）（x+2）＝p2（p 为常数），
∴x2+x
2
﹣﹣p2＝0，
∴b2
4
﹣ac＝1+8+4p2＝9+4p2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为﹣2﹣p2＜0，
∴一个正根，一个负根，
故选：C．
【点拨】本题主要考查由根的判别式判断一元二次方程根的情况以及根与系数的关系.
11．C
【分析】
先把方程（x
3
﹣）（x+2）＝p2化为x2﹣x
6
﹣﹣p2＝0，再根据Δ＝b2
4
﹣ac＝1+24+4p2＞
0 可得方程有两个不相等的实数根，由﹣6﹣p2＜0 即可得出结论．
解：∵（x
3
﹣）（x+2）＝p2（p 为常数），
∴x2﹣x
6
﹣﹣p2＝0，
Δ
∴＝b2
4
﹣ac＝1+24+4p2＝25+4p2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为﹣6﹣p2＜0，
∴一个正根，一个负根．
故选：C．
【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式以及根与系数关系，注意利用偶次方的非
负性判断代数式的符号是解决问题的关键．
12．A
【分析】
利用新定义得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然
后利用Δ＞0 可判断方程根的情况．
解：∵x⊕k＝x（k 为实数）是关于x 的方程，
∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，
整理得x2﹣x﹣k2
1
﹣＝0，
∵Δ＝（﹣1）
2
4
﹣（﹣k2
1
﹣）
＝4k2+5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点拨】本题考查了新定义和一元二次方程根的情况，理解新定义是解答关键．
13．4
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，得出
，对
进行变形求值即
可．
解：∵方程x2
2
﹣x
2
﹣＝0 的两根分别为x1，x2，
∴
，
∴
,
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握
，
，是解题的关键．
14．2022
【分析】
由根与系数的关系及完全平方公式的变形应用，即可完成计算．
解：∵a，b 是方程x2+x-3=0 的两个实数根，
∴a+b=-1，ab=-3，
∴
，
故答案为：2022.
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形应用，掌握
这两个知识是解题的关键．
15．0
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，可得
，根据一元二次方程根的定义可
得
，代入代数式求解即可．
解：∵已知
，
是一元二次方程
的两根，
∴
，
．
∴
．
故答案为：0．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系：若
是一元二次方程
的两根，
，
，掌握以上知识是解
题的关键．
16．
【分析】
先把
通分后化为
，根据根与系数的关系得
+
=-
，
代入进行计算即可．
解：∵
、
是一元二次方程
的两根，
∴
+
=-
，
，
∴
=
=
故答案为：
【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=
，x1x2=
．
17．-4
【分析】
设该方程的两根为x1，x2，根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和，结合
“已知关于x 的方程x2+3x+m＝0 的一个根是1”，即可得到答案．
解：设该方程的两根为x1，x2，
则x1+x2＝﹣3，
∵该方程的一个根为1，
∴另一个根为：﹣3
1
﹣＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点拨】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，正确掌握一元二次方程根
与系数的关系是解题的关键．
18．8
【分析】
根据根与系数的关系得出
、
，再根据
求得x2＝2，代入 k 的
表达式，求解即可．
解：
，
是关于x 的方程
的两个根，
，
，
，
，即
，则
，
故答案为：．
【点拨】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解
题是一种经常使用的解题方法．
19．﹣4
【分析】
由一元二次方程根与系数的关系可知
，
，代入计算即可．
解：∵x1、x2是方程x2﹣mx+2＝0 的两个根，
∴
，
∵
∴
∴
；
∴
故答案为：-4；
【点拨】本题考查了求代数式的值以及一元二次方程根与系数的关系，若
是一元
二次方程
(a≠0)的两根时，
，熟练掌握根与系数关系是解题的
关键．．
20． ﹣2
3
﹣
【分析】
由小明看错了系数p 知常数项q 无误，根据所得两根之积可得q 的值；由小红看错了
系数q 知一次项系数p 无误，根据所得两根之和可得p 和q 的值．
解：∵小明看错了系数p，解得方程的根为和
，
∴
，
∵小红看错了系数q，解得方程的根为和
，
∴
，
∴
，
故答案为：
；
．
【点拨】本题主要考查根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）
的两根时，x1＋x2＝﹣
，x1•x2＝
，解题关键熟记根与系数的关系．
21．x2﹣x
6
﹣＝0（答案不唯一）
【分析】
由一元二次方程的一般式ax2+bx+c＝0（a≠0，且a、b、c 为常数），结合根与系数的
关系，两根一正一负，则两根之积小于0．问题可求．
解：令一元二次方程为：ax2+bx+c＝0（a≠0，且a、b、c 为常数），
∵满足有一正一负两个不等实根，
∴Δ＞0，x1•x2＜0．
∴①b2
4
﹣ac＞0，②
＜0．
只要满足①②两个条件的都可以，如：x2﹣x
6
﹣＝0 等等．
故答案为x2﹣x
6
﹣＝0
【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数关系，掌握以上知识是解
题的关键．
22．2
【分析】
由二次项系数不为0，且根的判别式大于0，求出m 的范围，根据根与系数的关系得到
＝2m，解分式方程即可．
解：根据题意得：m≠0 且Δ＝[
2
﹣（m＋2）]2
4
﹣m2＝16m＋16＞0，
∴m＞﹣1 且m≠0，
∵关于x 的一元二次方程mx2
2
﹣（m＋2）x＋m＝0 有两个不相等的实数根x1，
x2，
∴x1＋x2＝
，
∵x1＋x2＝2m，
∴
＝2m，
∵m≠0，
∴m2﹣m
2
﹣＝0，
解得m＝2 或﹣1，
经检验，m＝2 或﹣1 是原分式方程的解，
∵m＞﹣1，
∴m＝2．
故答案为：2
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解分式方程，
熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解分式方程的步骤是解题的关键．
23．2
【分析】
先根据根的判别式求得m 的取值范围，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到
x1x2＝m2−m＝2，进而求得m＝2 或m＝−1，故可得解．
解：由题意得Δ＝（2m）
2−4（m2−m）≥0，
∴m≥0，
∵关于x 的一元二次方程
的两实数根
，
，
则x1x2＝m2−m＝2，
∴m2−m−2＝0，解得m＝2 或m＝−1（舍去），
故答案为：2．
【点拨】本题考查的是解一元二次方程和一元二次方程根与系数的关系，x1，x2是一
元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1x2＝
．
24．-1
【分析】
根据根与系数的关系得到x1•x2＝m²=1，最后要验算判别式大于等于0．
解：由根与系数的关系可知：x1•x2＝m²=1，
∴m=±1，
又方程有实数根，
=
∴△b²-4ac=4(1-m)²-4m²=4-8m≥0，
∴
，
∴m=1 舍去，
故答案为：m=-1．
【点拨】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，计算过程中细心，同时要注意根
与系数关系成立的前提条件是方程必须有实数根，即判别式必须大于等于0．
25．1
【分析】
利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2=-
，x1x2=-2 的值，将所求式子变形后，
代入即可求出值．
解：∵x1，x2是一元二次方程3x2+2x-6=0 的两个根，
∴x1+x2=-
，x1x2=
=-2，
∴
．
【点拨】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本
题的关键．
26．方程另一根为0，m 的值为0
【分析】
设方程另一根为x2，利用根与系数的关系求出两根之和，把-3 代入计算求出x2的值，
再利用两根之积求出m 的值即可．
解：设方程另一根为x2，
由根与系数的关系得：-3+x2=-3，
解得：x2=0，
∴m=-3×0=0，
则方程另一根为0，m 的值为0．
【点拨】此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方
程根与系数的关系是解本题的关键．
27．(1)见分析 (2)3
【分析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＞0，由此可证出此方程有两个不
相等的实数根；
（2）利用根与系数的关系可得
即可找出关于m 的一元一次方程，解之即
可得出结论．
(1)根据题意可知：
，
∴方程有两个不相等的实数根；
(2)有题意得：
∴
，解得
【点拨】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、
根与系数的关系的表达式，并会熟练计算．
28．(1)
时，方程有两个不相等的实数根 (2)
，另一个根为
【分析】
（1）利用一元二次方程的根的判别式计算解答；
（2）把
代入原方程
，解得k 的值．再根据一元二次方程根与系数
的关系求得另一个根．
(1)解：∵
，
，
，
∴
．
解得
所以，当
时，方程有两个不相等的实数根．
(2)解：把
代入原方程得：
，解得：
．
设另一个根为
，则
即
所以方程的另一个根为
．
【点拨】此题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，正确掌握一元二
次方程的知识点是解题的关键．
