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专题21.15 一元二次方程根与系数的关系（直通中考）
【要点回顾】一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程 的两个实数根是 ，
那么 .（注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0）.
一、单选题
1．（2022·湖南益阳·统考中考真题）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是
（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
2．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知 ， 是方程 的两个实数根，则代数式
的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
3．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）已知关于 的一元二次方程 的两根分别记为 ， ，
若 ，则 的值为（ ）
A．7 B． C．6 D．
4．（2022·四川宜宾·统考中考真题）已知m、n是一元二次方程 的两个根，则
的值为（ ）
A．0 B．－10 C．3 D．10
5．（2022·四川乐山·统考中考真题）关于x的一元二次方程 有两根，其中一根为 ，则
这两根之积为（ ）
A． B． C．1 D．
6．（2022·四川泸州·统考中考真题）已知关于 的方程 的两实数根为 ， ，若
，则 的值为（ ）A． B． C． 或3 D． 或3
7．（2022·内蒙古包头·中考真题）若 是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．3或 B． 或9 C．3或 D． 或6
8．（2022·湖北武汉·统考中考真题）若关于x的一元二次方程 有两个实数根 ，
，且 ，则 （ ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
9．（2021·湖北武汉·统考中考真题）已知 ， 是方程 的两根，则代数式
的值是（ ）
A．-25 B．-24 C．35 D．36
10．（2021·四川南充·统考中考真题）已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
11．（2020·山东菏泽·统考中考真题）等腰三角形的一边长是 ，另两边的长是关于 的方程
的两个根，则 的值为（ ）
A． B． C． 或 D．
二、填空题
12．（2022·山东日照·统考中考真题）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x，x，且
1 2
，则m=__________．
13．（2022·湖北鄂州·统考中考真题）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则
的值为 _____．
14．（2022·湖北黄冈·统考中考真题）已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x、x，则x•x＝_____．
1 2 1 2
15．（2022·四川巴中·统考中考真题） 、 是关于 的方程 的两个实数根，且，则 的值为________．
16．（2022·四川内江·统考中考真题）已知x、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且
1 2
＝x2+2x﹣1，则k的值为 _____．
1 2
17．（2022·四川眉山·中考真题）设 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为________．
18．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）已知实数 、 满足 ，若关于 的一元二次方程
的两个实数根分别为 、 ，则 _____________．
19．（2021·江苏南京·统考中考真题）设 是关于x的方程 的两个根，且 ，则
_______．
20．（2020·贵州黔南·中考真题）对于实数a，b，定义运算“ ”， 例如 ，因为
，所以 ．若 是一元二次方程 的两个根，则 _________．
三、解答题
21．（2022·湖北随州·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程 有两个不等实数
根 ， ．
(1) 求k的取值范围；
(2) 若 ，求k的值．22．（2022·湖北十堰·统考中考真题）已知关于 的一元二次方程 ．
(1) 求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若方程的两个实数根分别为 ， ，且 ，求 的值．
23．（2022·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程 有实数根．
(1) 求实数k的取值范围．
(2) 设方程的两个实数根分别为 ，若 ，求k的值．
24．（2022·湖北黄石·统考中考真题）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程 ，如果我们把 看作一个整体，然后设 ，则原方程可化为
，经过运算，原方程的解为 ， ．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做
换元法．
材料2
已知实数m，n满足 ， ，且 ，显然m，n是方程 的两个不相等的
实数根，由韦达定理可知 ， ．根据上述材料，解决以下问题：
(1) 直接应用：
方程 的解为_______________________；
(2) 间接应用：
已知实数a，b满足： ， 且 ，求 的值；
(3) 拓展应用：
已知实数x，y满足： ， 且 ，求 的值．
25．（2020·湖北随州·统考中考真题）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根 ， ，且 ，求 的值．
26．（2022·四川凉山·统考中考真题）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x，x，则x＋x＝ ，xx＝
1 2 1 2 1 2
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1) 材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x，x，则x＋x＝ ；xx＝ ．
1 2 1 2 1 2
(2) 类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 的值．
(3) 思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求 的值．
参考答案
1．B
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】设x2+x+m＝0另一个根是α，
∴﹣1+α＝﹣1，
∴α＝0，
故选：B．
【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型．
2．A
【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
故选A
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数
的关系是解题的关键．
3．B
【分析】根据根与系数关系求出 =3，a=3，再求代数式的值即．
【详解】解：∵一元二次方程 的两根分别记为 ， ，
∴ + =2，
∵ ，
∴ =3，
∴ · =-a=-3，
∴a=3，
∴ ．
故选B．
【点拨】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数
式的值是解题关键．
4．A
【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入
即可求解．【详解】解：∵m、n是一元二次方程 的两个根，
∴mn=－5，m2+2m-5=0，
∴m2+2m=5，
∴ =5－5=0，
故选：A．
【点拨】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数
关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键．
5．D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解： 关于x的一元二次方程 有两根，其中一根为 ，
设另一根为 ，则 ，
，
，
故选：D
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
6．A
【分析】利用根与系数的关系以及 求解即可．
【详解】解：由题意可知： ，且
∵ ，
∴ ，解得： 或 ，
∵ ，即 ，
∴ ，
故选：A【点拨】本题考查根与系数的关系以及根据方程根的情况确定参数范围，解题的关键是求出 ，再利
用根与系数的关系求出 或 （舍去）．
7．A
【分析】结合根与系数的关系以及解出方程 进行分类讨论即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
,则两根为：3或-1，
当 时， ，
当 时， ，
故选：A．
【点拨】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是解题的关键．
8．A
【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出
，把 变形为 ，再代入得方程
，求出m的值即可．
【详解】解:∵关于x的一元二次方程 有两个实数根,
∴ ,
∴
∵ 是方程 的两个实数根,
∵ ，
又∴
把 代入整理得,
解得,
故选A
【点拨】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当
△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合 ，找出关于m的一元
二次方程．
9．D
【分析】先根据已知可得 ， ，a+b=3，然后再对 变形，最后代
入求解即可．
【详解】解：∵已知 ， 是方程 的两根
∴ ， ，a+b=3
∴ =0+5+30+1=36．
故选D．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系以及整式的变形，根据需要对整式灵活变形
成为解答本题的关键．
10．B
【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得 ， ，再代入通分计算即
可求解．
【详解】∵方程 的两根分别为 ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ = = = = =-1．
故选B．
【点拨】本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，熟练运用一元二次方程解的定义及根与系
数的关系是解决问题的关键．
11．C
【分析】分类讨论：当3为等腰三角形的底边，则方程有等根，所以△＝0，求解即可，于是根据根与系数
的关系得两腰的和＝4，满足三角形三边的关系；当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代
入方程可计算出k的值即可．
【详解】解：①当3为等腰三角形的底边，根据题意得△＝（-4）2−4k＝0，解得k＝4，
此时，两腰的和=x +x =4>3，满足三角形三边的关系，所以k＝4；
1 2
②当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代入方程得9−12＋k＝0，解得k＝3；
综上，k的值为3或4，
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解以及根与系数的关系等腰三角形的性质和三
角形的三边关系，注意解得k的值之后要看三边能否组成三角形．
12． /-0.125
【分析】根据根与系数的关系得到x+x=-2m，xx= ，再由x2+x2= 变形得到（x+x）2-2xx= ，即可
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
得到4m2-m= ，然后解此方程即可．
【详解】解：根据题意得x+x=-2m，xx= ，
1 2 1 2
∵x2+x2= ，
1 2
∴（x+x）2-2xx= ，
1 2 1 2
∴4m2-m= ，
∴m=- ，m= ，
1 2∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞ 或m＜0时，
∴m= 不合题意，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了根与系数的关系：若x，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时， ，
1 2
．
13．
【分析】先根据题意可以把a、b看做是一元二次方程 的两个实数根，利用根与系数的关系得
到a+b=4，ab=3，再根据 进行求解即可．
【详解】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，
∴可以把a、b看做是一元二次方程 的两个实数根，
∴a+b=4，ab=3，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系
是解题的关键．
14．3
【分析】直接根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x、x，
1 2
∴x•x＝ ＝3．
1 2
故答案为3．
【点拨】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系，解题关键在于掌握若方程的两根分别为x ，x ，则x +x =-
1 2 1 2
15．
【分析】 ，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，
得到关于k的一元一次方程，即可解得答案．
【详解】解：∵ 是方程 的根
∴ ，
∴
∴k=-4
故答案是-4．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中
需注意的问题是本题的解题关键．
16．2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x+x＝2，x•x＝k﹣1，x2﹣2x+k﹣1＝0，
1 2 1 2 1 1
再根据 ＝x2+2x﹣1，推出 ＝4﹣k，据此求解即可．
1 2
【详解】解：∵x、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
1 2
∴x+x＝2，x•x＝k﹣1，x2﹣2x+k﹣1＝0，
1 2 1 2 1 1
∴x2＝2x﹣k+1，
1 1
∵ ＝x2+2x﹣1，
1 2
∴ ＝2（x+x）﹣k，
1 2
∴ ＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；∴k＝2，
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与
系数的关系是解题的关键．
17．10
【分析】由根与系数的关系，得到 ， ，然后根据完全平方公式变形求值，即可得到答
案．
【详解】解：根据题意，
∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ；
故答案为：10．
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握得到
， ．
18．
【分析】根据非负性求得a、b的值，再根据一元二次方程根与系数关系求得 + 、 ，代入
求解即可．
【详解】解：∵实数 、 满足 ，
∴a﹣2=0，b+3=0，
解得：a=2，b=﹣3，
∴ ，
∵一元二次方程 的两个实数根分别为 、 ，
∴ + =2， =﹣3，∴ = ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查代数式求值、二次根式被开方数的非负性、绝对值的非负性、一元二次方程根与系数，
熟练掌握非负性和一元二次方程根与系数关系是解答的关键．
19．2
【分析】先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k的值即
可．
【详解】解：由根与系数的关系可得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ;
故答案为：2．
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二次方
程 ，其两根之和为 ，两根之积为 ．
20．0
【分析】求出 的解，代入新定义对应的表达式即可求解．
【详解】解： ，
解得： ，
即 ，
则 ，
故答案为：0．【点拨】此题主要考查了根与系数的关系，对新定义的正确理解是解题的关键．
21．(1)
(2)2
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得；
（2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得 ，再结合（1）的结论即可得．
【详解】（1）解： 关于 的一元二次方程 有两个不等实数根，
此方程根的判别式 ，
解得 ．
（2）解：由题意得： ，
解得 或 ，
由（1）已得： ，
则 的值为2．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识
是解题关键．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据根的判别式 ，即可判断；
（2）利用根与系数关系求出 ，由 即可解出 ， ，再根据 ，即可得到
的值．
【详解】（1） ，
∵ ，
∴ ，该方程总有两个不相等的实数根；
（2） 方程的两个实数根 ， ，
由根与系数关系可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ，
∴ ，即 ．
【点拨】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．
23．(1)k ； (2)k=3
【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2） 0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到 ，将等式左侧展开代入计算即可得到k值．
【详解】（1）解：∵一元二次方程 有实数根．
∴ 0，即32-4（k-2） 0，
∆
解得k
（2）∵方程的两个实数根分别为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得k=3．
【点拨】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程
有关知识是解题的关键．24．(1) ， ， ，
(2) 或
(3)15
【分析】（1）利用换元法降次解决问题；
（2）模仿例题解决问题即可；
（3）令 =a，-n=b，则 +a-7=0， +b=0，再模仿例题解决问题．
【详解】（1）解：令y= ，则有 -5y+6=0，
∴（y-2）（y-3）=0，
∴ =2， =3，
∴ =2或3，
∴ ， ， ， ，
故答案为： ， ， ， ；
（2）解：∵ ，
∴ 或
①当 时，令 ， ，
∴ 则 ， ，
∴ ， 是方程 的两个不相等的实数根，
∴ ，
此时 ；②当 时， ，
此时 ；
综上： 或
（3）解：令 ， ，则 ， ，
∵ ，
∴ 即 ，
∴ ， 是方程 的两个不相等的实数根，
∴ ，
故 ．
【点拨】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关
键是理解题意，学会模仿例题解决问题．
25．（1）见解析；（2） ．
【分析】（1）求出△的值即可证明；
（2），根据根与系数的关系得到 ，代入 ，得到关于m的方程，然后解
方程即可．
【详解】（1）证明：依题意可得
故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）由根与系数的关系可得：由 ，得 ，解得 ．
【点拨】本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根
与系数的关系：x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x +x =− ，x x = ．
1 2 1 2 1 2
26．(1) ； (2) (3) 或
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；
（2）根据根与系数的关系先求出 ， ，然后将 进行变形求解即可；
（3）根据根与系数的关系先求出 ， ，然后求出s-t的值，然后将 进行变形求解即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x，x，
1 2
∴ ， ．
故答案为： ； ．
（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，
∴ ， ，
∴
（3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，
∴ ， ，∵
∴ 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
综上分析可知， 的值为 或 ．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系
求出或，是解答本题的关键．
