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专题 21.15 一元二次方程（直通中考）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024·四川自贡·中考真题）关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．（2024·四川南充·中考真题）当 时，一次函数 有最大值6，则实数m的值
为（ ）
A． 或0 B．0或1 C． 或 D． 或1
3．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）用配方法解方程 时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川德阳·中考真题）宽与长的比是 的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，
世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形 是黄金矩
形． ，点 是边 上一点，则满足 的点 的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．（2023·西藏·中考真题）已知一元二次方程 的两个根为 、 ，则 的值为（ ）
A．－3 B． C．1 D．
6．（2023·内蒙古·中考真题）若实数 ， 是一元二次方程 的两个根，且 ，则点
所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2023·辽宁锦州·中考真题）若关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
8．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x的方程 有两个实数根，则
的化简结果是（ ）
A． B．1 C． D．
9．（2023·浙江湖州·中考真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，
该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了 万辆．如果设从2020年到
2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·四川巴中·中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记
载的图表给出了 展开式的系数规律．
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
当代数式 的值为1时，则x的值为（ ）
A．2 B． C．2或4 D．2或
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2024·四川泸州·中考真题）已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则
的值是 ．12．（2024·四川成都·中考真题）若 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 的
值为 ．
13．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程 的一个根，则 的值为
．
14．（2023·江苏镇江·中考真题）若 是关于x的一元二次方程 的一个根，则m的值为
．
15．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万
元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ．
16．（2023·湖南娄底·中考真题）若m是方程 的根，则 ．
17．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）方程 的解为 ．
18．（2023·江苏连云港·中考真题）若 （ 为实数），则 的最小值为
．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·青海西宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ， 是方
程 的两个根．
20．（8分）（2024·四川南充·中考真题）已知 ， 是关于 的方程 的两个不相等
的实数根．
（1）求 的取值范围．
（2）若 ，且 ， ， 都是整数，求 的值．21．（10分）（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为 ，且 ，求 的值．
22．（10分）（2023·山东东营·中考真题）如图，老李想用长为 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足
够长）围成一个矩形羊圈 ，并在边 上留一个 宽的门（建在 处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
23．（10分）（2023·内蒙古通辽·中考真题）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程 的两个实数根 和系数a，b，c有如下关系：
， ．
材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求 的值．
解：∵m，n是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ．
则 ．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程 的两个实数根为 ，则 ___________，
___________；（2）类比：已知一元二次方程 的两个实数根为m，n，求 的值；
（3）提升：已知实数s，t满足 且 ，求 的值．
24．（12分）（2023·湖北宜昌·中考真题）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客
端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．
（1）求豆沙粽和肉粽的单价；
（2）超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量
（单位：个）和付款金额（单位：元）；
豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额
小欢妈
20 30 270
妈
小乐妈
30 20 230
妈
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成
本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，
m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别
为 包， 包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值．参考答案：
1．A
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程 中，当 时，
方程有两个不相等的实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式解答即可．
【详解】解： △ ，
方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
2．A
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当 时和当
，根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案．
【详解】解：当 即 时，一次函数y随x的增大而增大，
∴当 时， ，
即 ，
整理得：
解得： 或 （舍去）
当 即 时，一次函数y随x的增大而减小，
∴当 时， ，
即 ，
整理得：
解得： 或 （舍去）
综上， 或 ，
故选：A
3．C
【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上 ，即可求解．
【详解】解：
移项得，
两边同时加上 ，即
∴ ，故选：C．
【点拨】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
4．D
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解，熟练掌握勾股定理，利用判别式判断一
元二次方程解的情况是解题的关键．设 ， ，假设存在点 ，且 ，则 ，利用
勾股定理得到 ， ， ，可得到方程
，结合 ，然后根据判别式的符号即可确定有几个解，由此得解．
【详解】解：如图所示，四边形 是黄金矩形， ， ，
设 ， ，假设存在点 ，且 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
，
，即 ，
整理得 ，
，又 ，即 ，
，
， ，
，方程无解，即点 不存在．
故选：D．
5．D
【分析】由根与系数的关系得出两根之和，两根之积，然后把要求的式子变形，代入求值即可．
【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得，
，
∴
，
故选：D．
【点拨】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的
解题方法．
6．B
【分析】根据一元二次方程的解法求出 ， 的值，根据各象限点的特征即可求得．
【详解】∵实数 ， 是一元二次方程 的两个根，且 ，
∴ ,
∴ 为 ，
∴ 在第二象限，
故选：B．
【点拨】此题考查了一元二次方程的解法以及各象限点的特征，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解
法．
7．D
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答．
【详解】解：∵ 为一元二次方程，
∴ ，∵该一元二次方程有两个实数根，
∴ ，
解得 ，
∴ 且 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程
有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0．
8．A
【分析】首先根据关于x的方程 有两个实数根，得判别式
，由此可得 ，据此可对 进行化简．
【详解】解：∵关于x的方程 有两个实数根，
∴判别式 ，
整理得： ，
∴ ，
∴ ， ，
∴
．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一
元二次方程根的判别式是解答此题的关键．
9．D
【分析】设年平均增长率为x，根据2020年销量为20万辆，到2022年销量增加了 万辆列方程即可．
【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得，
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
10．C
【分析】
由规律可得： ，令 ， ，可得 ，再解方程即可．
【详解】解：由规律可得： ，
令 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
故选：C．
【点拨】本题考查的是从题干信息中总结规律，一元二次方程的解法，灵活的应用规律解题是关键．
11．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，
若该方程的两个实数根为 ， ，则 ， ．先根据根与系数的关系得到 ，
，再根据完全平方公式的变形 ，求出 ，由此即可得到
答案．
【详解】解： ， 是一元二次方程 的两个实数根，
， ，
，，
．
故答案为： ．
12．7
【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求
出 ， ，从而得到 ，再将原式利用完全平方公式展开，利用
替换 项，整理后得到 ，再将 代入即可．
【详解】解：∵ ， 是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
则
∴
故答案为：7
13．
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程
的一个根，可得出 ，再化简代数式，整体代入即可求解．
【详解】解： m是方程 的一个根，
∵
∴，
故答案为： ．
14．5
【分析】：把 代入方程 ，求出关于m的方程的解即可．
【详解】把 代入方程 ，
得 ，
解得 ．
故答案为：5．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
15．
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解．
【详解】解：设平均增长率为x，由题意得：
，
解得： ， （不符合题意，舍去）；
故答案为： ．
16．6
【分析】由m是方程 的根，可得 ，把 化为 ，再通分变形即可．
【详解】解：∵m是方程 的根，
∴ ，即 ，
∴；
【点拨】本题考查的是一元二次方程的解的含义，分式的化简求值，准确的把原分式变形，再求值是解本
题的关键．
17．
【分析】依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出 的值．
【详解】解： ，
方程两边同时乘以 得， ，
，
，
，
或 ．
经检验 时， ，故舍去．
原方程的解为： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是解分式方程，解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况．
18．
【分析】运用配方法将 变形为 ，然后根据非负
数的性质求出 的最小值即可．
【详解】解：
=
=
=
∵ 为实数，
∴
∴ 的最小值为 ,故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程 中
不要改变式子的值．
19． ，
【分析】先根据分式的混合运算进行化简，然后根据一元二次方程根与系数的关系式得出
，代入化简结果，即可求解．
【详解】解：原式
∵ ， 是方程 的两个根
∴
∴原式 .
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算，一元二
次方程根与系数的关系是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方
程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
（1）根据“ ， 是关于 的方程 的两个不相等的实数根”，则 ，得出关于
的不等式求解即可；
（2）根据 ，结合（1）所求 的取值范围，得出整数 的值有 ， ， ，分别计算讨论整数 的不同
取值时，方程 的两个实数根 ， 是否符合都是整数，选择符合情况的整数 的值
即可．【详解】（1）解：∵ ， 是关于 的方程 的两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
（2）解：∵ ，由（1）得 ，
∴ ，
∴整数 的值有 ， ， ，
当 时，方程为 ，
解得： ， （都是整数，此情况符合题意）；
当 时，方程为 ，
解得： （不是整数，此情况不符合题意）；
当 时，方程为 ，
解得： （不是整数，此情况不符合题意）；
综上所述， 的值为 ．
21．(1)证明见解析；
(2) 或 ．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方
程根的判别式是解题的关键．
（1）根据根的判别式证明 恒成立即可；
（2）由题意可得， ， ，进行变形后代入即可求解．
【详解】（1）证明： ，
∵无论 取何值， ，恒成立，
∴无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵ 是方程 的两个实数根，∴ ， ，
∴ ，
解得： 或 ．
22．(1)当羊圈的长为 ，宽为 或长为 ，宽为 时，能围成一个面积为 的羊圈；
(2)不能，理由见解析．
【分析】（1）设矩形 的边 ，则边 ，根据题意列出一元二次方
程，解方程即可求解；
（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．
【详解】（1）解：设矩形 的边 ，则边 ．
根据题意，得 ．
化简，得 ．
解得 ， ．
当 时， ；
当 时， ．
答：当羊圈的长为 ，宽为 或长为 ，宽为 时，能围成一个面积为 的羊圈．
（2）解：不能，理由如下：
由题意，得 ．
化简，得 ．
∵ ，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到 ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．
23．(1) ，(2)
(3) 的值为 或 ．
【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出 ， ，再根据 ，
最后代入求值即可；
（3）由题意可将s、t可以看作方程 的两个根，即得出 ， ，从而由
，求得 或 ，最后分类讨论分别代入求值即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程 的两个根为 ， ，
∴ ， ．
故答案为： ， ；
（2）解：∵一元二次方程 的两根分别为m、n，
∴ ， ，
∴
；
（3）解：∵实数s、t满足 ，
∴s、t可以看作方程 的两个根，∴ ， ，
∵
，
∴ 或 ，
当 时，
，
当 时，
，
综上分析可知， 的值为 或 ．
【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，
掌握一元二次方程 根与系数的关系： 和 是解题关键．
24．(1)豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元
(2)①豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；②
【分析】（1）设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为 元，依题意列一元一次方程即可求解；
（2）①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，依题意列二元一次方程组即可求解；
②根据销售额=销售单价 销售量，列一元二次方程，解之即可得出m的值．
【详解】（1）解：设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为 元，依题意得 ，
解得 ；
则 ；
所以豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元；
（2）解：①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，
依题意得 ，解得 ，
所以豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；
②依题意得 ，
解得 或 ，
，
∴ ，
．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用、二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，根据题意找到
题中的等量关系列出方程或方程组是解题的关键．
