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专题21.3 一元二次方程（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
知识点一、一元二次方程的定义
1．下列关于x 的方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2＋2x＝x2
1
﹣
B．m2x2
7
﹣＋x2＝0
C．x2＋
﹣1＝0
D．ax2＋bx＋c＝0
2．若一元二次方程
有一个解为
，则k 为（ ）
A．
B．1
C．
D．0
3．方程
是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是
（ ）
A．m≠±l
B．m≥-l 且m≠1
C．m≥-l
D．m＞-1 且m≠1
4．下列方程中，是一元二次方程的有（ ）个
①
；②
；③
；④
；⑤
．
A．
B．
C．
D．
知识点二、一元二次方程的一般形式
5．将方程2x2＝5x－1 化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为2，则一次项
系数、常数项分别是（ ）
A．－5、1
B．5、1
C．5、－1
D．－5、－1
6．一元二次方程
化成一般式后
的值为（ ）
A．3，－10，－4 B．3，－12，－2
C．8，－10，－2
D．8，－12，4
7．如果a，b，k 均为整数，则满足下面等式
的所有k 的取值
有( )
A．2 个
B．3 个
C．6 个
D．8 个
8．把方程
化为
的形式，下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点三、一元二次方程的解
9．已知实数a 是一元二次方程x2+x
8
﹣＝0 的根，则a4+a3+8a
1
﹣的值为（ ）
A．62
B．63
C．64
D．65
10．已知a 是方程
的一个根，则
的值为（ ）．
A．
B．2022
C．2021
D．无法计算
11．若关于
的一元二次方程
有一个根为
，则方程
必有一根为（ ）
A．2019
B．2020
C．2021
D．2022
12．根据下列表格的对应值，由此可判断方程
+12x
15=0
﹣
必有一个解x 满足（
）
x
1
﹣
1
1.1
1.2
x2+12x
15
﹣
26
﹣
2
﹣
0.59
﹣
0.84
A．﹣1<x<1
B．1<x<1.1
C．1.1<x<1.2
D．﹣0.59<x<0.84
二、填空题
知识点一、一元二次方程的定义
13．若方程
是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是_____．
14．当
___________时，方程
是一元二次方程．
15．已知
是关于的一元二次方程，则
的值为_________．
16．下列方程中，①7x2+6＝3x；②
＝7；③x2﹣x＝0；④2x2
5
﹣y＝0；⑤﹣x2＝0
中是一元二次方程的有_____．
知识点二、一元二次方程的一般形式
17．一元二次方程（1﹣3x）（x+3）＝2x2+1 的一般形式是_____；它的二次项系数是
_____，一次项系数是_____，常数项是_____．
18．一元二次方程
二次项系数为______，常数项为______.
19．若m2x3﹣（2x+1）
2+（n
3
﹣）x+5＝0 是关于x 的一元二次方程，且不含x 的一次
项，则m＝___，n＝___．
20．已知关于x 的一元二次方程（a
2
﹣）x2
2x+a
﹣
2
4
﹣＝0 的常数项是0，则a＝
_____．
知识点三、一元二次方程的解
21．关于x 的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n，且(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn
－2a)＝54，则a 的值为______．
22．若
，
是方程
的两根，则
的值为______．
23．定义新运算：
，若
，
是关于一元二次方程
的两实数根，则
的值为_________．
24．若关于x 的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．
若方程a2x2
2021
﹣
ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+
﹣
的值是
___．
三、解答题
25．（1）若方程
是关于x 的一元二次方程，求m 的取值范围．
（2）如果
是方程
的一个根，求
的值．
26．根据下列问题，列出关于x 的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
（1）4 个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；
（3）把长为1 的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平
方，求较短一段的长x．
27．若关于x 的一元二次方程
有一个根为
，且
，
求
的值．
28．试证明关于
的方程
无论
取何值，该方程都是一元二
次方程；
参考答案
1．B
【分析】
根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2 的
整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．
解：A. x2＋2x＝x2
1
﹣，整理后是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B. m2x2
7
﹣＋x2＝0 是一元二次方程，故此选项符合题意；
C. x2＋
﹣1＝0 不是整式方程，所以方程不是一元二次方程，故此选项不符合题
意；
D. ax2＋bx＋c＝0，a＝0 时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：（1）一元二次
方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是
2；（2）一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
2．C
【分析】
把x=0 代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0 得方程k2-1=0，解关于k 的方程，然后利用一元二
次方程的定义确定k 的值．
解：把x=0 代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0 得方程：k2-1=0，
解得k1=1，k2=-1，
而k-1≠0，
所以k=-1．
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的
值是一元二次方程的解．
3．D
【分析】
根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件求解可得．
解：∵方程
是关于x 的一元二次方程，
∴
，
解得
，
由
有意义得
，
解得：
，
∴
且
，
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先
要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
4．B
【分析】
根据一元二次方程的定义判断，应仅有一个未知数，且是最高次数为2 的整式方程．
解：①变形为
，是一元二次方程；
②
，整理变形为
，最高次数为4，不是一元二次方
程；
③
，变形为
，是一元二次方程；
④
变形为
，不是一元二次方程；
⑤
，是分式方程；
故①③满足，共有个一元二次方程
故选B．
【点拨】本题考查了一元二次方程，一元二次方程应仅有一个未知数，且是最高次数
为2 的整式方程．
5．A
【分析】
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且a≠0），a、b、c 分别是二
次项系数、一次项系数、常数项．
解：2x2＝5x－1 化为一元二次方程的一般形式2x2-5x+1=0，
一次项系数、常数项分别是-5，1，
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且a≠0）
特别要注意a≠0 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，
bx 叫一次项，c 是常数项．其中a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
6．A
【分析】
通过去括号、移项合并同类项将方程化为一般形式即可得．
解：
，
去括号，得
，
移项合并同类项，得
，
则化成一般式后
的值为
，
故选：A．
【点拨】本题考查了整式的乘法与加减法、一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元
二次方程的概念是解题关键．
7．C
【分析】
先把等式左边展开，由对应相等得出a+b=k，ab=18；再由a，b，k 均为整数，求出k
的值即可．
解：∵（x+a）（x+b）=x2+kx+18，
x
∴
2+（a+b）x+ab=x2+kx+18，
a+b=k
∴
，ab=18，
a
∵，b，k 均为整数，
a=±1
∴
，b=±18，k=±19；
a=±2，b=±9，k=±11；
a=±3，b=±6，k=±9；
故k 的值共有6 个，
故选C．
【点拨】本题考查了多项式乘以多项式，是基础知识要熟练掌握．
8．B
【分析】
先移项，再合并同类项，系数化为1 即可．
解：移项 4y=x+1-
合并同类项
系数化为1 得
故选 B
【点拨】把方程
变形为y=kx+b 的形式，就是解关于y 的方程，根据等式
的性质变形是解本题的关键．
9．B
【分析】
把方程的解代入方程得到关于a 的等式，然后利用等式对代数式进行化简求值．
解：∵是一元二次方程
的一个根，
∴
∴
∴
故选：
【点拨】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于a 的等式，
利用等式对代数式进行化简并求出代数式的值．
10．C
【分析】
先根据一元二次方程的解的定义，得到
，然后将其变形得到
a2=2022a-1，a2+1=2022a，最后整体代入代数式求值即可．
解：∵a 是关于x 的一元二次方程
的一个根，
∴
，
∴a2=2022a-1，a2+1=2022a，
∴原式=2022a-1-2021a+
=a-1+
=
=
-1
=2021，故C 正确．
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解，分式的运算，整体代入求代数式的值，关键
是运用整体代入的思想．
11．D
【分析】
把
化为：
再结合题意可得
从
而可得方程的解.
解：
可化为：
关于的一元二次方程
有一个根为
，
把
看作是整体未知数，则
即
有一根为
故选D
【点拨】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的
根”是解本题的关键.
12．C
【分析】
利用表中数据得到x=1.1 时，x2 +12x
15=-0.59<0
﹣
，x=1.2 时，x2 +12x
15=0.84>0
﹣
，
则可以判断方程x2 +12x
15=0
﹣
时，有一个解x 满足1.1<x<1.2．
解：∵x=1.1 时，x2 +12x
15=-0.59<0
﹣
，
x=1.2 时，x2 +12x
15=0.84>0
﹣
，
1.1<
∴
x<1.2 时，x2 +12x
15=0
﹣
即方程x2 +12x
15=0
﹣
必有一个解x 满足1.1<x<1.2，
故选C．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的
值是一元二次方程的解．
13．m≠1
【分析】
根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高
次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
解：根据一元二次方程的定义可得：m-1≠0，
解得：m≠1，
故答案是：m≠1．
【点拨】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2 的
整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0 的条件．
这是在做题过程中容易忽视的知识点．
14．
【分析】
根据一元二次方程的定义解答．
解：∵
是一元二次方程，
∴
且
，
解得
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2 的
整式方程叫做一元二次方程，一般形式是
（且
）．特别要注意
的
条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
15．
．
【分析】
根据一元二次方程的定义，令2m-1=2，求出m 的值即可．
解：∵3x2m-1-7x-m=0 是关于x 的一元二次方程，
2m-1=2
∴
，
m=
∴
，
故答案是：
．
【点拨】此题考查一元二次方程的概念．解题关键在于掌握只有一个未知数且未知数
最高次数为2 的整式方程叫做一元二次方程．
16．①③⑤．
【分析】
一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不
为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满
足这四个条件者为正确答案．
解：①③⑤是一元二次方程，②是分式方程，④是二元二次方程，
故答案为：①③⑤．
【点拨】此题考查一元二次方程的概念，解题关键在于掌握判断一个方程是否是一元
二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的
最高次数是2．
17． 5x2+8x﹣2＝0 5 8 -2
【分析】
将等式左边利用整式的乘法法则计算，再整理为一元二次方程的一般形式，根据一元
二次方程的定义解答．
解：一元二次方程（1﹣3x）（x+3）＝2x2+1 的一般形式是5x2+8x﹣2＝0；它的二次项
系数是5，一次项系数是8，常数项是﹣2．
故答案为：5x2+8x﹣2＝0，5，8，﹣2．
【点拨】此题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，整式的乘法计算
法则，熟记一元二次方程的定义是解题的关键．
18． 1
【分析】
将原方程化简整理，然后根据一元二次方程的定义求解即可.
解：原方程整理得
∴二次项系数为1，常数项为-4
故答案为：1，-4.
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的概念，通过已知条件对原方程进行整理是解
题的关键.
19． 0 7
【分析】
首先把方程变为一元二次方程的一般形式
，再根据题意可
得
，进而可得答案．
解：m2x3﹣（2x+1）
2+（n
3
﹣）x+5＝0，
整理得，
，
∵为一元二次方程且不含x 的一次项，
∴
，
解得
，
故答案为：0，7．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x 的一
元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．
20．﹣2．
【分析】
根据常数项是0 列式求出a 值，结合一元二次方程的定义a-2≠0，即可得答案.
解：∵一元二次方程（a
2
﹣）x2
2x+a
﹣
2
4
﹣＝0 的常数项是0，
a
∴2
4
﹣＝0，
解得：a＝±2，
a
2≠0
∵﹣
，
a≠2
∴
，
a
∴＝﹣2，
故答案为﹣2．
【点拨】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为：
ax2+bx+c=0(a≠0)，ax2叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；
c 叫做常数项；解题时注意不要漏掉a≠0 这个隐含条件.
21．
##1.5##
【分析】
根据方程根的定义得到
，
，然后把(2am2－4bm＋2a)(3an2－
6bn－2a)＝54 变形后，利用整体代入，得到关于a 的一元二次方程，解方程后去掉不合题
意的解即可．
解：∵关于x 的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n，
∴
，
∴
，
(2
∵
am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，
[2
∴
（am2－2bm＋a）] [3(an2－2bn)－2a]＝54
∴
解得
或
∵ab≠0
∴a，b 均为非零实数，
∴
故答案为：
【点拨】本题考查了一元二次方程根的定义和整体代入的方法，熟练掌握整体代入的
方法是解题的关键．
22．1
【分析】
根据题意，
，变形代入计算即可．
解：∵
，
是方程
的两根，
∴
，
∴
=
=1，
故答案为：1．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根即使得一元二次方程左右两边相等的未知数的
值，利用定义变形代入计算是解题的关键．
23．0
【分析】
由a、b 是关于一元二次方程
的两实数根，可得出a2-a=-
m、b2-b=-
m，根据定义新运算的定义式，将b*b-a*a 展开，代入数据即可得出结论．
解：∵a、b 是关于一元二次方程
的两实数根，
∴a2-a=-
m，b2-b=-
m，
∴b*b-a*a=b（b-1）-a（a-1）=b2-b-（a2-a）=-
m-（-
m）=0．
故答案为：0．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解以及实数的运算，根据一元二次方程的解找出
a2-a=-
m，b2-b=-
m，是解题的关键．
24．
【分析】
利用新定义得到“天宫”方程的一个解为
，则
，然后利用整体代
入的方法计算．
解：∵关于x 的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，
∴“天宫”方程的一个解为
，
方程
是“天宫”方程，
，
，
，
，
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值
是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算是解决本题的关键．
25．（1）
且
；（2）9
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件进行求解即可；
（2）把
代入
中得到
，再由
进行求
解即可．
解：（1）∵方程
是关于x 的一元二次方程，
∴
，
∴
且
；
（2）∵
是方程
的一个根，
∴
，即
∴
．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，二次根式有意义
的条件，完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的相关知识．
26．（1）
；（2）
；（3）
【分析】
（1）利用边长的平方的4 倍为25 列出一元二次方程即可；
（2）用未知数表示出矩形的长和宽后利用长乘以宽等于面积列出一元二次方程即可；
（3）根据使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，列方程即可．
解：（1）依题意得，4x2＝25，
化为一元二次方程的一般形式得，4x2−25＝0．
（2）依题意得，x（x−2）＝100，
化为一元二次方程的一般形式得，x2−2x−100＝0．
（3）依题意得，
，
化为一元二次方程的一般形式得，
．
【点拨】本题考查了根据实际问题列出一元二次方程的知识，列一元二次方程的关键
是找到实际问题中的相等关系．
27．0．
【分析】
根据二次根式的被开方数是非负数求得a、c 的值，再把
代入已知方程求得b 的
值，最后代入，计算求出结果即可．
解：
中，
∵
且
，
解得：
，
∴
，
∵关于的一元二次方
有一个根为
，
∴
，
∴
，
∴
．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解，二次根式有意义的条件，求出a、c、b 的值
是解此题的关键．
28．证明见分析.
解：根据一元二次方程的定义，只需证明此方程的二次项系数a2-8a+20 不等于0 即可．
试题解析：∵a2−8a+20=(a−4)2+4⩾4，
∴无论a 取何值，a2−8a+20⩾4，即无论a 取何值，原方程的二次项系数都
不会等于0，
∴关于x 的方程(a2−8a+20)x2+2ax+1=0，无论a 取何值，该方程都是一元二
次方程．
