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第21章 一元二次方程 （基础卷）
一．选择题（每小题3分，共24分）
1.下列方程中，一元二次方程共有（ ）
①3x2＋x＝20 ②2x2﹣3xy＋4＝0 ③x2﹣x＝1 ④x2＝1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】3x2＋x＝20，是一元二次方程，
2x2﹣3xy＋4＝0，方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，
x2﹣x＝1，是一元二次方程，
x2＝1，是一元二次方程，
一元二次方程共有3个，
故选：C．
2.一元二次方程 配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
，
，
，
故选C．
3.方程x（x﹣5）＝x﹣5的根是（ ）
A．x＝5 B．x＝0 C．x＝5，x＝0 D．x＝5，x＝1
1 2 1 2
【答案】D
【解析】解：∵x（x﹣5）﹣（x﹣5）＝0，
∴（x﹣5）（x﹣1）＝0，
则x﹣5＝0或x﹣1＝0，
解得x＝5或x＝1，
故选：D．4.已知a、b是一元二次方程x2-3x-1=0的两实数根，则 =（ ）
A．3 B．-3 C． D．-
【答案】B
【解析】解：∵a、b是一元二次方程x2-3x-1=0的两实数根，
∴a+b=3，ab=-1，
∴ = ．
故选B．
5.某中学有一块长 ，宽 的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方
案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为 ，则可列方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意得到等量关系：空白区域的面积= 矩形空地的面积，代入x得：
故选：B．
6. 若关于x的方程x2﹣4x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣4 B．m＞﹣4 C．m＜4D．m＞4
【答案】D
【解析】由方程没有实数根，得到根的判别式的值小于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可
得到m的范围：
∵△=（﹣4）2﹣4m=16﹣4m＜0，∴m＞4．故选D．
7.一元二次方程 的两个根为 ，则 的值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】D
【解析】 为一元二次方程 的根，
，
．
根据题意得 ， ，
．
故选：D．
8.若a≠b，且 则 的值为（ ）
A． B．1 C．.4 D．3
【答案】B
【解析】解：由 得：
∴
又由 可以将a，b看做是方程 的两个根
∴a+b=4，ab=1
∴
故答案为B.
二．填空题（每小题2分，共16分）
9.关于x的方程 的一个根是 ，则它的另一个根 ________．
【答案】-1
【解析】解：∵关于x的方程 的两根之积为： ，∴ ，∵ ，∴ ，解得： ．
故答案为：-1．
10.已知关于x的一元二次方程有一个根是0，另一个根是 ．请你写出一个符合条件的一元二次方程
____________________．
【答案】
【解析】解：∵关于x的一元二次方程有一个根是0，另一个根是 ，
∴可以将一元二次方程写成 即 ，
故故答案为：
11.已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程 的一个根，这个三角形的周长是____．
【答案】21
【解析】解：（x-4）（x-6）=0，
∴x=4，x=6，
1 2
因为等腰三角形的底边长是9，
所以腰长只能是6，周长=9+6+6=21．
故答案是：21．
12.一元二次方程 配方为 ，则k的值是______．
【答案】１
【解析】解： ， ，
；∴
故答案为：1．
13.若 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是_________．
【答案】2018
【解析】解：∵ ， 是一元二次方程 的两个实数根，
∴
∴
∵ ， 是一元二次方程 的两个实数根，∴ ，
∴
故答案为：2018．
14.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是__________．
【答案】 且
【解析】 关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
，
，且
解得 且
故答案为： 且
答案为： ．
15.圣诞节时，某班一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则可列方
程为_____．
【答案】x（x﹣1）＝110
【解析】设这个小组有x人，则每人应送出x−1张贺卡，由题意得：
x(x−1)＝110，
故答案为x(x−1)＝110.
16.t是实数，若a，b是关于x的一元二次方程x2－2x＋t－1=0的两个非负实根，则(a2－1)(b2－1)的最小值
是____．
【答案】-3
【解析】∵a，b是关于x的一元二次方程x2-2x+t-1=0的两个非负实根，
∴可得a+b=2，ab=t-1≥0，∴t≥1，
又△=4-4（t-1）≥0，可得t≤2，∴2≥t≥1，
又（a2-1）（b2-1）=（ab）2-（a2+b2）+1=（ab）2-（a+b）2+2ab+1，
∴（a2-1）（b2-1）=（t-1）2-4+2（t-1）+1=t2-4，
又∵2≥t≥1，∴0≥t2-4≥-3，
故答案为-3．
三．解答题（共60分）
17.（6分）解方程：
（1） ； （2）
．【答案】（1）x=5，x=-1；（2） .
1 2
【解析】（1）x2-4x-5=0，
分解因式得：（x-5）（x+1）=0，
x-5=0，x+1=0，
x=5，x=-1；
1 2
（2）2x2-2x-1=0，
a=2，b=-2，c=-1，
△=b2-4ac=（-2）2-4×2×（-1）=12＞0，
方程有两个不相等实数根 ，
.
18.（8分）已知关于x的一元二次方程 .
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为 ， ，且 ，求m的值．
【答案】（1）证明见解析（2）1或2
【解析】（1）证明：∵ ，∴△=[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）
2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵ ，方程的两实根为 ， ，且 ，∴ ，
，∴ ，∴（m﹣3）2﹣3×（﹣m）=7，解得，m=1，m=2，即m的值是1或
1 2
2．
19.（8分）如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大
小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.
【解析】解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．
根据题意得 （100﹣4x）x=400，解得 x=20，x=5．
1 2
则100﹣4x=20或100﹣4x=80．
∵80＞25，
∴x=5舍去．
2
即AB=20，BC=20．
故羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．
20.（8分）已知x，x 是关于x的方程x2+2（m-2）x+m2+4=0的两个根，是否存在实数m，使x2+x2-
1 2 1 2
xx=21成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
1 2
【答案】存在．m=-1．
【解析】解：存在．
∵△=[-2（m-2）]2-4（m2+4）≥0，
∴m≤0，
根据根与系数的关系得x+x=-2（m-2），xx=m2+4，
1 2 1 2
∵x2+x2-xx=21，
1 2 1 2
∴（x+x）2-2xx-xx=21，即（x+x）2-3xx=21，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
∴[-2（m-2）]2-3（m2+4）=21，
整理得m2-16m-17=0，解得m=17，m=-1，
1 2
而m≤0，
∴m=-1．
21.（10分）阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式 的最小值.方法如下：
∵ ，由 ，得 ；
∴代数式 的最小值是4.
（1）仿照上述方法求代数式 的最小值.（2）代数式 有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值.
【答案】（1） ；（2）有最大值，最大值为32.
【解析】解：（1）∵ ，由 ，
得 ；
∴代数式 的最小值是 ；
（2） ，
∵ ，
∴ ，
∴代数式 有最大值，最大值为32.
22.（10分）著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年
五一长假期间，接待游客将达28.8万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期
间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售
300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．
(1)求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；
(2)为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家
才能实现每天利润6300元？
【答案】(1)年平均增长率为20%；(2)每碗售价定为20元时，每天利润为6300元.
【解析】（1）解：设平均增长率为 ，
则 ，
解得： ， (舍)，
答：年平均增长率为20%；
（2）设每碗售价定为 元时，每天利润为6300元，
，
解得： ， ，∵每碗售价不超过20元，所以 ．
23.（10分）先阅读下面的内容，再解决问题．
对于形如x2+2xa+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式
x2+2xa﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2xa﹣3a2中先加上一项a2，使它与
x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变．于是有x2+2xa﹣3a2＝（x2+2xa+a2）﹣a2
﹣3a2＝（x+a）2﹣4a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）像这样，先添一适当项，使式中出现完全平
方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题：
（1）分解因式a2﹣8a+15；
（2）若 ；
①当a，b，m满足条件：2a×4b＝8m时，直接写出m的值为 ；
②若△ABC的三边长是a、b、c，且c为奇数，求△ABC的周长．
【答案】（1）（a﹣3）（a﹣5）；（2）①5；②16或18或20
【解析】解：（1）a2﹣8a+15＝a2﹣8a+16﹣1＝（a﹣4）2﹣12＝（a﹣3）（a﹣5）
（2）∵ ；
∴（a2﹣14a+49）+（b2﹣8b+16）+| m﹣c|＝0
∴（a﹣7）2+（b﹣4）2+| m﹣c|＝0∴a﹣7＝0，b﹣4＝0∴a＝7，b＝4
∵2a×4b＝8m，∴27×44＝8m，∴27×28＝23m时，∴215＝23m，∴15＝3m，∴m＝5；
故答案为：5．
②由①知，a＝7，b＝4，∵△ABC的三边长是a，b，c，∴3＜c＜11，
又∵c边的长为奇数，∴c＝5，7，9，
当a＝7，b＝4，c＝5时，△ABC的周长是：7+4+5＝16，
当a＝7，b＝4，c＝7时，△ABC的周长是：7+4+7＝18，
当a＝7，b＝4，c＝9时，△ABC的周长是：7+4+9＝20．
