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专题21.16 一元二次方程根与系数关系（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
类型一、由根与系数关系直接求值
1．若
、
是一元二次方程
的两个根，则
的值是（ ）
A．6
B．9
C．12
D．13
2．已知m，n 是一元二次方程
的两个实数根，则代数式
的值等于（ ）.
A．
B．
C．
D．
3．已知x1，x2是一元二次方程2x2－3x＝5 的两个实数根，下列结论错误的是（ ）
A．2
－3x1＝5
B．（x1－x2）（2x1＋2x2－3）＝0
C．x1＋x2＝
D．x1x2＝
类型二、由根与系数关系求参数的值
4．若m，n 是方程x2－x－2 022＝0 的两个根，则代数式（m2－2m－2 022）（－n2＋
2n＋2 022）的值为（ ）
A．2 023
B．2 022
C．2 021
D．2 020
5．关于x 的方程
有两个不相等的实数根
，
，则下列结
论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．当
时，
D．当
时，
6．已知a，b，4 是等腰三角形的三边长，且a，b 是关于x 的方程
的
两个实数根，则m 的值是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
类型三、根的判断别与根与系数关系综合
7．关于x 的方程
的两个实数根分别为
和
，且
，则
k 的值是（ ）
A．－3
B．
C．－2
D．
8．已知关于x 的一元二次方程
有实数根，设此方程得一个实数根为t，
令
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若a、b 是关于x 的一元二次方程x2
kx＋4k
0 的两个实数根，且a2＋b2＝12，则
k 的值是（ ）
A．
B．3
C．
或3
D．
或1
类型四、根与系数关系拓展应用
10．已知关于x 的一元二次方程
有两个不相等的实数根x1，x2．
若
，则m 的值是（ ）
A．2
B．﹣1
C．2 或﹣1
D．不存在
11．关于x 的方程
（m 为常数）的根的情况，下列说法正确的是
（ ）
A．一正根，一负根 B．两个正根
C．两个负根
D．无实数根
12．已知关于x 的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 与cx2＋bx＋a＝0，且ac≠0，a≠c．下列
说法正确的是（ ）
A．若方程ax2＋bx＋c＝0 有两个相等的实数根，则方程cx2＋bx＋a＝0 没有实数根
B．若方程ax2＋bx＋c＝0 的两根符号相同，则方程cx2＋bx＋a＝0 的两根符号也相同
C．若5 是方程ax2＋bx＋c＝0 的一个根，则5 也是方程cx2＋bx＋a＝0 的一个根
D．若方程ax2＋bx＋c＝0 和方程cx2＋bx＋a＝0 有一个相同的根，则这个根必是x＝
1．
二、填空题
类型一、由根与系数关系直接求值
13．设a、b 是方程
的两实数根，则
______．
14．若m，n 是关于x 的方程x2-3x-3＝0 的两根，则代数式m2+n2-2mn＝_____．
15．已知x1，x2是一元二次方程x2
3
﹣x
2
﹣＝0 的两根，则
为_____．
类型二、由根与系数关系求参数的值
16．已知实数、满足
，若关于的一元二次方程
的两
个实数根分别为
、
，则
＋
－
的值为_____________．
17．已知关于x 的一元二次方程
的实数根
，满足
，则m 的取值范围是_________．
18．已知
是关于的一元二次方程
的两实根，且
，则的值是____．
类型三、根的判断别与根与系数关系综合
19．已知关于的一元二次方程
有两个实数根
和
．若
之间关系满足
，则
的值为__________．
20．已知一组正整数2，m，3，n，3，2 的众数是2，且m，n 是一元二次方程x2﹣
7x+k＝0 的两个根，则这组数据的中位数是 _____．
21．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列结论：①若方程两根为-1 和2，则
2a+c=0；②若b＞a+c，则方程有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则方程有两个不相
等的实数根；④若m 是方程的一个根，则一定有b2-4ac=（2am+b）
2成立．其中结论正确
的序号是__________．
类型四、根与系数关系拓展应用
22．关于x 的一元二次方程
的两实数根
，满足
，则
的值是___________．
23．如果关于x 的方程
有两个相等的正实数根，那么m 的值为
____________．
24．关于x 的一元二次方程（m
1
﹣）x2+（m2
4
﹣）x+m+5＝0 的两个实数根互为相反数，
则m 等于 _____．
三、解答题
25．（1）不解方程，判别关于x 的一元二次方程x－(2m+1)x+m(m+1)=0 的根的情况；
（2）在Rt△ABC 中，斜边AB=
，直角边BC、AC 的长是（1）中方程的两个不相
等的实数根，求m 的值．
26．已知关于x、y 的方程组
有两组不同的实数解：
和
，
求：
(1)实数b 的取值范围．
(2)
的值．
27．已知关于x 的一元二次方程
有实数根．
(1)求m 的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根为
，且
，求m 的值．
28．已知关于的方程
．
(1)求证：取任何实数，方程总有实数根；
(2)若直角三角形
的一边长为4，另两边m，n 的长恰好是这个方程的两个根，求
的值．
参考答案
1．D
【分析】
根据一元二次方程的根与系数的关系得
，再根据一元二次方程的解的意义得
，即
，再把
代入计算即可．
解：∵
、
是一元二次方程
的两个根，
∴
，
，
∴
，
∴
．
故选D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解的意义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次
方程根与系数的关系是解本题的关键．
2．D
【分析】
利用一元二次方程的根及根与系数的关系可得出m2+2m=2022，m+n=-2，再将其代入
m2+4m+2n=（m2+2m）+2（m+n）中即可求出结论．
解：∵m，n 是一元二次方程
的两个实数根，
∴m2+2m=2022，m+n=-2，
∴m2+4m+2n=（m2+2m）+2（m+n）=2022+2×（-2）=2018，
故选D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，利用一元二次方程的根
及根与系数的关系找出“m2+2m=-2022，m+n=-2”是解题的关键．
3．D
【分析】
根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的
关系逐一进行分析即可．
解：∵x1、x2是一元二次方程2x2-3x=5 的两个实数根，
∴
，故A 正确，不符合题意；
这里a=2，b=-3，c=-5，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，故B、C 正确，不符合题意，D 错误，符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握根与系数
的关系
，
，是解题的关键．
4．B
解：∵m、n 是方程x2-x-2022=0 的两个根，
∴m2-m-2022=0，n2-n-2022=0，mn=-2022，
∴m2-m=2022，n2-n=2022，
∴（m2－2m－2 022）（－n2＋2n＋2 022）
=（m2-m-m-2022）(-(n2-n)+n+2022)
=(2022-m-2022)((-2022+n+2022)
=-mn
=2022，
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程根与系数的关系，能根
据已知条件得出m2-m-2022=0，n2-n-2022=0，mn=-2022 是解此题的关键．
5．C
【分析】
将原式整理为一元二次方程的一般式，根据关于x 的方程(x−2)(x−3)=m 有两个不相等
的实数根，运用根的判别式可判断A 选项；运用根于系数的关系可判断选项B；运用求根
公式可判断选项C、D．
解：(x−2)(x−3)=m 整理为x2−5x+6−m=0，
A、∵关于x 的方程(x−2)(x−3)=m 有两个不相等的实数根，
∴b2−4ac＞0，即(−5)2−4×1×(6−m)＞0，
解得：m＞
，故此选项正确，不符合题意；
B、根据根于系数的关系可得：x1+x2=
，
∴
，故此选项正确，不符合题意；
C、当m>0 时，
，
，
∴当m>0 时，x1<2<3<x2，故此选项错误，符合题意；
D、由C 可知此选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，
解题的关键是熟知根的判别式以及根与系数的关系．
6．D
【分析】
分两种情况讨论，①当4 为底时，a、b 为腰，②当4 为腰时，则a 为腰，b 为底或a 为
底，b 为腰，再结合一元二次方程根与系数的关系分别求解即可．
解：由题意得：
，
，
∵，，4 是等腰三角形的三边长，
①当4 为底时，则、
为腰，
∴
，
又∵a，b 是关于x 的方程
的两个实数根，
则
，
∴
，
∴
，
∴
；
②当4 为腰，则a 为腰，b 为底或a 为底，b 为腰，
当a 为腰，b 为底时，
则a=4，b=2，
；
当a 为底，b 为腰时，
则a=2，b=4，
同理得出：
，
综上，
或
．
故选：D．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系；解题的关键
是根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边的关系是解题的关键．
7．A
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
解：由题意得：
，
∵
，
∴
，即
，
解得：
，
∵
，即
，
∴当
时，
，所以不符合题意；
∴
，
故选A．
【点拨】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握一元二
次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键．
8．B
【分析】
由一元二次方程根的判别式先求解
再利用根与系数的关系可得
从而
可得
再利用不等式的性质可得答案．
解：
关于x 的一元二次方程
有实数根，
解得：
设方程的两根分别为
解得：
即
故选B
【点拨】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一次函数的性质，
不等式的性质，熟练的运用一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是解本题的关键．
9．A
【分析】
先根据a、b 是关于x 的一元二次方程x2
kx＋4k
0 的两个实数根，求出
≥0，由一元二次方程根与系数关系得到a＋b＝2k，ab＝4k，利用a2＋b2＝12，
求出k 的值，再代入
验证即可．
解：∵a、b 是关于x 的一元二次方程x2
kx＋4k
0 的两个实数根，
∴
a＋b＝2k，ab＝4k
∴
＝12
解得
，
当
时，
∴
符合题意，
当
时，
∴
不符合题意，应舍去，
综上，k 的值是﹣1．
故选：A
【点拨】此题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是一
元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝
，x1x2＝
．
10．A
【分析】
先由二次项系数非零及根的判别式
，得出关于m 的不等式组，解之得出m 的取值
范围，再根据根与系数的关系可得出
，
，结合
，即可求
出m 的值．
解：∵关于x 的一元二次方程mx2−(m+2)x+
=0 有两个不相等的实数根x1、x2，
∴
，
解得：m>−1 且m≠0，
∵x1、x2是方程mx2−(m+2)x+
=0 的两个实数根，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴m=2 或−1，
∵m>−1，
∴m=2．
故选：A．
【点拨】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的
关键是：(1)根据二次项系数非零及根的判别式
，找出关于m 的不等式组；(2)牢记
，
．
11．A
【分析】
先把方程
化为x2+x−2−m2=0，再根据判别式
，知该
方程有两个不相等的实数根，再由两根的积为
即可得出结论．
解：∵关于x 的方程(x−1)(x+2)-m2=0(m 为常数)，
∴x2+x−2−m2=0，
∵
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∵两根的积为
，
∴此方程的两个根中一个正根，一个负根，
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系：若x1，x2 分别是一元
二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，则
，
．
12．B
【分析】
根据一元二次方程的解、根的判别式、根与系数的关系进行判断即可得到答案．
解：
方程ax2＋bx＋c＝0 有两个相等的实数根
方程cx2＋bx＋a＝0 有两个相等的实数根
故A 选项错误；
方程ax2＋bx＋c＝0 的两根符号相同
方程cx2＋bx＋a＝0 的两根符号也相同
故B 选项正确；
5 是方程ax2＋bx＋c＝0 的一个根
若5 是方程cx2＋bx＋a＝0 的一个根
a ≠c
故C 选项错误；
若方程ax2＋bx＋c＝0 和方程cx2＋bx＋a＝0 有一个相同的根为
则
作差得，
a ≠c
故D 选项错误．
故选：B．
【点拨】本题考查一元二次方程的解、根的判别式、根与系数的关系，正确理解题意
是解题的关键．
13．2022
【分析】
先根据一元二次方程的根的定义可得
，从而可得
，
，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得
，从而可得
，然
后代入计算即可得．
解：
是
的两实数根，
，
，
，
，
，
则
，
故答案为：2022．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握
一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
14．21
【分析】
先根据根与系数的关系得到m+n＝3，mn＝﹣3，再根据完全平方公式变形得到m2+n2
2
﹣mn＝（m+n）
2
4
﹣mn，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵m，n 是关于x 的方程x2-3x-3＝0 的两根，
∴m+n＝3，mn＝﹣3，
∴m2+n2
2
﹣mn＝（m+n）
2
4
﹣mn＝32
4×
﹣
（﹣3）＝21．
故答案为：21．
【点拨】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）
的两根时，x1+x2
，x1x2
．
15．
【分析】
由一元二次方程根与系数的关系解题：
．
解：一元二次方程x2
3
﹣x－2＝0，
∵a=1，b=−3，c=－2，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握相关知识是解题关键．
16．5
【分析】
根据非负数的性质得出a=2，b=3，根据根与系数的关系可得x1+x2=2，x1•x2=3，整体代
入即可求得．
解：∵实数a、b 满足
，
∴a=2，b=-3，
∵关于x 的一元二次方程x2-ax+b=0 的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2=a=2，x1•x2=b=-3，
∴
，
故答案为：5．
【点拨】本题考查了非负数的性质以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的
关系，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．
17．
【分析】
根据根的判别式Δ≥0、根与系数的关系列出关于m 的不等式组，通过解该不等式组，
求得m 的取值范围．
解：由题意得：
，
所以
，
依题意得：
，
解得4＜m≤5．
故答案是：4＜m≤5．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m
的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c 为常数，a≠0）①当b2-4ac＞0 时，
一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2-4ac=0 时，一元二次方程有两个相等的实数
根，③当b2-4ac＜0 时，一元二次方程没有实数根．
18．
【分析】
由
是关于的一元二次方程
的两实根，可得
代入
，再解方程求解
再求解的取值范围，
从而可得答案．
解：
是关于
的一元二次方程
的两实根，
整理得：
即
解得：
所以
故答案为：
【点拨】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，一
元二次方程的解法，易错点是求解后不注意检验方程是否有根．
19．
【分析】
把x1
2-x2
2=0 分解因式，确定两个根之间的关系后，根据根的判别式计算即可．
解：∵关于x 的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2=0 有两个实数根x1和x2，
∴b2-4ac=(2m-1)2−4m2≥0，
解得：m≤
，
∵x1
2-x2
2=0，
∴（x1+x2）（x1-x2）=0，
∴x1-x2=0 或x1+x2=0，
当x1+x2=0 时，-（2m-1）=0，解得：m=
（舍去），
当x1-x2=0 时，b2-4ac=(2m-1)2−4m2=0，解得：m=
，
综上所述，m 的值为：
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系，根与系数的关系定理，解题
的关键是熟记根的判别式和根与系数关系定理．
20．
【分析】
根据众数的概念以及一元二次方程根与系数关系即可得到m，n 的值，进而按照中位
数的求法求解即可．
解：
一组正整数2，m，3，n，3，2 的众数是2，
中至少有一个是2，
m，n 是一元二次方程x2
7
﹣x+k＝0 的两个根，
，
综上所述，
或
，
这组数据是2，2，3，5，3，2 或2，5，3，2，3，2，则将他们按照从小到大顺
序排列为：2，2，2，3，3，5，从而可知这组数据的中位数是
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查统计中众数与中位数的求解，涉及到一元二次方程根与系数关系，
熟练掌握这些知识点求解问题是解题的关键．
21．①③④
【分析】
利用根与系数的关系判断①；由Δ=b2-4ac 判断②；由判别式可判断③；将x=m 代入方
程得am2=-（bm+c），再代入=（2am+b）
2变形可判断④．
解：若方程两根为-1 和2，则
=-1×2=-2，即c=-2a，2a+c=2a-2a=0，故①正确；
由b＞a+c 不能判断Δ=b2-4ac 值的大小情况，故②错误；
若b=2a+3c，则Δ=b2-4ac=4（a+c）
2+5c2＞0，一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不
相等的实数根，故③正确．
若m 是方程ax2+bx+c=0 的一个根，所以有am2+bm+c=0，即am2=-（bm+c），
而（2am+b）
2=4a2m2+4abm+b2
=4a[-（bm+c）]+4abm+b2
=4abm-4abm-4ac+b2
=b2-4ac．故④正确；
故答案为：①③④．
【点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系及根的判别式
Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当
Δ＜0，方程没有实数根．
22．32
【分析】
由题意得b2-4ac≥0，求出m≥0，再根据根与系数的关系，得m=2，最后把
化简为(x1x2)2 +2(x1+x2)2-4x1.x2+4，即可得答案．
解：由题意得b2-4ac=(2m)2 -4(m2 -m)≥0，
∴m≥0，
∵关于x 的一元二次方程x2+2mx+m2-m=0 的两实数根x1，x2，x1x2=2，
∴x1+x2=-2m，x1·x2=m2-m=2，
∴m2 -m-2=0，
解得：m=2 或m=-1(舍去)，
∴x1+x2=-4，
=(x1x2)2 +2(x1+x2)2-4x1.x2+4，
=22+2×(-4)2-4×2+4
=32．
【点拨】本题考查了根据根与系数的关系，解题的关键是掌握x1+x2=
，x1x2=
．
23．4
【分析】
根据一元二次方程根的判别式即可求得
或
，再根据方程有两个相等的正实
数根，可知两根之和为正数，据此即可解答．
解：
关于x 的方程
有两个相等的实数根
解得
或
又
关于x 的方程
有两个相等的正实数根
两根之和为正数，即
，解得
故
故答案为：4
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握和运用一
元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解决本题的关键解．
24．-2
【分析】
设方程的两个实数根是a，b，根据根与系数的关系及相反数定义得到a+b
0，求出m，再根据一元二次方程的定义以及根的判别式判断即可．
解：设方程的两个实数根是a，b，
∵一元二次方程（m
1
﹣）x2+（m2
4
﹣）x+m+5＝0 的两个实数根互为相反数，
由根与系数的关系得：a+b
0，且m
1≠0
﹣
，
∴m＝±2，
由题意，Δ＝（m2
4
﹣）
2
4
﹣（m
1
﹣）（m+5）≥0，
当m＝2 时，Δ＜0，舍去，
当m＝﹣2 时，Δ＞0，符合题意，
即m=
2
﹣．
故答案为：﹣2．
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，定义以及根的判别式判断，分情
况讨论解决本题是关键.
25．（1）关于x 的一元二次方程x-(2m+1)x+m(m+1)=0 有两个不相等的实数根
（2）m=4 或-5
【分析】
（1）先根据题意求出
的值，再根据一元二次方程根的情况与根的判别式的关系即可
得出答案．
（2）设直角边BC．AC 的长是（1）中方程的两个不相等的实数根分别为x1．x2，根
据韦达定理得到两根之积与两根之和，再求出
即可解题．
解：（1）
=[-(2m+1)]-4×1×m(m+1)=1＞0，
∴关于x 的一元二次方程x-(2m+1)x+m(m+1)=0 有两个不相等的实数根；
（2）设直角边BC．AC 的长是（1）中方程的两个不相等的实数根分别为x1．x2，
由韦达定理得：x1+x2=2m+1，x1x2= m(m+1)，
由题意可知：（x1+x2）-2 x1x2=（
）
即（2m+1）-2×m(m+1)=41，
化简解得：m=4 或-5
【点拨】本题考察了根的判别式，一元二次方程根的情况与根的判别式之间的关系．
熟练掌握
方程有两个不相等的；
实数根方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根是解题的关键．
26．(1)b<5； (2)−4．
【分析】
(1)根据判别式大于零即可求出b 的取值范围；
(2)根据根与系数的关系即可求出y1+y2+b(x1+x2)的值．
解：(1)由关于x、y 的方程组
，
得2x+b=4−x2，即x2+2x+b−4=0．
∵方程组有两组实数解，
=2
∴△
2−4(b−4)>0，
解得：b<5；
(2)由(1)知，x2+2x+b−4=0，则x1+x2=−2．
由2x−y+b=0，得
y=2x+b．
则y1+y2=2x1+b+2x2+b=2(x1+x2)+2b=−4+2b．
所以y1+y2+b(x1+x2)=−4+2b−2b=−4．
【点拨】本题考查了二元一次方程组与一元二次方程的综合应用，熟练掌握代入法、
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题关键．
27．(1)
(2)
【分析】
(1)根据判别式
计算即可．
(2)利用根与系数关系定理计算即可．
(1)∵关于x 的一元二次方程
有实数根，
∴
，
解得：
．
(2)方程
的两个实数根为
、
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
即
，
解得：
．
【点拨】本题考查了根的判别式，根与系数关系定理，熟练掌握判别式和根与系数关
系定理是解题的关键．
28．(1)证明见分析 (2)
或
【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式判断即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系和求根公式计算求值即可；
(1)证明：∵
∴无论取任何实数，方程总有实数根；
(2)解：∵
，
，
∴
；
当斜边长为4 时，
即
，
∴
，
解得：
，或
（舍去）；
k＞2 时方程
的根为：
，
当直角边长为4，斜边为m 时，
，
，
即
∴
，
解得：
，或
（舍去）；
当直角边长为4，斜边为n 时，
，
，
同理可得：
，或
（舍去）；
综上，
或
．
【点拨】本题考查了一元二次方程
根的判别式
；求根
公式
；根与系数的关系
，
；勾股定理．
