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《三角形》全章复习与巩固（提高）知识讲解
责编：杜少波
【学习目标】
1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系.
2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学
生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．
3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.
4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有
稳定性在生产、生活中的广泛应用．
5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外
角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步
培养说理和进行简单推理的能力.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、三角形的有关概念和性质
1.三角形三边的关系：
定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.
要点诠释：
（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组
成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反
之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
2.三角形按“边”分类：
不等边三角形
三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
3.三角形的重要线段：
（1）三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形
的高线，简称三角形的高．
要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点
在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.
（2）三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，
要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把
三角形分成面积相等的两个三角形.
（3）三角形的角平分线
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫
做三角形的角平分线.
要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的
内心.
要点二、三角形的稳定性
如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的
稳定性．
要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边
长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结
构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏
门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，
也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边
形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如
在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．
要点三、三角形的内角和与外角和
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
推论：1.直角三角形的两个锐角互余
2.有两个角互余的三角形是直角三角形
2.三角形外角性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.
要点四、多边形及有关概念
1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n 条边就叫做n 边形．三角形、四边形都
属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.
2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正
五边形等．
要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都
相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都
相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.
3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
要点诠释：(1)从n 边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；
(2)n 边形共有
(
3)
2
n n
条对角线．
要点五、多边形的内角和及外角和公式
1.内角和公式：n 边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n 是正整数) ．
要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；
(2)内角和定理的应用：
①已知多边形的边数，求其内角和；
②已知多边形内角和，求其边数.
2.多边形外角和：n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
要点诠释：(1)外角和公式的应用：
①已知外角度数，求正多边形边数；
②已知正多边形边数，求外角度数.
(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：
①n 边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与
边数n 有关，每增加1 条边，内角和增加180°.
要点六、镶嵌的概念和特征
1.定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边
形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同.
要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.
(2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和
为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在
一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正
六边形的地砖可以用.
【典型例题】
类型一、三角形的三边关系
1. （2016•长沙模拟）一个三角形的三边长分别是3，2a-1，6,则整数a 的值可能是 (
)．
A．2,3 B．3,4 C．2,3，4 D．3,4，5
【思路点拨】直接利用三角形三边关系，得出a 的取值范围.
【答案】B
【解析】解：∵一个三角形的三条边长分别为3，2a-1，6,
∴
解得：2＜a＜5，
则整数a 的值可能是3,4，故选B.
【总结升华】主要考察了三角形三边关系，正确得出a 的取值范围是解题关键.
举一反三：
【变式】（2014 秋•孝感月考）已知a、b、c 是三角形三边长，试化简：|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-
b|﹣|a-b+c|．
【答案】解：∵a、b、c 是三角形三边长，
∴b+c-a＞0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，a-b+c＞0，
∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|，
=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c
=2b．
2.如图，O 是△ABC 内一点，连接OB 和OC．
(1)你能说明OB+OC＜AB+AC 的理由吗?
(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC 的取值范围吗?
【答案与解析】
解：(1)如图，延长BO 交AC 于点E，根据三角形的三边关系可以得到，
在△ABE 中，AB+AE＞BE；
在△EOC 中，OE+EC＞OC，
两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．
由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．
所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．
(2)因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．
又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．
【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．
【高清课堂：与三角形有关的线段 例1】
类型二、三角形中的重要线段
3.在△ABC 中，AB＝AC，AC 边上的中线BD 把△ABC 的周长分为12cm 和15cm 两部分，求
三角形的各边长．
【思路点拨】因为中线BD 的端点D 是AC 边的中点，所以AD＝CD，造成两部分不等的原因是BC
边与AB、AC 边不等，故应分类讨论．
【答案与解析】
解：如图(1)，设AB＝x，AD＝CD＝1
2 x ．
(1)若AB+AD＝12，即
1
12
2
x
x
，所以x＝8，
即AB＝AC＝8，则CD＝4．故BC＝15-4＝11．
此时AB+AC＞BC，所以三边长为8，8，11．
(2)如图(2)，若AB+AD＝15，即
1
15
2
x
x
，所以x＝10．
即AB＝AC＝10，则CD＝5．故BC＝12-5＝7．
显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7．
综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11 或10，10，7．
【总结升华】BD 把△ABC 的周长分为12cm 和15cm 两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问
题中没有交代，因此，必须进行分类讨论．
【高清课堂：与三角形有关的线段 例5、】
举一反三：
【变式】有一块三角形优良品种试验田，现引进四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面
积相等的四块，请你制定出两种以上的方案供选择.
【答案】
解：方案1：如图（1），在BC 上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、AD、AF．
方案2：如图(2)，分别取AB、BC、CA 的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．
方案3：如图(3)，取AB 中点D，连接AD，再取AD 的中点E，连接BE、CE．
方案4：如图(4)，在 AB 取点 D，使DC＝2BD，连接AD，再取AD 的三等分点E、F，连接CE、
CF．
类型三、与三角形有关的角
4.（2015 春•石家庄期末）已知△ABC 中，AE 平分∠BAC
（1）如图1，若AD⊥BC 于点D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE 的度数；
（2）如图2，P 为AE 上一个动点（P 不与A、E 重合，PF⊥BC 于点F，若∠B＞∠C，则∠EPF=
是否成立，并说明理由．
【思路点拨】
（1）利用三角形内角和定理和已知条件直接计算即可；
（2）成立，首先求出∠1 的度数，进而得到∠3 的度数，再根据∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3 计算即
可．
【答案与解析】
证明：（1）如图1，∵∠B=72°，∠C=36°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=72°；
又∵AE 平分∠BAC，
∴∠1=
=36°，
∴∠3=∠1+∠C=72°，
又∵AD⊥BC 于D，
∴∠2=90°，
∴∠DAE=180°﹣∠2﹣∠3=18°．
（2）成立．
如图2，∵AE 平分∠BAC，
∴∠1=
=
=90°﹣
，
∴∠3=∠1+∠C=90°﹣
+
，
又∵PF⊥BC 于F，
∴∠2=90°，
∴∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3=
．
【总结升华】本题考查了三角形的内角以及角平分线的性质，准确识别图形是解题的关键．
举一反三：
【高清课堂：与三角形有关的角 练习（3）】
【变式】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有 对互余的角？有 对相等的锐角？
【答案】3,2．
类型四、三角形的稳定性
5. 如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边
都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且实用，你知道它能收缩的
原因和固定方法吗？
【答案与解析】
解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离。它的固
定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了。
【总结升华】要使物体具有稳定性，应做成三角形，否则做成四边形、五边形等等.
举一反三：
【变式】如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条．那么要使五边形木架不
变形，至少要钉几根木条?使七边形木架不变形，至少要钉几根木条?使n 边形木架不变形．
又至少要钉多少根木条?
【答案】要使五边形木架不变形，至少要钉2 根木条；使七边形木架不变形，至少要钉4 根木
条；使n 边形木架不变形，至少要钉(n-3)根木条．
类型五、多边形内角和及外角和公式
6．某多边形除一个内角α 外，其余内角的和是2750°．求这个多边形的边数．
【思路点拨】由已知条件可知，这个多边形内角和要大于2750°，而因为凸多边形的每一个内
角α 的范围是：0°＜α＜180°，所以2750°加上一个180°又大于内角和，所以本题建立
不等式组来解答.
【答案与解析】
设这个多边形是
边形，则它的内角和是
，
∴ 2750°+0°＜(n-2)×180°＜2750°+180°
∵ n 为正整数，
∴ n=18.
【总结升华】本题是多边形的内角和定理和的综合运用.一般设出边数
，根据条件列出关于
的不等式组，求出
的取值范围，再根据n 取正整数得出正确的值即可.
举一反三
【变式】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数。
【答案】可设多边形的边数为n，某一个外角为α
则(n－2)×180＋α＝1350
从而(n－2)=
因为边数n 为正整数，所以α＝90，n＝9
类型六、多边形对角线公式的运用
7．某校七年级六班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每两个班都进行一次比
赛）.你能算出一共需要进行多少场比赛吗？
【思路点拨】本题体现与体育学科的综合，解题方法参照多边形对角线条数的求法，即多边形
的对角线条数加上边数. 如图：
【答案与解析】共需要比赛
（场）.
【总结升华】对于其他学科问题要善于把它与数学知识联系在一起，便于解决.
举一反三
【变式】一个多边形共有44 条对角线，则多边形的边数是（ ）.
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D；
类型七、镶嵌问题
8．分别画出用相同边长的下列正多边形组合铺满地面的设计图.
(1)正方形和正八边形；
(2)正三角形和正十二边形；
(3)正三角形、正方形和正六边形.
【思路点拨】只要在拼接处各多边形的内角的和能构成一个周角，那么这些多边形就能作平
面镶嵌.
【答案与解析】正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形的每一个内角分别是
60°、90°、120°、135°、150°.
(1)因为90＋2×135＝360，所以一个顶点处有1 个正方形、2 个正八边形，如图(1)所示.
(2)因为60＋2×150＝360，所以一个顶点处有1 个正三角形、2 个正十二边形，如图(2)
所示.
(3)因为60＋2×90＋120＝360，所以一个顶点处有1 个正三角形、1 个正六边形和2 个
正方形，如图(3)所示.
【总结升华】用两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，实质上是相关正多边形“交
接处各角之和能否拼成一个周角”的问题.
