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《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（基础）
【学习目标】
1.了解一元二次方程及有关概念；
2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；
3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、一元二次方程的有关概念
1. 一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二
次方程．
2. 一元二次方程的一般式：
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
要点诠释：
判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其
次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次
数为2.
对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．
要点二、一元二次方程的解法
1．基本思想
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一元二次方程
降次
一元一次方程
2．基本解法
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
要点诠释：
解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解
法，再考虑用公式法．
要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程
)
0
(
0
2
a
c
bx
ax
中，
ac
b
4
2
叫做一元二次方程
)
0
(
0
2
a
c
bx
ax
的
根的判别式，通常用“”来表示，即
ac
b
4
2
（1）当△>0 时，一元二次方程有2 个不相等的实数根；
（2）当△=0 时，一元二次方程有2 个相等的实数根；
（3）当△<0 时，一元二次方程没有实数根.
2.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程
)
0
(
0
2
a
c
bx
ax
的两个实数根是
2
1
x
x ，
，
那么
a
b
x
x
2
1
，
a
c
x
x
2
1
.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
要点诠释：
1.一元二次方程
的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：
(1)不解方程判定方程根的情况；
(2)根据参系数的性质确定根的范围；
(3)解与根有关的证明题．
2. 一元二次方程根与系数的应用很多：
(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
要点四、列一元二次方程解应用题
1.列方程解实际问题的三个重要环节：
一是整体地、系统地审题；
二是把握问题中的等量关系；
三是正确求解方程并检验解的合理性.
2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
3.解决应用题的一般步骤：
审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
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设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；
解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；
答 (写出答案，切忌答非所问).
4.常见应用题型
数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.
要点诠释：
列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际
问题的解决.
【典型例题】
类型一、一元二次方程的有关概念
1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A．
2
2
1
0
x
x
B．
2
0
ax
bx
c
C．(
1)(
2)
1
x
x
D．
2
2
3
2
5
0
x
xy
y
【答案】C；
【解析】A：不是整式方程，故本选项错误；
B：当a=0 时，即ax2+bx+c=0 的二次项系数是0 时，该方程就不是一元二次方程；
故本选项错误；
C：由原方程，得x2+x-3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确；
D：方程3x2-2xy-5y2=0 中含有两个未知数；故本选项错误．故选C．
【总结升华】一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
举一反三：
【变式】关于x 的方程
2
2
(
2
8)
(
2)
1
0
a
a
x
a
x
,
当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程.
【答案】a =4；a ≠4 且a ≠-2.
类型二、一元二次方程的解法
2．用适当的方法解一元二次方程
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(1) 0.5x2-
=0； (2) (x+a)2=
；
(3) 2x2-4x-1=0； (4) (1-
)x2=(1+
)x．
【答案与解析】
(1)原方程可化为0.5x2=
∴x2=
用直接开平方法，得方程的根为
∴x1=
，x2=-
．
(2)原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+
∴x2=
a2
用直接开平方法，得原方程的根为
∴ x1=
a，x2=-
a．
(3) a=2，b=-4，c=-1
b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0
x=
∴x1=
，x2=
.
(4)将方程整理，得(1-
)x2-(1+
)x=0
用因式分解法，得x[(1-
)x-(1+
)]=0
∴ x1=0，x2=-3-2
．
【总结升华】在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用
这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有理数范围内是否能直接因式分解，凡能直接因式
分解的，应首先采取这种方法．公式法是可以解任何类型的一元二次方程，但是计算过程较繁琐，所以只
有选择其他解法不顺利时，才考虑用这种解法．虽然先配方，再开平方的方法也适用于任何类型的一元二
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次方程，但是对系数复杂的一元二次方程，配方的过程比运用公式更繁琐，所以，配方法适用于系数简单
的一元二次方程的求解．
举一反三：
【变式】解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0； (2)2(t-1)2+t＝1.
【答案】
(1)原方程可化为：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴ (3x-2)(3x-2-1)＝0．
∴ 3x-2＝0 或3x-3＝0，∴
1
2
3
x
，
2
1
x
．
(2)原方程可化为：2(t-1)2+(t-1)＝0．
∴ (t-1)[2(t-1)+1]＝0．
∴ (t-1)(2t-1)＝0，∴ t-1＝0 或2t-1＝0．
∴ 1
1
t
，2
1
2
t
．
类型三、一元二次方程根的判别式的应用
3．已知关于x 的一元二次方程（a﹣l）x2﹣2x+l＝0 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（
）
A、a＜2
B、a＞2 C、a＜2 且a≠l
D、a＜﹣2
【答案】C；
【解析】△＝4﹣4（a﹣1）＝8﹣4a＞0
得：a＜2．
又a﹣1≠0
∴a＜2 且a≠1．
故选C．
【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两不等的实数根，得到判别式大于零，
求出a 的取值范围，同时方程是一元二次方程，二次项系数不为零．
类型四、一元二次方程的根与系数的关系
4．已知x1、x2是关于x 的方程
2
2
2
0
x
x
t
的两个不相等的实数根，
（1）求t 的取值范围； （2）设
2
2
1
2
s
x
x
，求s 关于t 的函数关系式．
【答案与解析】
(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即t＜-1．
(2)由一元二次方程根与系数的关系知：
1
2
2
x
x
，
1
2
2
x
x
t
，
从而
2
2
1
2
s
x
x
2
1
2
1
2
(
)
2
x
x
x x
2
2
2(
2)
2
t
t
，即
2 (
1)
s
t t
．
【总结升华】利用根与系数关系求函数解析式综合题.
举一反三：
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【变式】已知关于x 的一元二次方程
2
2
2(1
)
x
m x
m
的两实数根为
1x ，
2x ．
（1）求m 的取值范围；
（2）设
1
2
y
x
x
，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．
【答案】（1）将原方程整理为
2
2
2(
1)
0
x
m
x
m
．
∵ 原方程有两个实数根．
∴
2
2
[2(
1)]
4
8
4
0
m
m
m
△
，∴
1
2
m
．
（2）
1
2
2
2
y
x
x
m
，且
1
2
m
．
因为y 随m 的增大而减小，故当
1
2
m
时，取得最小值1．
类型五、一元二次方程的应用
5．如图所示，在长为10cm，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形
(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．
【答案与解析】
设小正方形的边长为xcm，由题意得4x2＝10×8×(1-80%)．
解得x1＝2，x2＝-2．
经检验，x1＝2 符合题意，x2＝-2 不符合题意舍去．
∴ x＝2．
答：截去的小正方形的边长为2cm．
【总结升华】设小正方形的边长为x cm，因为图中阴影部分面积是原矩形面积的80%，所以4 个小正方形
面积是原矩形面积的20%．
举一反三：
【变式】有一块长方形的土地，如图所示，宽为120m，建筑商把它分成三部分：甲、乙、丙．甲和乙为正方形，
现计划甲建住宅区；乙建商场；丙开辟公园，公园的面积为3200m2，那么这块地长应为多少?
【答案】根据题意可得(x-120)·[120-(x-120)]＝3200，(x-120)(240-x)＝3200，
解得x1＝200，x2＝160．经检验可知，x1＝200，x2＝160 均符合题意．
所以这块地长为200m 或160m．
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6．某旅行社有100 张床位，每床每晚收费10 元，空床可全部租出；若每床每晚提高2 元，则减少10
张床位租出；若每床每晚收费再提高2 元，则再减少10 张床位租出．以每次提高2 元的这种方法变化下去，
为了每晚获得1120 元的利润，每床每晚应提高多少元?
【答案与解析】
设每床每晚提高x 个2 元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，
根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．
整理，得x2-5x+6＝0．
解得，x1＝2，x2＝3．
∴ 当x＝2 时，2x＝4；
当x＝3 时，2x＝6．
答：每床每晚提高4 元或6 元均可．
【总结升华】这是商品经营问题，总利润＝每张床费×床数．可设每床每晚提高x 个2 元，
则床费为(10+2x)元，由于每晚每床提高2 元，出租出去的床位减少10 张，
则出租出去的总床位为(100-10x)张，据此可列方程．
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