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《一元二次方程》全章复习与巩固—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1. 关于x 的一元二次方程（a－1）x2＋x＋|a|－1＝0 的一个根是0，则实数a 的值为（ ）
A.－1
B.0
C.1
D.－1 或1
2．已知a 是方程x2+x﹣1=0 的一个根，则
2
2
2
1
1
a
a
a
的值为（ ）
A. 1
5
2
B. 1
5
2
C.﹣1
D.1
3．若方程式（3x﹣c）2﹣60=0 的两根均为正数，其中c 为整数，则c 的最小值为何？（ ）
A.1
B.8 C.16
D.61
4．已知关于x 的方程
2
(
2)
2
3
0
m
x
mx
m
有实根，则m 的取值范围是（ ）
A．
2
m
B．
6
m
且
2
m
C．
6
m
D．
6
m
5．如果是、是方程
2
2
3
4
x
x
的两个根，则
2
2
的值为（ ）
A．1 B．17 C．6.25 D．0.25
6．在一幅长80 cm,宽50 cm 的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示.如果要
使整个挂图的面积是5 400 cm2,设金色纸边的宽为x cm,那么x 满足的方程是( )
A.x2+130x－1 400=0 B.x2+65x－350=0 C.x2－130x－1 400=0 D.x2－65x－350=0
7. 方程x2+ax+1=0 和x2-x-a=0 有一个公共根，则a 的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
8. 若关于x 的一元二次方程
的两个实数根分别是
，且满足
．
则k 的值为（ ）
A.－1 或
B.－1 C.
D.不存在
二、填空题
9 ．关于x 的方程
2
(
)
0
a x
m
b
的解是x1= －2 ，x2=1 （a ，m ，b 均为常数，a≠0 ），则方程
2
(
2)
0
a x
m
b
的解是 .
10．已知关于x 的方程x2+2(a+1)x+(3a2+4ab+4b2+2)＝0 有实根，则a、b 的值分别为 ．
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11．已知α、β 是一元二次方程
2
4
3
0
x
x
的两实数根，则(α-3)(β-3)＝________．
12．当m_________时，关于x 的方程
是一元二次方程；当m_________时，此方程是一
元一次方程.
13．把一元二次方程3x2-2x-3=0 化成3(x+m)2=n 的形式是____________；若多项式x2-ax+2a-3 是一个完全
平方式，则a=_________.
14．已知
，则
的值等于_________.
15．已知
，那么代数式
的值为________.
16．当x=_________时，
既是最简二次根式，被开方数又相同.
三、解答题
17. 设m为整数，且4＜m＜40，方程
有两个不相等的整数根，
求m的值及方程的根.
18．设(a，b)是一次函数y＝(k-2)x+m 与反比例函数
n
y
x
的图象的交点，且a、b 是关于x 的一元二次方程
2
2(
3)
(
3)
0
kx
k
x
k
的两个不相等的实数根，其中k 为非负整数，m、n 为常数．
（1）求k 的值；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式．
19. 长沙市某楼盘准备以每平方米5000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房
者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050 元的均价
开盘销售．
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)某人准备以开盘均价购买一套100 平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：
①打9.8 折销售；
②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5 元，请问哪种方案更优惠?
20．已知某项工程由甲、乙两队合做12 天可以完成，共需工程费用13 800 元，乙队单独完成这项工程所需
时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2 倍少10 天，且甲队每天的工程费用比乙队多150 元.
(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？
(2)若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应该选
择哪个工程队？请说明理由.
【答案与解析】
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一、选择题
1．【答案】A；
【解析】先把x＝0 代入方程求出a 的值，然后根据二次项系数不能为0，把a＝1 舍去．
2．【答案】D；
【解析】先化简
2
2
2
1
1
a
a
a
，由a 是方程x2+x﹣1=0 的一个根，得a2+a﹣1=0，则a2+a=1，
再整体代入即可．
解：原式= 2
(
1)
(
1)(
1)
a
a
a a
a
=
1
(
1)
a a
，
∵a 是方程x2+x﹣1=0 的一个根，
∴a2+a﹣1=0，
即a2+a=1，
∴原式=
1
(
1)
a a
=1．
故选D．
3．【答案】B；
【解析】利用平方根观念求出x，再根据一元二次方程的两根都为正数，求出c 的最小值即可．
解：（3x﹣c）2﹣60=0 （3x﹣c）2=60
3x﹣c=±
3x=c±
x=
又两根均为正数，且
＞7．
所以整数c 的最小值为8
故选B．
4.【答案】D；
【解析】△≥0 得
6
m
，方程有实根可能是一元二次方程有实根，也可能是一元一次方程有实根.
5．【答案】C；
【解析】
2
2
+
=
+
-
=6.25
2
（
）2
.
6．【答案】B；
【解析】上、下两条金色纸边的面积一样,左、右两条金色纸边的面积一样,
∴2(80+x)·x+2(50+x)·x+80×50=5 400. 整理得x2+65x－350=0.
7．【答案】C；
【解析】提示：先求公共根m=-1,再把这个公共根m=-1 代入原来任意一个方程可求出a=2.
8．【答案】C；
【解析】由题意，得：
2
2
1
2
1
2
1
1
=
1
k
k
k
k
k
x
x
x x
k
4
≤
≥0
4
3
5
当
时，不符合
≤，
舍去，故
3
5
4
或4
.
二、填空题
9．【答案】x1=﹣4，x2=﹣1．
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【解析】解：∵关于x 的方程a（x+m）2+b=0 的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b 均为常数，a≠0），
∴则方程a（x+m+2）2+b=0 的解是x1=﹣2﹣2=﹣4，x2=1﹣2=﹣1．
故答案为：x1=﹣4，x2=﹣1．
10.【答案】a＝1，
1
2
b
．
【解析】 判别式△＝[2(a+1)]2-4(3a2+4ab+4b2+2)
＝4(a2+2a+1)-(12a2+16ab+16b2+8)
＝-8a2-16ab-16b2+8a-4
＝-4(2a2+4ab+4b2-2a+1)
＝-4[(a2+4ab+4b2)+(a2-2a+1)]．
＝-4[(a+2b)2+(a-1)2]．
因为原方程有实根，所以-4[(a+2b)2+(a-1)2]≥0，
(a+2b)2+(a-1)2≤0，
又∵ (a+2b)2≥0，(a-1)2≥0，
∴ a-1＝0 且a+2b＝0，
∴ a＝1，
1
2
b
．
11．【答案】-6；
【解析】∵ α、β 是一元二次方程
2
4
3
0
x
x
的两实数根，
∴ α+β＝4，αβ＝-3．
∴ (
3)(
3)
3(
)
9
3
3 4
9
6
．
12．【答案】-3；
．
13．【答案】
；2 或6.
【解析】即
2
(-
)
2
3
2
a
a
.a=2 或6.
14.【答案】4；
【解析】原方程化简为：（x2+y2）2-2(x2+y2)-8=0,解得x2+y2=-2 或4，-2 不符题意舍去.
15.【答案】-2；
【解析】原方程化为：
.
16.【答案】-5；
【解析】由x2+3x=x+15 解出x=-5 或x=3,
当x=3 时，
不是最简二次根式，x=3 舍去.故x=-5.
三、解答题
17. 【答案与解析】
解方程
，
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得
，
∵原方程有两个不相等的整数根，∴2m+1 为完全平方数，
又∵m 为整数，且4＜m＜40，
∴m=12 或24.
∴当m=12 时，
，
；
当m=24 时，
.
18. 【答案与解析】
(1)因为关于x 的方程
2
2(
3)
(
3)
0
kx
k
x
k
有两个不相等的实数根，
所以
2
2
0,
4
4(
3)
4 (
3)
0,
k
b
ac
k
k k
△
解得k＜3 且k≠0，
又因为一次函数y＝(k-2)x+m 存在，且k 为非负整数，所以k＝1．
(2)因为k＝1，所以原方程可变形为
2
4
2
0
x
x
，于是由根与系数的关系知a+b＝4，ab＝-2，
又当k＝1 时，一次函数y
x
m
过点(a，b)，所以a+b＝m，于是m＝4，同理可得n＝-2，
故所求的一次函数与反比例函数的解析式分别为
4
y
x
与
2
y
x
．
19. 【答案与解析】
(1)设平均每次下调的百分率是x．
依题意得5000(1-x)2＝4050．
解得x1＝10%，x2＝19
10 (不合题意，舍去)．
答：平均每次下调的百分率为10%．
(2)方案①优惠：4050×100×(1-0.98)＝8100(元)；
方案②优惠：1.5×100×12×2＝3600(元)
∵ 8100＞3600．∴ 选方案①更优惠.
20. 【答案与解析】
(1) 设甲队单独完成需x 天，则乙队单独完成需要(2x－10)天.
根据题意,有1
1
1
2
10
12
x
x
，
解得x1=3，x2=20. 经检验均是原方程的根，x1=3 不符题意舍去.故x=20.
∴乙队单独完成需要 2x－10=30(天).
答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需要20 天、30 天.
(2) 设甲队每天的费用为y 元，则由题意有
12y+12(y－150)=138 000，解得y=650 .
∴ 选甲队时需工程费用650×20=13 000，选乙队时需工程费用500×30=15 000.
∵ 13 000 <15 000，
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∴ 从节约资金的角度考虑，应该选择甲工程队.
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