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《三角形》全章复习与巩固（提高）
【学习目标】
1. 理解三角形有关的概念,掌握三角形内角和定理的证明，能应用内角和定理进行相关的
计算及证明问题.
2. 理解并会应用三角形三边关系定理；
3.了解三角形中三条重要的线段并能正确的作图.
4.了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；探索三角形全
等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式，而且要用利用图形全
等的解决实际生活中存在的问题.
5. 掌握常见的尺规作图方法，并根据三角形全等判定定理利用尺规作一个三角形与已知三
角形全等.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、三角形的内角和
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
要点二、三角形的分类
1.按角分类：
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要点诠释：
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
2.按边分类：
要点诠释：
①不等边三角形：三边都不相等的三角形；
②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫
做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;
③等边三角形：三边都相等的三角形.
要点三、三角形的三边关系
1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.
要点诠释：
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线
段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可
求第三边长的取值范围．
（3）证明线段之间的不等关系．
2.三角形的重要线段：
一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心．
一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．
三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形
内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.
要点四、全等三角形的性质与判定
1.全等三角形的性质
全等三角形对应边相等，对应角相等.
2.全等三角形的判定定理
全等三角形判定1——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边
边边”或“SSS”）. “
全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可
以简写成“角边角”或“ASA”）.
全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形
全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
全等三角形判定4—— “边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可
以简写成“边角边”或“SAS”）.
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要点诠释：（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代
换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）
如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
要点五、用尺规作三角形
1.基本作图
利用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，并利用全等三角形的知
识作一个三角形与已知三角形全等；
要点诠释：要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行
表达.
【典型例题】
类型一、三角形的内角和
1.在△ABC 中，∠ABC＝∠C，BD 是AC 边上的高，∠ABD＝30°，则∠C 的度数是多少?
【思路点拨】按△ABC 为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．
【答案与解析】
解：分两种情况讨论：
（1）当△ABC 为锐角三角形时，如图所示，在△ABD 中，
∵ BD 是AC 边上的高(已知)，
∴ ∠ADB＝90°(垂直定义)．
又∵ ∠ABD＝30°(已知)，
∴ ∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．
又∵ ∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，
∴ ∠ABC+∠C＝120°，
又∵ ∠ABC＝∠C，∴ ∠C＝60°．
(2)当△ABC 为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD 中，
∵ ∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．
∴ ∠BAC＝120°．
又∵ ∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，
∴ ∠ABC+∠C＝60°．
∴ ∠C＝30°．
综上，∠C 的度数为60°或30°．
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【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答
者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和
多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节．
举一反三
【变式】已知：如图，在ΔABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，BD、CE 分别是边AC、AB 上的高，
BD、CE 相交于H，则∠BHC 的度数为 .
【答案】135°.
类型二、三角形的三边关系及分类
2.已知三角形的三边长分别是3，8，
,若
的值为偶数，则
的值有 ( )．
A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个
【答案】D
【解析】
的取值范围：
，又
为偶数，
所以
的值可以是6, 8, 10，故
的值有3 个。
【总结升华】不要忽略“x 为偶数”这一条件.
举一反三
【变式】三角形的三边长为2，x-3，4，且都为整数，则共能组成 个不同的三角形.当
x 为 时，所组成的三角形周长最大.
【答案】三；8 (由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有4-2<x-3<4+2，解得
5<x<9，因为x 为整数，故x 可取6，7，8；当x=8 时，组成的三角形周长最大为11).
3.如图，O 是△ABC 内一点，连接OB 和OC．
(1)你能说明OB+OC＜AB+AC 的理由吗?
(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC 的取值范围吗?
【答案与解析】
解：(1)如图，延长BO 交AC 于点E，根据三角形的三边关系可以得到，
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在△ABE 中，AB+AE＞BE；
在△EOC 中，OE+EC＞OC，
两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．
由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．
所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．
(2)因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．
又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．
【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．
4. 有一个等腰三角形，它的两个角的度数比是1：2，这个三角形按角分类可能是什么
三角形？
【思路点拨】因为该等腰三角形的两个角的度数比是1：2，则这个三角形三个角度数的比为
1：2：2 或1：1：2，进而根据按比例分配知识，分别求出三角形的最大角的度数，进而根据三角
形的分类进行判断即可．
【答案与解析】
解：（1）1+1+2=4，
180×
=90°
∴ 该三角形是直角三角形；
（2）又1+2+2=5，
180×
=72°
∵ 最大角为72 度，是锐角，
∴ 该三角形的三个角都是锐角，即该三角形是锐角三角形；
综上所述： 该三角形是直角三角形或锐角三角形．
【总结升华】解答此题用到的在知识点：（1）三角形的内角和180 度；（2）按比例分配知识；
（3）三角形的分类；
举一反三
【变式】一个三角形的三个角的度数比是1：2：3，这个三角形中最小的一个角是 度，
按角分类，这个三角形是
三角形．
【答案】30；直角.
类型三、三角形的重要线段
5. 如图13，△ABC 中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE 平分∠ACB，CD⊥AB 于D，DF⊥CE，求
∠FCD 的度数.
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【思路点拨】由图可知∠CDF 是Rt△CDF 的一个内角，求∠CDF 可先求出∠FCD，△CDB 为直角
三角形，所以可以求出∠BCD，而∠FCD=∠BCE－∠BCD.
【答案与解析】
在△ABC 中，∠A = 40°，∠B = 72°，由三角形的内角和定理得：
∠BCA=180°-72°-40°=68°
又CE 平分∠ACB，
∴ ∠BCE=
∠BCA=34°，
在
中，CD⊥AB 于D，∠B = 72°
∴ ∠BCD= 90°- 72°= 18°
∴ ∠FCD=∠BCE－∠BCD=34°-18°=16°.
即∠FCD =16°.
【总结升华】这是三角形内角和定理在直角三角形中的应用，直角三角形两个锐角互余，所以
在直角三角形中，已知一个锐角的大小，就可以求出另一个锐角的度数.
举一反三
【变式】如图14，△ABC 中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分
线，求∠DAE 的度数．
【答案】∠DAE=35°
类型四、全等三角形的性质和判定
6.已知，如图，△ABC 中，D 是BC 中点，DE⊥DF,试判断BE＋CF 与EF 的大小关系，并证明
你的结论.
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F
E
D
C
B
A
【思路点拨】因为D 是BC 的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF，使DG＝DF,证明
△EDG≌△EDF，△FDC≌△GDB，这样就把BE、CF 与EF 线段转化到了△BEG 中，利用两边之和
大于第三边可证.
【答案与解析】BE＋CF＞EF；
证明：延长FD 到G，使DG＝DF,连结BG、EG
∵D 是BC 中点
∴BD＝CD
又∵DE⊥DF
在△EDG 和△EDF 中
∴△EDG≌△EDF（SAS）
∴EG＝EF
在△FDC 与△GDB 中
∴△FDC≌△GDB(SAS)
∴CF＝BG
∵BG＋BE＞EG
∴BE＋CF＞EF
【总结升华】有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）.
举一反三：
【变式】已知：如图所示，CE、CB 分别是△ABC 与△ADC 的中线，且∠ACB＝∠ABC．
求证：CD＝2CE．
【答案】
证明： 延长CE 至F 使EF＝CE，连接BF．
∵ EC 为中线，
∴ AE＝BE．
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在△AEC 与△BEF 中，
∴ △AEC≌△BEF（SAS）．
∴ AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）
又∵ ∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．
∴ AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．
∴ AB＝BF．
又∵ BC 为△ADC 的中线，
∴ AB＝BD．即BF＝BD．
在△FCB 与△DCB 中，
∴ △FCB≌△DCB（SAS）．
∴ CF＝CD．即CD＝2CE．
类型五、全等三角形判定的实际应用
7. 为在池塘两侧的A，B 两处架桥，要想测量A，B 两点的距离，有以下两种方法：
（1）如图所示，找一处看得见A，B 的点P，连接AP 并延长到D，使PA=PD，连接BP 并延长
到C，使PC=PB．测得CD=35m，就确定了AB 也是35m，说明其中的理由；
（2）如图所示，也可先过B 点作AB 的垂线BF，再在BF 上取C，D~两点，~使BC=CD．接着过点D
作BD 的垂线DE 交AC 的延线长于E，则测出DE 的长即为A，B 的距离．~你认为这种方案是否
切实可行，请说出你的理由．作BD⊥AB，ED⊥BF 的目的是什么？若满足∠ABD=∠BDE≠90°，
此方案是否仍然可行？为什么？
【思路点拨】本题两种测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，通过
测量这个三角形中与AB 相等的线段的长，从而得知AB 的距离．
【答案】（1）由△APB≌△DPC，所以CD=AB．
（2）由△ACB≌△ECD 得DE=AB．目的是使DE∥AB，可行．
【总结升华】对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决．
类型六、用尺规作三角形
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8.已知：线段a，b
求作：△ABC，使AB=a，BC=b，AC=2a．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【思路点拨】首先画线段AC=2a，再以A 为圆心，a 长为半径画弧，再以C 为圆心，b 长为半径画
弧，两弧交于点B，连接AB、BC 即可．
【答案与解析】
解：如图所示：
，
△ABC 即为所求．
【总结升华】此题主要考查了作图，关键是掌握作一条线段等于已知线段的方法；利用三角形
全等判定定理”边边边”解决本题．
举一反三
【变式】作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）
如图，已知，∠α、∠β．
求作∠AOB，使∠AOB=2∠α+∠β．
【答案】
解：只要方法得当，有作图痕迹就给分，无作图痕迹不给分．
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