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《一元一次方程》全章复习与巩固（提高）知识讲解
责编：杜少波
【学习目标】
1．理解方程，等式及一元一次方程的概念，并掌握它们的区别和联系；
2．会解一元一次方程，并理解每步变形的依据；
3．会根据实际问题列方程解应用题．
【知识网络】
【要点梳理】
知识点一、一元一次方程的概念
1．方程：含有未知数的等式叫做方程．
2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次
方程．
要点诠释：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：
①只含有一个未知数，未知数的次数为1；
②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．
3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．
4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．
知识点二、等式的性质与去括号法则
1．等式的性质：
等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0 的数，结果仍相等．
2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．
3．去括号法则：
（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．
（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．
知识点三、一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．
(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．
(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的
形式．
(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解
b
x
a
(a≠0)．
(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两
边的值不相等，则不是方程的解．
知识点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型
1.行程问题：路程＝速度×时间
2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价
4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数
6.数字问题：多位数的表示方法：例如：
3
2
10
10
10
abcd
a
b
c
d
.
【典型例题】
类型一、一元一次方程的相关概念
1．已知方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m＝-2m 是关于x 的一元一次方程，求m 和x 的值．
【思路点拨】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是
1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．
【答案与解析】
解：因为方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m＝-2m 是关于x 的一元一次方程，
所以3m-4＝0 且5-3m≠0．
由3m-4＝0 解得
4
3
m
，又
4
3
m
能使5-3m≠0，所以m 的值是4
3 ．
将
4
3
m
代入原方程，则原方程变为
4
8
5
3
3
3
x
，解得
8
3
x
．
所以
4
3
m
，
8
3
x
．
【总结升华】解答这类问题，一定要严格按照一元一次方程的定义．方程(3m-4)x2-(5-
3m)x-4m＝-2m2是关于x 的一元一次方程，就是说x 的二次项系数3m-4＝0，而x 的一次项系
数5-3m≠0，m 的值必须同时符合这两个条件．
举一反三：
【高清课堂：一元一次方程复习393349 等式和方程例3】
【变式】下面方程变形中，错在哪里：
(1)方程2x=2y 两边都减去x+y，得2x-(x+y)=2y-(x+y), 即x-y=-(x-y).
方程 x-y=-(x-y)两边都除以x-y, 得1=-1.
（2）3
7
2
1
2
2
3
x
x
x
，去分母，得3(3-7x)=2(2x+1)+2x，去括号得：9-21x=4x+2+2x.
【答案】（1）答：错在第二步，方程两边都除以x-y.
（2）答：错在第一步，去分母时2x 项没乘以公分母6.
2. 如果5(x+2)＝2a+3 与(3
1)
(5
3)
3
5
a
x
a
x
的解相同，那么a 的值是________．
【答案】7
11
【解析】 由5(x+2)＝2a+3，解得
2
7
5
a
x
．
由(3
1)
(5
3)
3
5
a
x
a
x
，解得
9
5
x
a
．
所以2
7
9
5
5
a
a
，解得
7
11
a
．
【总结升华】因为两方程的解相同，可把a 看做已知数，分别求出它们的解，令其相等，转化为
求关于a 的一元一次方程．
举一反三：
【变式】（2015•温州模拟）已知3x=4y，则= ．
【答案】．
解：根据等式性质2，等式3x=4y 两边同时除以3y，
得：= ．
类型二、一元一次方程的解法
3．（2016 春•淅川县期中）解方程
﹣
=
．
【思路点拨】方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解．
【答案与解析】
解：原方程可化为6x﹣
=
，
两边同乘以6 得36x﹣21x=5x﹣7，
解得：x=﹣0.7．
【总结升华】此题考查了解一元一次方程，注意第一步用到的是分数的基本性质：分子和分母
扩大相同的倍数，分数的值不变.
举一反三：
【变式1】解方程
2
6
7
5
2
2
5
4
4
3
6
z
z
z
z
z
【答案】
解：把方程两边含有分母的项化整为零，得
2
6
7
5
2
2
5
4
4
4
4
3
3
6
6
z
z
z
z
z
．
移项，合并同类项得：1
1
2
2
z
，系数化为1 得：z＝1．
【高清课堂：一元一次方程复习 393349 解方程例1（2）】
【变式2】解方程：
0.1
0.05
0.2
0.05
5
0
0.2
0.5
4
x
x
.
【答案】
解：把方程可化为：
0.5
2
0.5
5
0
2
5
4
x
x
，
再去分母得：2
32
x
解得：
16
x
4．解方程3{2x-1-[3(2x-1)+3]}＝5．
【答案与解析】
解：把2x-1 看做一个整体．去括号，得：
3(2x-1)-9(2x-1)-9＝5．
合并同类项，得-6(2x-1)＝14． 系数化为1 得：
7
2
1
3
x
，解得
2
3
x
．
【总结升华】把题目中的2x-1 看作一个整体，从而简化了计算过程．本题也可以考虑换元法：
设2x-1＝a，则原方程化为3[a-(3a+3)]＝5．
类型三、特殊的一元一次方程的解法
1．解含字母系数的方程
5.解关于x 的方程：1
1
(
)
(
2 )
3
4
m x
n
x
m
【思路点拨】这个方程化为标准形式后，未知数x 的系数和常数都是以字母形式出现的，所以
方程的解的情况与x 的系数和常数的取值都有关系．
【答案与解析】
解：原方程可化为：(4
3)
4
6
2 (2
3)
m
x
mn
m
m
n
当
3
4
m
时，原方程有唯一解：
4
6
4
3
mn
m
x
m
；
当
3
3
,
4
2
m
n
时，原方程无数个解；
当
3
3
,
4
2
m
n
时，原方程无解；
【总结升华】解含字母系数的方程时，一般化为最简形式ax
b
，再分类讨论进行求解，注意
最后的解不能合并，只能分情况说明．
2．解含绝对值的方程
6. 解方程|x-2|＝3．
【答案与解析】
解：当x-2≥0 时，原方程可化为x-2＝3，得x＝5．
当x-2＜0 时，原方程可化为-(x-2)＝3，得 x＝-1．
所以x＝5 和x＝-1 都是方程|x-2|＝3 的解．
【总结升华】如图所示，可以看出点-1 与5 到点2 的距离均为3，所以|x-2|＝3 的意义为在数
轴上到点2 的距离等于3 的点对应的数，即方程|x-2|＝3 的解为x＝-1 和x＝5．
举一反三：
【变式1】若关于x 的方程2
3
0
x
m
无解，3
4
0
x
n
只有一个解，4
5
0
x
k
有两个解，
则
, ,
m n k 的大小关系为： ( )
A. m
n
k
B.n
k
m
C.k
m
n
D.m
k
n
【答案】A
【变式2】若
9
x
是方程1
2
3 x
m
的解，则
__
m
；又若当
1
n
时，则方程1
2
3 x
n
的解是 ．
【答案】1； 9 或3．
类型四、一元一次方程的应用
7．李伟从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30 千米，那么比火车开车时间早到
15 分钟；若每小时行18 千米，则比火车开车时间迟到15 分钟，现在李伟打算在火车开车前
10 分钟到达火车站，求李伟此时骑摩托车的速度应是多少?
【思路点拨】本题中的两个不变量为：火车开出的时间和李伟从家到火车站的路程不变．
【答案与解析】
解：设李伟从家到火车站的路程为y 千米，则有：
15
15
30
60
18
60
y
y
，解得：
45
2
y
由此得到李伟从家出发到火车站正点开车的时间为
45
15
2
1
30
60
(小时)．
李伟打算在火车开车前10 分钟到达火车站时，设李伟骑摩托车的速度为x 千米/时, 则有：
45
2
27
10
10
1
1
60
60
y
x
(千米/时)
答：李伟此时骑摩托车的速度应是27 千米/时．
【总结升华】在解决问题时，当发现某种方法不能解决问题时，应该及时变换思维角度，如本
题直接设未知数较难时，应迅速变换思维的角度，合理地设置间接未知数以寻求新的解决问
题的途径和方法．
8.（2015 春•万州区校级月考）一项工程，甲单独做要10 天完成，乙单独做要15 天完成，
两人合做4 天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？
【答案与解析】
解：设乙还需x 天完成，由题意得
4×（
+
）+
=1，
解得x=5．
答：乙还需5 天完成．
【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是找到所求的量的等量关系．
当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为1．
举一反三：
【变式】某商品进价2000 元，标价4000 元，商店要求以利润率不低于20%的售价打折出售，
售货员最低可以打几折出售此商品？
【答案】
解：设售货员可以打x 折出售此商品，得：
4000
0.1
2000(1
20%),
x
解得：
6.
x
答：售货员最低可以打六折出售此商品．
