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《一元一次方程》全章复习与巩固（提高）知识讲解
【学习目标】
1．经历建立方程模型、解方程和运用方程解决实际问题的过程，体会模型思想；
2．了解一元一次方程、方程的解等基本概念，会解数字系数的一元一次方程，感受转化思想；
3．能运用一元一次方程解决实际问题，能根据实际意义检验方程的解的合理性．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、一元一次方程的概念
1．方程：含有未知数的等式叫做方程．
2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次
方程．
要点诠释：
（1）一元一次方程变形后总可以化为ax+b＝0(a≠0)的形式，它是一元一次方程的标准形式．
（2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；
②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．
3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．
4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．
要点二、等式的性质与去括号法则
1．等式的性质：
等式的性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式．
等式的性质2：等式两边乘同一个数，（或除以同一个不为0 的数），所得结果仍是等式．
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2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．
3．去括号法则：
（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．
（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．
要点三、一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．
(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．
(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的
形式．
(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解
(a≠0)．
(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两
边的值不相等，则不是方程的解．
要点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型
1.等积变形：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积.
2.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价
3.行程问题：路程＝速度×时间
4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数
7.数字问题：多位数的表示方法：例如：
.
8.方案问题：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．
（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣
性后下结论．
【典型例题】
类型一、一元一次方程的相关概念
1．已知方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m＝-2m 是关于x 的一元一次方程，求m 和x 的值．
【思路点拨】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是
1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．
【答案与解析】
解：因为方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m＝-2m 是关于x 的一元一次方程，
所以3m-4＝0 且5-3m≠0．
由3m-4＝0 解得
，又
能使5-3m≠0，所以m 的值是
．
将
代入原方程，则原方程变为
，解得
．
所以
，
．
【总结升华】解答这类问题，一定要严格按照一元一次方程的定义．方程(3m-4)x2-(5-
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3m)x-4m＝-2m2是关于x 的一元一次方程，就是说x 的二次项系数3m-4＝0，而x 的一次项系
数5-3m≠0，m 的值必须同时符合这两个条件．
举一反三：
【变式】下面方程变形中，错在哪里：
(1)方程2x=2y 两边都减去x+y，得2x-(x+y)=2y-(x+y), 即x-y=-(x-y).
方程 x-y=-(x-y)两边都除以x-y, 得1=-1.
（2）
，去分母，得3(3-7x)=2(2x+1)+2x，去括号得：9-21x=4x+2+2x.
【答案】（1）答：错在第二步，方程两边不能除以x-y，只有一种可能就是x-y 为0 了，所以出
现了1=-1 的错误，也就是说对于等式性质来说，如果想要除以式子来说，这个式子一定是不
能为0 的.
（2）答：错在第一步，去分母时2x 项没乘以公分母6.
2. 如果5(x+2)＝2a+3 与
的解相同，那么a 的值是________．
【答案】
【解析】 由5(x+2)＝2a+3，解得
．
由
，解得
．
所以
，解得
．
【总结升华】因为两方程的解相同，可把a 看做已知数，分别求出它们的解，令其相等，转化为
求关于a 的一元一次方程．
举一反三：
【变式】已知|x+1|+(y+2x)2＝0，则
________．
【答案】1
类型二、一元一次方程的解法
3．解方程：解方程3{2x-1-[3(2x-1)+3]}＝5．
【答案与解析】
解：把2x-1 看做一个整体．去括号，得：
3(2x-1)-9(2x-1)-9＝5．
合并同类项，得-6(2x-1)＝14．
系数化为1 得：
，
解得
．
【总结升华】把题目中的2x-1 看作一个整体，从而简化了计算过程．本题也可以考虑换元法：
设2x-1＝a，则原方程化为3[a-(3a+3)]＝5．
举一反三：
【变式】解方程
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【答案】
解：把方程两边含有分母的项化整为零，得
．
移项，合并同类项得：
，
系数化为1 得： z＝1．
类型三、特殊的一元一次方程的解法
1．解含字母系数的方程
4.解关于
的方程：
【思路点拨】这个方程化为标准形式后，未知数x 的系数和常数都是以字母形式出现的，所以
方程的解的情况与x 的系数和常数的取值都有关系．
【答案与解析】
解：原方程可化为：
当
时，原方程有唯一解：
；
当
时，原方程无数个解；
当
时，原方程无解；
【总结升华】解含字母系数的方程时，一般化为最简形式
，再分类讨论进行求解，注意
最后的解不能合并，只能分情况说明．
2．解含绝对值的方程
5. 解方程|x-2|＝3．
【答案与解析】
解：当x-2≥0 时，原方程可化为x-2＝3，得x＝5．
当x-2＜0 时，原方程可化为-(x-2)＝3，得 x＝-1．
所以x＝5 和x＝-1 都是方程|x-2|＝3 的解．
【总结升华】如图所示，可以看出点-1 与5 到点2 的距离均为3，所以|x-2|＝3 的意义为在数
轴上到点2 的距离等于3 的点对应的数，即方程|x-2|＝3 的解为x＝-1 和x＝5．
举一反三：
【变式】若关于
的方程
无解，
只有一个解，
有两个解，
则
的大小关系为： ( )
A.
B.
C.
D.
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【答案】A
类型四、一元一次方程的应用
6．李伟从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30 千米，那么比火车开车时间早到
15 分钟；若每小时行18 千米，则比火车开车时间迟到15 分钟，现在李伟打算在火车开车前
10 分钟到达火车站，求李伟此时骑摩托车的速度应是多少?
【思路点拨】本题中的两个不变量为：火车开出的时间和李伟从家到火车站的路程不变．
【答案与解析】
解：设李伟从家到火车站的路程为y 千米，则有：
，解得：
由此得到李伟从家出发到火车站正点开车的时间为
(小时)．
李伟打算在火车开车前10 分钟到达火车站时，设李伟骑摩托车的速度为x 千米/时, 则有：
(千米/时)
答：李伟此时骑摩托车的速度应是27 千米/时．
【总结升华】在解决问题时，当发现某种方法不能解决问题时，应该及时变换思维角度，如本
题直接设未知数较难时，应迅速变换思维的角度，合理地设置间接未知数以寻求新的解决问
题的途径和方法．
7. 黄冈某地“杜鹃节”期间，某公司70 名职工组团前往参观欣赏，旅游景点规定：①
门票每人60 元，无优惠；②上山游玩可坐景点观光车，观光车有四座和十一座车，四座车每
辆60 元，十一座车每人10 元．公司职工正好坐满每辆车且总费用刚好为4920 元时，问公司
租用的四座车和十一座车各多少辆?
【答案与解析】
解：设四座车租x 辆，十一座车租
辆，依题意得：
解得：x＝1，
答：公司租用的四座车和十一座车分别是1 辆和6 辆.
【总结升华】解答本题需从“公司职工正好坐满每辆车且总费用刚好为4920 元”中挖掘两
个等量关系构建方程求解.
8．某牛奶加工厂有鲜奶9 吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500 元，制成
酸奶销售，每吨可获取利润1200 元；制成奶片销售，每吨可获利润2000 元，该工厂的生产能
力是：如制成酸奶，每天可加工3 吨；制成奶片每天可加工1 吨，受人员限制，两种加工方式
不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4 天内全部销售或加工完毕．为此，该厂某
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领导提出了两种可行方案：
方案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；
方案2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4 天完成．
你认为选择哪种方案获利最多，为什么?
【答案与解析】
解：（1）若选择方案1，依题意，
总利润=2000 元×4+500 元×(9-4)=10500（元）．
（2）若选择方案2．
方法一：
解：设将x 吨鲜奶制成奶片，则用(9-x)吨鲜奶制成酸奶销售.
依题意得，
，
解得
．
当
时，
．
总利润=2000×1.5+1200×7.5=12000（元）．
∵ 12000>10500，
∴ 选择方案2 较好．
方法二：
解：设x 天生产奶片，则（4-x）天生产酸奶.
x+3(4-x)=9
x=1.5
4-x=2.5
1.5×1×2000+2.5×3×1200=12000（元）
∵ 12000>10500，
∴ 选择方案2 较好．
答：选择方案2 获利最多，只要在四天内用7.5 吨鲜奶加工成酸奶，用1.5 吨的鲜奶加工成奶
片．
【总结升华】如果题目中的数量关系较复杂，常借助列表，画线段图，示意图等手段帮助我们
理顺题目中的数量关系，列出方程．例如本题方案2 中的方法一，设将x 吨鲜奶制成奶片，则
列表如下：
每吨利润
吨数
工效
天数
酸奶
1200
3
奶片
2000
1
合计
9
4
该表可以使条件之间的关系一目了然，从而得到等量关系，当然此题也可以设天数来计算，
同学们可根据理解自己选择．
举一反三：
【变式】某科技小组的学生在3 名老师的带领下，准备前往国家森林公园考察、采集标本，当
地有甲，乙两家旅行社，其定价都一样，但对师生都有优惠：甲旅行社对带队老师免费，学生
按8 折收费；乙旅行社对师生一律按7 折收费，经核算，甲，乙旅行社的实际收费正好相同．
（1）该科技小组共有多少学生？
（2）若科技小组增加了学生人数，那么选择哪家旅行社较为合算？说明理由．
【答案】
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解：（1）设科技小组共有x 个学生，根据题意得
80%x=（x+3）×70%，
80%x=70%x+2.1，
80%x-70%x=2.1，
10%x=2.1，
x=21．
答：该科技小组共有21 个学生；
（2）设增加了y 名学生，则：
甲旅行社收费：80%（21+y）=16.8+0.8y；
乙旅行社收费：70%（24+y）=16.8+0.7y；
∵0.8y＞0.7y（y 是正整数），
∴乙旅行社较为合算，
答：若科技小组增加了学生人数，那么选择乙旅行社较为合算．
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