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《分式》全章复习与巩固（基础）
责编：杜少波
【学习目标】
1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0 的条件.
2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．
3．掌握分式的四则运算．
4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，
体会解方程中的化归思想．
【知识网络】
【要点梳理】
【高清课堂 分式全章复习与巩固 知识要点】
要点一、分式的有关概念及性质
1．分式
一般地，如果A、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A
B
叫做分式.其中A 叫做
分子，B 叫做分母.
要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当
B≠0 时，分式A
B
才有意义.
2.分式的基本性质
（M 为不等于0 的整式）.
3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.
要点二、分式的运算
1．约分
利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样
的分式变形叫做分式的约分.
2．通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式
化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
3．基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
（1）加减运算
a
b
a
b
c
c
c
；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
（2）乘法运算
a c
ac
b d
bd
，其中a
b
c
d
、、、
是整式，
0
bd
.
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
（3）除法运算
a
c
a d
ad
b
d
b c
bc
，其中a
b
c
d
、、、
是整式，
0
bcd
.
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.
（4）乘方运算
分式的乘方，把分子、分母分别乘方.
4.分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.
要点三、分式方程
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题
增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0 的条件，当把分式方程转化为整式方程后，
方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的
值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.
要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所
得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.
要点四、分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住
“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”
等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.
【典型例题】
类型一、分式及其基本性质
1、在
m
a
y
x
xy
x
x
x
x
1
,
3
,
3
,)1
(
,
2
1
,
1
2
中，分式的个数是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C；
【解析】
2
1
1
3
1
x x
a
x
x
x
y
m
，
，
，
是分式.
【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有
字母则不是分式．
2、当x 为何值时，分式
2
9
3
x
x
的值为0？
【思路点拨】先求出使分子为0 的字母的值，再检验这个值是否使分母的值等于0，当它使分
母的值不等于0 时，这个值就是要求的字母的值．
【答案与解析】
解： 要使分式的值为0，必须满足分子等于0 且分母不等于0．
由题意，得
2
9
0,
3
0.
x
x
解得
3
x
．
∴ 当
3
x
时，分式
2
9
3
x
x
的值为0．
【总结升华】分式的值为0 的条件是：分子为0，且分母不为0，即只有在分式有意义的前提下，
才能考虑分式值的情况.
举一反三：
【变式】（1）若分式
的值等于零，则x ＝_______；
（2）当x ________时，分式
没有意义．
【答案】（1）由
2
4
x
＝0，得
2
x . 当x ＝2 时x －2＝0，所以x ＝－2；
（2）当
1
0
x
，即x ＝1 时，分式
没有意义．
类型二、分式运算
3、计算：
2
2
2
2
1
3
2
(
1)
4
4
1
x
x
x
x
x
x
x
．
【答案与解析】
解：
2
2
2
2
2
2
1
3
2
(1
)(1
)
1
(
2)(
1)
(
1)
4
4
1
(
2)
(
1)
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
2
(
1)
(
2)(
1)
x
x
x
．
【总结升华】本题有两处易错：一是不按运算顺序运算，把
2
(
1)
x
和
2
3
2
1
x
x
x
先约分；二
是将(1
)
x
和(
1)
x
约分后的结果错认为是1．因此正确掌握运算顺序与符号法则是解题的
关键．
举一反三：
【变式】（2015•滨州）化简：
÷（
﹣
）
【答案】
解：原式=
÷
=
•
=﹣
．
类型三、分式方程的解法
4、（2016•呼伦贝尔）解方程：
．
【思路点拨】观察可得最简公分母是（x
1
﹣）（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程
转化为整式方程求解．
【答案与解析】
解：方程的两边同乘（x
1
﹣）（x+1），得
3x+3
x
3=0
﹣﹣
，
解得x=0．
检验：把x=0 代入（x
1
﹣）（x+1）=
1
﹣≠0．
∴原方程的解为：x=0．
【总结升华】本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，
把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
举一反三：
【变式】
1
2
3
1
2
4
4
x
x
x
，
【答案】
解： 方程两边同乘以
2
4
x
，得
1
2
4
2 2
3
3
2
x
x
x
∴
检验：当
3
2
x
时，最简公分母
2
4
0
x
，
∴
3
2
x
是原方程的解．
类型四、分式方程的应用
5、
（2015•东莞二模）某市为治理污水，需要铺设一条全长为600 米的污水排放管道，为
了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果
提前5 天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？
【思路点拨】先设原计划每天铺设x 米管道，则实际施工时，每天的铺设管道（1+20%）x 米，由
题意可得等量关系：原计划的工作时间﹣实际的工作时间=5，然后列出方程可求出结果，最
后检验并作答．
【答案与解析】
解：设原计划每天铺设x 米管道，由题意得：
﹣
=5，
解得：x=20，
经检验：x=20 是原方程的解．
答：原计划每天铺设20 米管道．
【总结升华】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的
一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5 步进行，规范解题步骤，另外还要注意完整
性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
举一反三：
【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过王老师家，小明到王老师
家的路程为3 km，王老师家到学校的路程为0.5 km，由于小明的父母战斗在抗震救灾第一
线，为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是
他步行速度的3 倍，每天比平时步行上班多用了20 min，王老师步行的速度和骑自行车的速
度各是多少?
【答案】
解：设王老师步行的速度为x km/h，则他骑自行车的速度为3 x km/h．
根据题意得：2 3
0.5
0.5
20
3
60
x
x
．
解得：
5
x
．
经检验
5
x
是原方程的根且符合题意．
当
5
x
时，3
15
x
．
答：王老师步行的速度为5km/h，他骑自行车的速度为15km/h．
