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《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）
【巩固练习】
一、选择题
1.△ABC 中，AB=AC，BD 平分∠ABC 交AC 边于点D，∠BDC=75°，则∠A 的度数是（ ）
A．35°
B．40°
C．70°
D．110°
2．三角形的三个内角中，锐角的个数不少于（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个D．不确定
3．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩
形；③正方形；④等腰三角形，其中一定可以拼成的图形的是（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②④
4．如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定
△ABE≌△ACD 的是（ ）
A．AD=AE
B．∠AEB=∠ADC C．BE=CD
D．AB=AC
5．如图，△ABC≌△EFD，那么下列结论正确的是（ ）
A．EC=BD
B．EF∥AB
C．DE=BD
D．AC∥ED
6．等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（ ）
A．17
B．22
C．13
D．17 或22
7．有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形（ ）
A．必定全等
B．必定不全等
C．不一定全等
D．以上答案都不对
8．面积相等的两个三角形（ ）
A．必定全等
B．必定不全等
C．不一定全等
D．以上答案都不对
二、填空题
9.如果等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是
_________
度．
10.△ABC 中，∠A 是∠B 的2 倍，∠C 比∠A+∠B 还大12°，那么∠B=
_________
度．
11．在方格纸上有一个△ABC，它的顶点位置如图所示，则这个三角形是
_________
三角
形．
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12．如图，△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE 交于点H，请你添加一个适当的
条件：
_________
，使△AEH≌△CEB．
13．等腰直角三角形一条边长是1 cm，那么它斜边上的高是
_________
．
14．在△ABC 和△ADC 中，下列论断：①AB=AD；②∠BAC=∠DAC；③BC=DC，把其中两个论断作
为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：
_________
．
15．在△ABC 中，边AB、BC、AC 的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC 的大小关系是
_________
．
16．已知△ABC 中，∠A=90°，角平分线BE、CF 交于点O，则∠BOC=
_________
．
三、解答题
17.如图，在△ ABC 中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，AD 与BE 相交于点F，若BF=AC，求
∠ABC 的大小．
18. 如图，△ABC 中，∠C=Rt∠，AD 平分∠BAC 交BC 于点D，BD：DC=2：1，BC=7.8cm，求D 到AB
的距离．
19. 如图，D，E 是△ABC 边上的两点，且BD=DE=EC=AD=AE，求∠BAC 的度数．
20. 已知：如图，D 是等腰△ABC 底边BC 上一点，它到两腰AB、AC 的距离分别为DE、DF，当D
点在什么位置时，DE=DF？并加以证明．
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【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】B；
【解析】解：设∠A 的度数是x，则∠C=∠B=
，
∵BD 平分∠ABC 交AC 边于点D
∴∠DBC=
，
∴
+
+75=180°，
∴x=40°.
∴∠A 的度数是40°.
故选B．
2．【答案】B;
【解析】解：由三角形内角和为180 度可知：三角形的三个内角中，锐角的个数不少于2 个．
故选B．
3.【答案】D;
【解析】解：两个全等的直角三角形，一定可以拼成平行四边形（直角边重合，两直角不邻）
等腰三角形（直角边重合，两直角相邻），以及矩形（斜边重合）；
若为等腰直角三角形，则可拼成正方形；所以①②④一定可以拼接而成，③不一定拼成．
4.【答案】B;
【解析】解：A、根据AAS（∠A=∠A，∠C=∠B，AD=AE）能推出△ABE≌△ACD
正确，故本选项错误；
B、三角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项正确；
C、根据AAS（∠A=∠A，∠B=∠C，BE=CD）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；
D、根据ASA（∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；
5.【答案】B;
【解析】解：A、EC、BD 不是对应边，不相等，故本选项错误；
B、∵△ABC≌△EFD，
∴∠E=∠A，
∴EF∥AB，正确，故本选项错误；
C、DE 与BD 不是对应边，不相等，故本选项错误；
D、AC、ED 共线，不平行，故本选项错误．
6.【答案】B;
【解析】解：当腰长为4 时，则三角形的三边长为：4、4、9；
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∵4+4＜9，∴不能构成三角形；
因此这个等腰三角形的腰长为9，则其周长=9+9+4=22．
7.【答案】A;
【解析】解：有两个角和其中一个角的对边对应相等，
符合“角角边”判定方法，
所以，两个三角形必定全等．
8.【答案】C;
【解析】解：因为两个面积相等的三角形，也就是底乘高相等；但是一个数可以有许多不同
的因数，所以说这两个三角形的对应边、对应高不一定相等；故面积相等的两个三角形不
一定全等．
二、填空题
9．【答案】 20；
【解析】解：∵三角形是等腰三角形，
∴两个底角相等，
∵等腰三角形的一个底角是80°，
∴另一个底角也是80°，
∴顶角的度数为180°﹣80°﹣80°=20°．
10．【答案】28；
【解析】解：设∠B=x，则∠A=2x，∠C=3x+12°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+3x+12°=180°，解得x=28°．
故答案为：28．
11.【答案】等腰；
【解析】解：设小方格的边长为1，
根据勾股定理得AB=
=
，AC=
=
，
∴AB=AC，∴△ABC 是等腰三角形．
12.【答案】AH=CB 或EH=BE 或AE=CE；
【解析】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，
∴∠BEC=∠AEC=90°，
在Rt△AEH 中，∠EAH=90°﹣∠AHE，
又∵∠EAH=∠BAD，
∴∠BAD=90°﹣∠AHE，
在Rt△AEH 和Rt△CDH 中，∠CHD=∠AHE，
∴∠EAH=∠DCH，
∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE，
所以根据AAS 添加AH=CB 或EH=BE；
根据ASA 添加AE=CE．
可证△AEH≌△CEB．
13.【答案】cm 或
cm；
【解析】解：（1）当1cm 是斜边，则其高就是斜边1 的一半是cm；
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（2）当其直角边是1cm 时，根据勾股定理得其斜边是
cm，再根据其高是斜边的一半得高
是
cm；所以它斜边上的高是cm 或
cm．
14.【答案】在△ABC 和△ADC 中，如果AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么BC=DC．
【解析】解：把①②作为条件③作为结论，
∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，
又∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴BC=BD．
故答案为：在△ABC 和△ADC 中，如果AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么BC=DC．
15.【答案】PA=PB=PC;
【解析】∵边AB 的垂直平分线相交于P，
∴PA=PB，
∵边BC 的垂直平分线相交于P，
∴PB=PC，
∴PA=PB=PC．
16.【答案】135°;
【解析】解：∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵角平分线BE、CF 交于点O，
∴∠OBC+∠OCB=45°，
∴∠BOC=180°﹣45°=135°．
故答案为135°．
三、解答题
17.【解析】
解：∵AD⊥BC，BE⊥AC（已知），
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°（垂直定义），
又∵∠AFE=∠BFD（对顶角相等），
∴△AEF∽△BDF（两对对应角相等的两三角形相似），
∴∠FAE=∠FBD（相似三角形的对应角相等），
在△BFD 和△ACD 中，
，
∴△BFD≌△ACD（AAS），
∴BD=AD（全等三角形的对应边相等），
∴∠BAD=∠ABD（等边对等角），
又∵∠ADB=90°（已证），
∴∠ABC=
=45°（三角形的内角和定理）．
18.【解析】
解：如图，过点D 作DE⊥AB 于点E，
∵BD：DC=2：1，BC=7.8，
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∴CD=
×7.8=2.6，
∵AD 平分∠BAC，
∴DE=CD=2.6(cm).
即D 到AB 的距离2.6cm．
19.【解析】
解：因为AD=DE=AE，所以∠ADE=∠DEA=∠DAE=60°，
所以∠ADB=120°，∠AEC=120°．
因为BD=AD，AE=EC，
所以∠B=∠BAD= （180°﹣∠ADB）= （180°﹣120°）=30°，
∠C=∠CAE= （180°﹣∠AEC）= （180°﹣120°）=30°．
所以∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°．
20.【解析】
解：当D 为BC 的中点时，DE=DF．
理由：∵AD 为等腰三角形底边上的中线，
∴AD 平分∠BAC，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
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