文档文本内容
《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）
【学习目标】
1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.
2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.
3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊
三角形.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、等腰三角形
1.三角形全等的性质及判定
全等三角形的对应边相等，对应角也相等.
判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
2.等腰三角形的判定、性质及推论
性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合
一”）
3.等边三角形的性质及判定定理
性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称
图形，有3 条对称轴.
判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边
三角形.
4.含30°的直角三角形的边的性质
定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
要点诠释：
等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形
第1页 共8页
的特殊数据要熟记于心，比如边长为a 的等边三角形它的高是
，面积是
；含有
30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时
也为我们学习三角函数奠定了基础.
要点二、直角三角形
1.勾股定理及其逆定理
定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
2.命题与逆命题
命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；
3.直角三角形全等的判定定理
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.
要点诠释：
①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜
边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.
②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL 一共有5 种判定方法.
要点三、线段的垂直平分线
1.线段垂直平分线的性质及判定
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
2.三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线
分别以线段的两个端点A、B 为圆心，以大于
AB 的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作
直线MN，则直线MN 就是线段AB 的垂直平分线.
要点诠释：
①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；
②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.
要点四、角平分线
1.角平分线的性质及判定定理
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.
2.三角形三条角平分线的性质定理
性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
3.如何用尺规作图法作出角平分线
要点诠释：
①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；
②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全
等三角形.
【典型例题】
类型一、 三角形的证明
第2页 共8页
1. 已知：点D 是△ABC 的边BC 的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF=CE．
求证：△ABC 是等腰三角形．
【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE AC
⊥
，DF AB
⊥
，BF=CE，可利用三角形中
两内角相等来证明．
【答案与解析】
证明：∵D 是BC 的中点，
∴BD=CD，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，
在Rt△BDF 和Rt△CDE 中，
,
BF
CE
BD
CD
∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴△ABC 是等腰三角形．
【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三
角形全等是正确解答本题的关键．
举一反三：
【变式1】在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求BC 和AD．
【答案】解：延长AD 与BC，两延长线交于点E，如图所示，
∵∠B=90°，∠A=60°，
∴∠E=30°，
在Rt△CDE 中，CD=1，
∴CE=2CD=2，
根据勾股定理得：DE=
，
在Rt△ABE 中，AB=2，
∴AE=2AB=4，
根据勾股定理得：BE=
，
则BC=BE﹣CE=2
﹣2，AD=AE﹣DE=4﹣
．
第3页 共8页
【变式2】如图，在△ABC 中，AB=AC，D、E 在BC 上，且AD=AE，求证：BD=CE．
【答案】证明：∵AB=AC，AD=AE，
∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠EAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE，
∴ BD=CE．
类型二、直角三角形
2. 如图，已知，在Rt△ABC 中，∠C=90°，沿过B 点的一条直线BE 折叠这个三角形，使
C 点与AB 边上的一点D 重合．
（1）当∠A 满足什么条件时，点D 恰为AB 的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件
证明D 为AB 的中点；
（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC 的面积．
【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE≌△BDE，BC=BD，当点D 恰为AB 的重点时，
AB=2BD=2BC，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：
∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED⊥AB，可证D 为AB 的中点；
（2）在Rt△ADE 中，根据∠A 及ED 的值，可将AE、AD 的值求出，又D 为AB 的中点，可得AB 的
长度，在Rt△ABC 中，根据AB、∠A 的值，可将AC 和BC 的值求出，代入S△ABC= AC×BC 进行求
解即可．
【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．
第4页 共8页
证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，
∵C 点折叠后与AB 边上的一点D 重合，
∴BE 平分∠CBD，∠BDE=90°，
∴∠EBD=30°，
∴∠EBD=∠EAB，所以EB=EA；
∵ED 为△EAB 的高线，所以ED 也是等腰△EBA 的中线，
∴D 为AB 中点．
（2）∵DE=1，ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2．
在Rt△ADE 中，根据勾股定理，得AD=
，
∴AB=2
，∵∠A=30°，∠C=90°，
∴BC=
AB=
．
在Rt△ABC 中，AC=
=3，
∴S△ABC=
×AC×BC=
．
【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性
质，折叠前后图形的形状和大小不变．
3. 小林在课堂上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB 的两
边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M 作OB 的垂线，过点N 作OA 的垂线，垂足分别为C、D，
两垂线交于点P，那么射线OP 就是∠AOB 的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创
新．但是小林不知道这是为什么．
①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP 就是∠AOB 的平分线吗？
②请你只用三角板设法作出图∠AOB 的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．
【思路点拨】①在Rt△OCM 与Rt△ODN 中，依据ASA 得出OC=OD;在Rt△OCP 与Rt△ODP 中，因
为OP=OP，OC=OD 得出Rt△OCP≌Rt△ODP（HL），所以∠COP=∠DOP，即OP 平分∠AOB．
②可作出两个直角三角形，利用HL 定理证明两角所在的三角形全等．
【答案与解析】①证明：在Rt△OCM 和Rt△ODN 中，
∴△OCM≌△ODN（AAS），
∴OC=OD，
在△OCP 与△ODP 中，
第5页 共8页
∵
∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL），
∴∠COP=∠DOP，
即OP 平分∠AOB；
②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD；
②过C，D 分别作OA，OB 的垂线，两垂线交于点E；
③作射线OE，OE 就是所求的角平分线．
∵CE⊥OA，ED⊥OB，
∴∠OCE=∠ODE=90°，
在Rt△OCE 与Rt△ODE 中，
∵
，
∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），
∴∠EOC=∠EOD，
∴OE 为∠AOB 的角平分线．
【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD 是解题
关键．
类型三、线段垂直平分线
4. 撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作AB、AC 和DB、DC，始终有AB=AC，
DB=DC，请大家考虑一下伞杆AD 与B、C 的连线BC 的位置关系为 ．
【思路点拨】根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上得出A、D 都在线段BC
的垂直平分线上，根据两点确定一条直线得出AD 是线段BC 的垂直平分线即可．
【答案】垂直．
【解析】
解：连接BC、AD，
∵AB=AC，DB=DC，
∴A 在线段BC 的垂直平分线上，D 在线段BC 的垂直平分线上，
∴根据两点确定一条直线得出AD 是线段BC 的垂直平分线，
第6页 共8页
即AD⊥BC，
【总结升华】考查了线段的垂直平分线定理和两点确定一条直线等知识点，注意：①到线段两
端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上；②两点确定一条直线．
举一反三：
【变式】如图所示，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线EF 交BC 的延长线于F，试
说明∠BAF=∠ACF 的理由．
【答案】解：∵EF 垂直平分AD，
∴AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA．
又∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，
∴∠BAF=∠ACF．
类型四、角平分线
5. 如图，在△ABC 中，∠BAC=80°，延长BC 到D，使AC=CD，且∠ADB=20°，DE 平分
∠ADB 交AC 于F，交AB 于E，连接CE，求∠CED 的度数．
【思路点拨】作EG⊥DA，EH⊥BD，EP⊥AC，根据角平分线的性质得到EG=EH，根据
△EGA≌△EPA，得出∠ECB，就可以得到∠CED 的度数．
【答案与解析】
证明：作EG⊥DA 交DA 的延长线于G，再作EH⊥BD，EP⊥AC，垂足分别为H，P，则EG=EH
∵∠ADC=20°，AC=CD，
∴∠CAD=20°，
而∠BAC=80°，
∴∠GAE=180°﹣20°﹣80°=80°，
∴Rt△EGA≌Rt△EPA，
第7页 共8页
∴EG=EP
∴EP=EH，
∴∠ECB=∠ECA=
∠BCA=
×40°=20°
∴∠CED=∠BCE﹣∠BDE=20°﹣10°=10°
【总结升华】主要考查了角平分线的性质定理及逆定理、三角形全等的性质和判定；做题中两
次用到角平分线的知识是正确解答本题的关键．
举一反三：
【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三
条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）
A．1 处
B．2 处
C．3 处
D．4 处
【答案】D．
解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
第8页 共8页
