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《二次根式》全章复习与巩固（基础）知识讲解
责编：杜少波
【学习目标】
1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.
2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.
3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、二次根式的相关概念和性质
1.二次根式
形如
(
0)
a a
的式子叫做二次根式，如
1
3,
, 0.02, 0
2
等式子，都叫做二次根式.
要点诠释：二次根式
a 有意义的条件是
0
a
，即只有被开方数
0
a
时，式子
a 才是二次
根式，
a 才有意义.
2.二次根式的性质
（1）
；
（2）
；
（3）
.
要点诠释：
（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a
2
(
)
a
（
0
a
），
如
2
2
2
1
1
2
( 2) ;
(
) ;
(
)
3
3
x
x
（
0
x
）.
（2）
2
a 中a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，
2
a 一定有意义.
（3）化简
2
a 时，先将它化成a ，再根据绝对值的意义来进行化简.
（4）
2
a 与
2
(
)
a
的异同
不同点：
2
a 中a 可以取任何实数，而
2
(
)
a
中的a 必须取非负数；
2
a = a ，
2
(
)
a
=a （
0
a
）.
相同点：被开方数都是非负数，当a 取非负数时，
2
a =
2
(
)
a
.
3.最简二次根式
（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
（2）被开方数中不含有分母；
（3）分母中不含有根号.
满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式.如
2
2
2,
,3
,
ab
x
a
b
等都是最简二次
根式.
要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数
都小于根指数2.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，
再判断.如
2 与8 ，由于8 =2 2 ，
2 与8 显然是同类二次根式.
要点二、二次根式的运算
1.乘除法
（1）乘除法法则：
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
(
0,
0)
a
b
ab a
b
积的算术平方根化简公式：
(
0,
0)
ab
a
b a
b
二次根式的除法
=
(
0,
0)
a
a a
b
b
b
商的算术平方根化简公式：
(
0,
0)
a
a a
b
b
b
要点诠释：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如
a b c d
ac bd
.
（2）被开方数a、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如
( 4) ( 9)
4
9
.
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，
即合并同类二次根式.
要点诠释：
二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后
合并同类二次根式.如
2
3 2
5 2
(1 3
5) 2
2
.
【典型例题】
类型一、二次根式的概念与性质
1． 当________时，二次根式
3
x
在实数范围内有意义.
【答案】x ≥3.
【解析】根据二次根式的性质，必须
3
x
≥0 才有意义.
【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有
0
a
时
a 才是二次根式.
举一反三
【高清课堂：二次根式 高清ID 号：388065 关联的位置名称：填空题5】
【变式】①
2
4
2
x
x
成立的条件是 .
②
2
2
3
3
x
x
x
x
成立的条件是 .
【答案】① x ≤0；(
2
4
2
2
x
x
x
x
≤0.)
② 2≤
3
x
.(
2
0,3
0,
x
x
≥
2≤
3
x
)
2．当0≤x ＜1 时，化简
2
1
x
x
的结果是__________.
【思路点拨】由范围判断x、x－1 的符号，再根据利用二次根式的性质化简二次根式，即
2
a =
a ，同时联系绝对值的意义正确解答.
【答案】 1.
【解析】因为x ≥0，所以
2x = x ；又因为x <1,即x -1<0,所以
1
(
1)
1
x
x
x
，
所以
2
1
x
x
= x +1- x =1.
【总结升华】本题考查绝对值与二次根式的化简．
举一反三
【变式】
（x＞0，y＞0）
【答案】
解：原式=﹣
=﹣
，
∵x＞0，y＞0，
∴原式=﹣
=﹣3xy．
3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）.
A. 14 B.
48 C.
a
b D.
4
4
a
【答案】A.
【解析】选项B：
48 =4 3 ；选项C：有分母；选项D：
4
4
a
=2
1
a
，所以选A.
【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.
类型二、二次根式的运算
4．（2016 秋•普宁市期末）计算：（2﹣
）（2+
）+（2﹣
）2﹣
．
【思路点拨】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，计算即可得到结果．
【答案与解析】解：原式=4﹣5+4﹣4
+2﹣
=5﹣
．
【总结升华】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
举一反三
【变式】计算：
4
8
(
54
45
3
)
8
3
3
.
【答案】24 3
6 10
.
5.化简：
2010
2011
( 3
2)
( 3
2)
.
【思路点拨】由于（
3
2
）与(
3
2
)互为有理化因子，所以利用幂的运算法则使其尽可
能地结合在一些进行乘法运算.
【答案与解析】
解：
2010
2010
2010
=( 3
2)
( 3
2)
( 3
2)
( 3
2) ( 3
2)
( 3
2)
1 ( 3
2)
3
2.
原式
【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一
道综合运算题型.
6 已知
2
2
3
1,
1 2
x
x
x
x
求
的值.
【答案与解析】
解：
2
2
3
1,
1= 3
0,
= (
1)
1
3
1
3
3
3
1
=
3
3
x
x
x
x
x
x
x
原式
当
时，原式
【总结升华】化简求值时要注意x 的取值范围，如果未确定要注意分类讨论.
举一反三
【高清课堂:二次根式 高清ID 号：388065 关联的位置名称：计算技巧6-7】
【变式】已知a
b
=-3, ab =1,求
a
b
b
a
的值.
【答案】
解：∵a
b
=-3,ab =1，∴<0
a
, <0
b
，
1
1
+
=
=-(
+
)=-
=3
-
-
ab
ab
a b
b
a
b
a
ab
原式
.
