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《代数式》全章复习与巩固（提高）知识讲解
责编:杜少波
【学习目标】
1、进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示；
2、理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与现实生活
的密切联系；
3、会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式反映的规律；
4．理解并掌握单项式与多项式的相关概念；
5．理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并熟练运用整式的加减运算法则，进行整式
的加减运算、求值；
6．深刻体会本章体现的主要的数学思想----整体思想．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、代数式
如：16n ，2a+3b ，34 ，，
等式子，它们都是用运算符号(＋、－、×、÷、乘方、
开方)把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字
母也是代数式．
要点诠释：代数式的书写规范：
（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；
（2）除法运算一般以分数的形式表示；
（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；
（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形
式；
（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写．
要点二、整式的相关概念
1．单项式：由数与字母的乘积积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是
单项式．
要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．
（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．
2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．
要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．
（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
（3）多项式的次数是n 次，有m 个单项式，我们就把这个多项式称为n 次m 项式．
3. 多项式的降幂与升幂排列：
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这
个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做
把这个多项式按这个字母升幂排列．
要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置；
（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．
4．整式：单项式和多项式统称为整式．
要点三、整式的加减
1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是
同类项．
要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：
（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；
（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．
2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．
3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都
不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改
变．
4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前
面是“-”，括号内各项的符号都要改变．
5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连
接，然后去括号，合并同类项．
【典型例题】
类型一、代数式
1．某商场文具部的某种毛笔每支售价25 元，书法练习本每本售价5 元.该商场为促销
制定了如下两种优惠方式：第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本；第二种：按购买金额打
九折付款.八年级（5）班的小明想为本班书法兴趣小组购买这种毛笔10 支，书法练习本 x
（x ≥10）本.
(1)用代数式分别表示两种购买方式应支付的金额.
(2)若小明想为本班书法兴趣小组购买书法练习本30 本,试问小明应该选择哪一种优惠方
式才更省钱
【思路点拨】小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱，是由购买的练习本的数量来确定的，把
两种方式所应付的钱数，表示成练习本数量的代数式，进而比较代数式的值的大小．
【答案与解析】
解:设买练习本x,则得两种购买方法的代数式为:
(1) 代数式分别为:
25×10+5(x-10),
(25×10+5x) ×90%
（2）把x=30 分别代入两个代数式: 25×10+5(x-10) ＝25×10+5(30-10) ＝350（元）
(25×10+5x) ×90%＝(25×10+5×30) ×90% =360 （元）
所以选择第一种优惠方式．
【总结升华】本题这一类方案的选择问题是中考中经常出现的题目类型．
类型二、整式的相关概念
2．（2016 春•新泰市期中）下列说法正确的是（ ）
A．1﹣xy 是单项式
B．ab 没有系数
C．﹣5 是一次一项式 D．﹣a2b+ab﹣abc2是四次三项式
【思路点拨】根据多项式是几个单项式的和，数字因数是单项式的系数，字母指数和是单项式
的次数，多项式中次数最高的单项式的次数是多项式的次数，每个单项式是多项式的项，可
得答案．
【答案】D．
【解析】解：A、1﹣xy 是多项式，故A 错误；
B、ab 的系数是1，故B 错误；
C、﹣5 是单项式，故C 错误；
D、﹣a2b+ab﹣abc2是四次三项式，故D 正确；
故选：D．
【总结升华】本题考查了多项式，多项式中次数最高的项的次数是多项式的次数，每个单项式
是多项式的项．
举一反三：
【变式1】若单项式
与单项式
的和是单项式，那么
．
【答案】15
【变式2 】若多项式
是关于
的二次三项式，则
，
，这个二次三项式为 .
【答案】
类型三、整式的加减运算
3．若
是同类项，求出m, n 的值，并把这两个单项式相加.
【答案与解析】
解：因为
是同类项，
所以
解得
当
且
时，
.
【总结升华】本题考查了同类项：含有相同的字母，并且相同字母的指数相等；合并同类项就
是把系数相加减，字母部分不变．
举一反三：
【变式】合并同类项．
(1)
；
(2)
．
【答案】
(1)原式＝
(2)原式
．
【高清课堂：整式的加减单元复习388396 经典例题3】
4. 从一个多项式中减去
，由于误认为加上这个式子，得到
，试求正确答案.
【答案与解析】
解：设该多项式为A，依题意，
答：正确答案是
．
【总结升华】当整式是一个多项式，不是一个单项式时，应用括号把一个整式作为一个整体来
加减．
举一反三：
【变式1】已知A＝x2＋2y2－z2，B＝－4x2＋3y2＋2z2，且A＋B＋C＝0，则多项式C 为( )．
A．5x2－y2－z2 B．3x2－5y2－z2
C．3x2－y2－3z2 D．3x2－5y2＋z2
【答案】B
【变式2】先化简代数式
，然后选取一个使原式有意
义的a 的值代入求值．
【答案】
．
当
时，原式＝0-0-4＝-4．
【变式3】(1) (x＋y)2－10x－10y＋25＝(x＋y)2－10(______)＋25;
(2) (a－b＋c－d)(a＋b－c－d)＝[(a－d)＋(______)][(a－d)－(______)]．
【答案】（1）x＋y （2）－b＋c，－b＋c
类型四、化简求值
5. （1）直接化简代入
当
时，求代数式15a2－{－4a2＋[5a－8a2－(2a2－a)＋9a2]－3a｝的值．
（2）条件求值
已知(2a＋b＋3)2＋｜b－1｜＝0，求3a－3[2b－8＋(3a－2b－1)－a]＋1 的值．
（3）整体代入
(鄂州)已知
，求
的值．
【思路点拨】对于化简求值问题，要先看清属于哪个类型，然后再选择恰当的方法进行求
解.
【答案与解析】
解：（1）原式=15a2－[－4a2＋(5a－8a2－2a2+a＋9a2)－3a]
=15a2－[－4a2＋(6a－a2)－3a]
=15a2－(－4a2＋6a－a2－3a)
=15a2－(－5a2＋3a)
=15a2+5a2—3a=20a2—3a
当
时，原式=
=
=
（2）由(2a＋b＋3)2＋｜b－1｜＝0 可知：2a＋b＋3=0，b－1=0，解得a= -2，b=1.
3a－3[2b－8＋(3a－2b－1)－a]＋1
=3a－3(2b－8＋3a－2b－1－a)＋1
=3a－3(2a－9)＋1
=3a－6a+27＋1
=28—3a
由a= -2
则 原式=28—3a=28+6=34
（3）∵
，∴
．
∵
．
所以
的值为2010．
【总结升华】整体代入的一般做法是对代数式先进行化简，然后找到化简结果与已知条件之
间的联系．
举一反三：
【变式】（2014 秋•越秀区期末）先化简，再求值：
（1）（5x+y）﹣（3x+4y），其中x= ，y= ；
（2）（a+b）2+9（a+b）+15（a+b）2﹣（a+b），其中a+b= ．
【答案】
解：（1）原式=5x+y﹣3x﹣4y=2x﹣3y，
当x= ，y= 时，原式=1﹣2=﹣1；
（2）原式=16（a+b）2+8（a+b），
当a+b= 时，原式=1+2=3．
类型五、综合应用
6. 对于任意有理数x，比较多项式
与
的值的大小．
【答案与解析】
解：
∵
∴无论x 为何值，
＞
．
【总结升华】本题考查整式的加减，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同
类项的法则，这是各地中考的常考点．
举一反三：
【变式】如果关于x，y 的多项式
与
的差不含二次项，求
的值．
【答案】
解：原式＝
＝
由题意知，则
，
∴
．
∴
．
