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方程的意义（提高）知识讲解
【学习目标】
1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；
2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方
程的解；
3. 理解并掌握等式的两个基本性质.
【要点梳理】
要点一、方程的有关概念
1．定义：含有未知数的等式叫做方程.
要点诠释：
判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．
2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
要点诠释：
判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知
数的值；
②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否
则不是．
3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.
4．方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（或未知数）.
要点二、一元一次方程的有关概念
定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
要点诠释：
（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有
未知数．
（2）一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中a≠0，a,b 是已知数) .
（3）一元一次方程的最简形式是： ax＝b（其中a≠0，a,b 是已知数）.
要点三、等式的性质
1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.
2．等式的性质：
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：
如果
，那么
(c 为一个数或一个式子) .
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0 的数，结果仍相等.即：
如果
，那么
；如果
，那么
.
要点诠释：
（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；
(2) 等式性质1 中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不
一定成立，
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如x＝0 中，两边加上
得x＋
，这个等式不成立;
(3) 等式的性质2 中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．
【典型例题】
类型一、方程的概念
1．下列各式，哪些是等式？哪些是方程？
①
3a+4；②x+2y＝8；③5-3＝2；④
；⑤y＝10；⑥
；⑦3y2+y＝0；
⑧2a2-3a2；
⑨3a＜-2a．
【答案与解析】
解：等式有：②③④⑤⑥⑦；方程有：②④⑤⑥⑦．
【总结升华】方程是含有未知数的等式，方程和等式的关系是从属关系，且具有不可逆性，方
程一定是等式，但等式不一定是方程，区别在于是否含有未知数．
2．下列各方程后面括号里的数都是方程的解的是( )．
A．2x-1＝3 (2，-1) B．
(3，-3)
C. (x-1)(x-2)＝0 (1,2) D．2(y-2)-1＝5 (5，4)
【答案】C.
【解析】把方程后面括号里的数分别代入方程的左、右两边，使左边＝右边的是方程的解，若
左边≠右边的，则不是方程的解．
【总结升华】检验一个数是否为方程的解，只要把这个值分别代入方程的左边和右边：若代入
后使左边和右边的值相等，则这个数是方程的解；若代入后使方程左右两边的值不相等，则
这个数不是方程的解．
举一反三：
【变式】（2011 广东湛江）若
是关于
的方程
的解，则
的值为
__________.
【答案】-1．
类型二、一元一次方程的相关概念
3．已知下列方程：①
；②x＝0；③
；④x+y＝0；⑤
；
⑥0.2x＝4；⑦2x+1-3＝2(x-1)．其中一元一次方程的个数是( )．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】方程①中未知数x 的最高次数是2，所以不是一元一次方程；方程③中的分母含有未
知数x，所以它也不是；方程④中含有两个未知数，所以也不是一元一次方程；⑦经化简后
为-2＝-2，故它也不是一元一次方程；方程②⑤⑥满足一元一次方程的条件，所以是一元一
次方程．
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【总结升华】方程中的未知数叫做元，只含有一个未知数称为“一元”，“次”是指含有未知
数的项中次数最高项的次数，判断一个方程是不是一元一次方程，看它是否具备三个条件：
①只含有一个未知数；②经过整理未知数的最高次数是1；③含未知数的代数式必须是整式
（即整式方程）．
举一反三：
【变式】(1)已知关于x 的一元一次方程
，求得m＝________．
(2)已知方程(m-4)x+2＝2009 是关于x 的一元一次方程，则m 的取值范围是________．
(3)若
是关于x 的一元一次方程，则m 的值为( )
A．±2 B．-2 C．2 D．4
【答案】(1)
(2)m≠4 (3)B
类型三、等式的性质
4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪条性质，以及
怎样变形得到的．
(1)若4a＝8a-5，则4a+________＝8a．
(2)若
，则x＝________．
(3)
，则
＝________．
(4)ax+by＝-c，则ax＝-c________．
【答案与解析】
解： (1) 5 ； 根据等式性质1，等式两边同时加上5．
(2)
； 根据等式性质2，等式两边同时除以-6．
(3) 2 ； 根据等式性质l，等式两边都加上(1+3y) ．
(4) –by； 根据等式性质l，等式两边都加上-by．
【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另
一边也进行同样的变形．
举一反三：
【变式】下面方程变形中，错在哪里：
（1）由2+x=-4, 得x=-4+2.
（2）由9x=-4, 得
.
（3）由5=x-3, 得x=-3-5.
（4）由
，得3x-2=5-4x+1.
(5)方程2x=2y 两边都减去x+y，得2x-(x+y)=2y-(x+y), 即x-y=-(x-y).
方程 x-y=-(x-y)两边都除以x-y, 得1=-1.
(6)由
，得3(3-7x)=2(2x+1)+2x.
【答案】（1）不正确.错在数2 从方程的等号左边移到右边时没有变号.
（2）不正确，错在被除数与除数颠倒（或分子与分母颠倒了）.
（3）不正确，错在移项或等号两边的项对调时把符号弄错，正确的变形是：由5=x-3，得
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5+3=x, 即x=5+3.
（4）不正确，没有注意到分数
中的“分数线”也起着括号的作用，因此当方程两边的
各项都乘以5 时，+1 没有变号.
（5）不正确，错在第二步，方程两边都除以x-y，由等式性质2 要除以不为零的数.
（6）不正确，错在2x 没乘以公分母6.
类型四、等式或方程的应用
5．
（2011·河北模拟）观察下面的点阵图形(如图所示)和与之相对应的等式，探究其中的
规律：(1)请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式．
……
(2)通过猜想，写出与第n 个图形相对应的等式．
【答案与解析】
解：通过观察图像可得：图形呈放射状，四条线上每变化一次各增加一个点，第n 个图形每条
线上应该是n 个点；再观察对应的等式：等式的左右两边都是表示对应图形中点的个数，等
式的左边是从1 个点开始的，第2 个图形增加4 个点表示为4×1+1，第3 个图形又增加4 个
点，表示为4×2+1，…，第n 个图形共增加(n-1)个4 个点，表示为4(n-1)+1;等式的右边，把
第一个图形看作4 点重合为一个点，表示为4×1-3，第2 个图形增加4 个点，表示为4×2-3，
第3 个图形又增加4 个点，表示为4×3-3，…，第n 个图形看作n 个4 个点少3 个点，表示为
4n-3，所以有4(n-1)+1＝4n-3．
(1) ④4×3+1＝4×4-3 ⑤4×4+1＝4×5-3 (2)4(n-1)+1＝4n-3
【总结升华】设出未知量并用此未知量表示出题中的数量关系．
举一反三：
【变式】（2011 山东滨州）某商品原售价289 元,经过连续两次降价后售价为256 元,设平均
每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( )
A.
B.
C.289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=289
【答案】A
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