弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图--知识讲解（提高）_初高中资料库_初中资料库（转存避免链接过期失效）_初中数学

弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图--知识讲解（提高）
【学习目标】
1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长
和扇形面积
　的计算公式，并应用这些公式解决问题；
2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；
3. 能准确计算组合图形的面积.
【要点梳理】
要点一、弧长公式
　　半径为R 的圆中
　　360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
　　n°的圆心角所对的圆的弧长公式：
(弧是圆的一部分)
要点诠释：
　　(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的
，即
；
　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180 都不带单位，R 为弧所在圆的半径；
　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第
三个量.
要点二、扇形面积公式
1.扇形的定义 
　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式 
　　半径为R 的圆中
　　360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
　　n°的圆心角所对的扇形面积公式：
要点诠释：
　　(1) 对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1° 的扇形面积是圆面积的
，即
；
　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可
以求出第三个量.
　　(3)扇形面积公式
，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式
有点
类似，可类比记忆；
　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：
.
要点三、圆锥的侧面积和全面积
　　连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
　　圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
　　圆锥的侧面积
，
  第1页 共6页
圆锥的全面积
.
要点诠释：
　　扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展
开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
【典型例题】
类型一、弧长和扇形的有关计算
1. 如图所示，一纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC 的夹角为120°，BC 的长为20πcm，
那么AB 的长是多少?
【答案与解析】
 ∵  
180
n R
l


，
∴  
120
20
180
R





．
         解得  R＝30 cm．
         答：AB 的长为30cm．
【总结升华】由弧长公式
180
n R
l


知，已知l、n，可求R．
举一反三：
【变式】一个圆柱的侧面展开图是相邻边长分别为10 和16 的矩形，则该圆柱的底面圆半径是  
．
【答案】由圆柱的侧面展示图知：2πr=10 或2πr=16，解得
5
8 .
r



或
2.如图所示，矩形ABCD 中，AB＝1，AD＝3 ，以BC 的中点E 为圆心的MPN 与AD 相切于点P，则图
中阴影部分的面积是多少?
【答案与解析】  
     ∵  BC＝AD＝3 ，∴  
3
2
BE 
．
  第2页 共6页
     连接PE，∵  AD 切⊙E 于P 点，∴  PE⊥AD．
     ∵  ∠A＝∠B＝90°．
     ∴  四边形ABEP 为矩形，
     ∴  PE＝AB＝1．
     在Rt△BEM 中，
3
3
2
1
2
BE
ME 

，∠BEM＝30°．
同理∠CEN＝30°，∴  ∠MEN＝180°-30°×2＝120°．
∴  
2
2
120
1
360
360
3
n R
S








扇形
．
【总结升华】由MPN 与AD 相切，易求得扇形MEN 的半径，只要求出圆心角∠MEN 就可以利用扇形面积公
式求得扇形MEN 的面积．
举一反三：
【变式】若圆锥经过轴的截面是一个正三角形，则它的侧面积与底面积之比是（　　）．
A．3: 2
 B．3:1
    C．5:3 
    D．2:1
【答案】D；
【解析】设圆锥底面圆的半径为r，∴S 底=πr2，S 侧= •2r•2πr=2πr2，∴S 侧：S 底=2πr2：πr2=2：1．
类型二、圆锥面积的计算
3.  如图（1），从一个直径是2 的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90
的扇形．
（1）求这个扇形的面积（结果保留）．
（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说
明理由． 
（3）当⊙O 的半径
(
0)
R R 
为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
                                                     
【答案与解析】
（1）连接BC ，如图（2），由勾股定理求得：
  第3页 共6页
图
（1 ）  
 
A
B
C
O
①
②
③
A
B
C
O
①
②
③
E
F
2
AB
AC


 
2
1
360
2
n R
S



 
（2）连接AO 并延长，与弧BC 和
O

交于E
F
，
，
2
2
EF
AF
AE




 弧BC 的长：
2
180
2
n R
l



 ，          图（2）
2
2
2
r



  圆锥的底面直径为：
2
2
2
r 
 
2
2
2
2



，不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥． 
（3）（2）中的结论仍然成立.
由勾股定理求得：
2
AB
AC
R


 弧BC 的长：
2
180
2
n R
l
R




 
2
2
2
r
R



∴圆锥的底面直径为：
2
2
2
r
R

 
2
2
(2
2)
EF
AF
AE
R
R
R






2
2
2
2



且
0
R 
2
(2
2)
2
R
R



 
即无论半径R 为何值，
2
EF
r

 
∴不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．
【总结升华】
（1）连接BC、OA，由于∠BAC=90°，根据圆周角定理知BC 为⊙O 的直径，根据等腰三角形的性
质即可求出AB、AC 的长，即扇形的半径长，已知了扇形的圆心角为90°，根据扇形的面积公
式即可求出扇形的面积．
  第4页 共6页
（2）过A 作⊙O 的直径AF，求出以FE 为直径的圆的周长，若此圆的周长＜弧BC 的长，则不能
围成圆锥，反之则能．
类型三、组合图形面积的计算
4. 在栽植农作物时，一个很重要的问题是“合理密植”，如图是栽植一种蔬菜时的两种方法，A，B，
C，D 四株顺次连接成为一个菱形，且AB=BD；A′，B′，C′，D′四株连接成一个正方形，这两种图形的面积
为四株作物所占的面积．两行作物间的距离为行距，一行中相邻两株作物的距离为株距．设这种蔬菜充分
生长后，每株在地面上的影子近似成一个圆面（相邻两圆如图相切），其中阴影部分的面积表示生长后空
隙地面积，在株距都为a，其他客观因素也相同的条件下，请从栽植的行距、蔬菜所占的面积，充分生长后
空隙地面积三个方面比较两种栽植方法，哪种方法能更充分地利用土地？
       
【答案与解析】
       
        连接AC 交BD 于点O，在菱形ABCD 中，有AB=AD，AC⊥BD，BO= BD，
∵AB=BD=a，
∴BO=OD= a，
  第5页 共6页
在Rt△AOD 中，AO=
=
a，
∴S 菱形=2× ×BD×AO=
a2，
S 正方形A′B′C′D′=a2．
设方法（1）中的空隙地面积为S1，方法（2）中的空隙地面积为S2，
则S1=S 菱形ABCD-S⊙A=
a2- a2，S2=S 正方形A′B′C′D′-S⊙A′=a2- a2，
∴S1＜S2，
∴栽植方法（1）比栽植方法（2）更能充分利用土地．
【总结升华】此题综合性较强，考查了菱形、正方形的性质及面积计算，以及扇形面积的计算．先求菱形和
正方形的面积，再求阴影部分的面积，比较即可．
  第6页 共6页