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24．1.2 垂直于弦的直径
1．下列命题错误的是( B )
A．平分弧的直径平分这条弧所对的弦
B．平分弦的弦垂直于这条弦
C．垂直于弦的直径平分这条弦
D．弦的中垂线经过圆心
2．如图24－1－13，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，OP＝3，则⊙O 的半
径为( C )
图24－1－13
A．10 B．8 C．5 D．3
3．如图24－1－14，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是( D )
图24－1－14
A．CM＝DM B.CB＝DB
C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MD
【解析】∵AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
∴M 为CD 的中点，即CM＝DM，选项A 成立；
B 为CD的中点，即CB＝DB，选项B 成立；
在△ACM 和△ADM 中，∵
∴△ACM≌△ADM(SAS)，∴∠ACD＝∠ADC，选项C 成立；而OM 与MD 不一定相等，选项
D 不成立．
4．如图24－1－15，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB 于C.若AB＝2，OC＝1，则半径OB 的长为
__2__．
图24－1－15
【解析】 ∵AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB 于C，AB＝2，∴BC＝AB＝.∵OC＝1，∴在Rt△OBC 中，
OB＝＝＝2.
5．如图24－1－16，在⊙O 中，直径AB⊥弦CD 于点M，AM＝18，BM＝8，则CD 的长为
__24__．
【解析】 如图，连接OD，∵AM＝18，BM＝8，
∴OD＝＝＝13，∴OM＝13－8＝5.
在Rt△ODM 中，DM＝＝＝12，
∵直径AB 丄弦CD，∴CD＝2DM＝2×12＝24.
图24－1－16
第5 题答图
6．如图24－1－17，在半径为13 的⊙O 中，OC 垂直弦AB 于点D，交⊙O 于点C，AB＝24，则
CD 的长是__8__．
图24－1－17
第6 题答图
【解析】 如图，连接OA，
∵OC⊥AB，AB＝24，∴AD＝AB＝12.
在Rt△AOD 中，∵OA＝13，AD＝12，∴OD＝＝＝5，∴CD＝OC－OD＝13－5＝8.
7．如图24－1－18，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与A，B 重合)，过点O
作OC⊥AP 于点C，OD⊥PB 于点D，则CD 的长为__4__.
图24－1－18
【解析】 ∵OC⊥AP，OD⊥PB，∴由垂径定理得AC＝PC，PD＝BD，∴CD 是△APB 的中位线，
∴CD＝AB＝×8＝4.
8．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离
零件表面的距离为8 mm，如图24－1－19 所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为__8__mm.
图24－1－19
第8 题答图
【解析】 如图，连接OA，过点O 作OD⊥AB 于点D，则AB＝2AD.
∵钢珠的直径是10 mm，∴钢珠的半径是5 mm.
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，
∴OD＝3 mm.
在Rt△AOD 中，∵AD＝＝＝4(mm)，∴AB＝2AD＝2×4＝8(mm)．
9．如图24－1－20 所示，AB 是⊙O 的弦(非直径)，C，D 是AB 上的两点，并且AC＝BD.求证：
OC＝OD.
图24－1－20
第9 题答图
证明：如图，过O 作OE⊥AB 于E，则AE＝BE，
又∵AC＝BD，∴CE＝DE，
∴OE 是CD 的中垂线，∴OC＝OD.
10．绍兴是著名的桥乡，如图24－1－21，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD 为8 m，桥拱半径
OC 为5 m，则水面宽AB 为( D )
图24－1－21
A．4 m B．5 m
C．6 m D．8 m
11．如图24－1－22，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB，垂足为H，且CD＝2，BD＝，则AB 的长为
( B )
图24－1－22
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】 连接OD.∵直径AB⊥CD 于H，∴DH＝CD＝×2＝.在Rt△BDH 中，BH＝＝＝1.设⊙O
的半径为R，则在Rt△ODH 中，OH2＋DH2＝OD2，∴(R－1)2＋()2＝R2，∴2R＝3，故选B.
12．[2013·吉林]如图24－1－23，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB 于点C，连接OA，OB.点P 是半径
OB 上任意一点，连接AP.若OA＝5 cm，OC＝3 cm，则AP 的长度可能是__答案不唯一
，
5 ≤
AP
≤
8 __cm(写出一个符合条件的数值即可)．
图24－1－23
13．如图24－1－24，两个圆都以点O 为圆心．求证：AC＝BD.
图24－1－24
第13 题答图
证明：过点O 作OE⊥AB 于E，在小⊙O 中，
∵OE⊥AB，∴EC＝ED，
在大⊙O 中，
∵OE⊥AB，
∴EA＝EB，
∴AC＝BD.
14．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为了更换管道，需要确定管道圆形截
面的半径，图24－1－25 是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；
(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16 cm，水面最深地方的高度为4 cm，求这个圆
形截面的半径．
图24－1－25
第14 题答图
解：(1)作出图形，如图所示；
(2)如图，过O 作OC⊥AB 于D，交弧AB 于C，连接OB，∵OC⊥AB，∴BD＝AB＝×16＝8(cm)．
由题意可知CD＝4 cm.
设这个圆形截面的半径为x cm，则OD＝(x－4)cm.
在Rt△BOD 中，由勾股定理得OD2＋BD2＝OB2，
即(x－4)2＋82＝x2，解得x＝10，
∴这个圆形截面的半径为10 cm.
15．如图24－1－26，射线PG 平分∠EPF，O 为射线PG 上一点，以O 为圆心，10 为半径作
⊙O，分别与∠EPF 两边相交于A，B 和C，D，连接OA，此时有OA∥PE.
(1)求证：AP＝AO；
(2)若弦AB＝10，求点O 到直线PF 的距离；
(3)若以图中已标明的点(即P，A，B，C，D，O)构造四边形，则能构成菱形的四个点为
__________________．
图24－1－26
第15 题答图
解：(1)∵PG 平分∠EPF，∴∠DPO＝∠BPO.
∵OA∥PE，∴∠DPO＝∠POA，∴∠BPO＝∠POA，
∴AP＝AO.
(2)如图，过点O 作OH⊥AB 于点H，则AH＝HB，
∵AB＝10，∴AH＝5∵OA＝10，
∴OH＝＝＝5.
(3)P，A，O，C A，B，D，C 或P，A，O，D 或P，C，O，B
