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第二十七章 相似
27.2.2 相似三角形的性质
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如果△ABC∽△DEF，A、B 分别对应D、E，且AB：DE=1：2，那么下列等式一定成立的是
A．BC：DE=1：2
B．△ABC 的面积：△DEF 的面积=1：2
C．∠A 的度数：∠D 的度数=1：2
D．△ABC 的周长：△DEF 的周长=1：2
【答案】D
2．如图，AB、CD、EF 都与BD 垂直，且AB=1，CD=3，那么EF 的长是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵AB、CD、EF 都与BD 垂直，∴AB∥CD∥EF，
∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，
∴
，
，∴
=1．
∵AB=1，CD=3，∴
=1，∴EF=
．故选C．
3．已知：如图，在
ABCD 中，AE：EB=1：2，则FE：FC=
A．1：2
B．2：3
C．3：4
D．3：2
【答案】B
【解析】在
ABCD 中，AB=CD，AB∥CD，∵BE=2AE，∴BE=
AB=
CD，
∵AB∥CD，∴
=
=
，故选B．
4．已知：如图，E 是
ABCD 的边AD 上的一点，且
，CE 交BD 于点F，BF=15cm，则DF 的长为
A．10cm
B．5cm
C．6cm
D．9cm
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边AD 上，∴DE∥BC，且AD=BC，
∴∠DEF=∠BCF；∠EDF=∠CBF，∴△EDF∽△CBF，∴
，
∵
，∴设AE=3k，DE=2k，则AD=BC=5k，
，
∵BF=15cm，∴DF=
═6cm．故选C．
5．已知△ABC∽△DEF，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，则△DEF 与△ABC 的面积之比为
A．9：1
B．1：9
C．3：1
D．1：3
【答案】B
【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，∴△ABC 与△DEF 的相似比为3，
∴△DEF 与△ABC 的相似比为1：3，∴△DEF 与△ABC 的面积之比为1：9，故选B．
6．如图，△ABC∽△AB'C'，∠A=35°，∠B=72°，则∠AC'B'的度数为
A．63°
B．72°
C．73°
D．83°
【答案】C
【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=35°，∠B=72°，∴∠C=180°–35°–72°=73°，
∵△ABC∽△AB'C'，∴∠AC′B′=∠C=73°，故选C．
7．如图，△ABC 中，E 为AB 中点，AB=6，AC=4.5，∠ADE=∠B，则CD=
A．
B．1
C．
D．
【答案】C
【解析】∵E 为AB 中点，∴AE=
AB，∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，
∴
，∴
AB2=AD•AC，∴AD=4，∴CD=AC–AD=0.5，故选C．
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
8．两个三角形相似，相似比是
，如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是__________．
【答案】36
【解析】∵两个三角形相似，相似比是
，∴两个三角形的面积比是
，
∵小三角形的面积是9，∴大三角形的面积是36，故答案为：36．
9．矩形ABCD 中，AB=6，BC=8．点P 在矩形ABCD 的内部，点E 在边BC 上，满足△PBE∽△DBC，若△APD
是等腰三角形，则PE 的长为__________．
【答案】
或3
10．如图，在△ABC 纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P 是AC 上一点，过点P 沿直线剪下一个与△ABC 相似的小
三角形纸板，如果有4 种不同的剪法，那么AP 长的取值范围是__________．
【答案】3≤AP<4
【解析】如图所示，过P 作PD∥AB 交BC 于D 或PE∥BC 交AB 于E，
则△PCD∽△ACB 或△APE∽△ACB，此时0<AP<4；
如图所示，过P 作∠APF=∠B 交AB 于F，则△APF∽△ABC，
此时0<AP≤4；
如图所示，过P 作∠CPG=∠CBA 交BC 于G，则△CPG∽△CBA，
此时，△CPG∽△CBA，
当点G 与点B 重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，
∴CP=1，AP=3，
∴此时，3≤AP<4；
综上所述，AP 长的取值范围是3≤AP<4．
故答案为：3≤AP<4．
11．如图，点A、B、C、D 的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），且△CDE 与△ABC 相似，则点E 的坐标
是__________．
【答案】（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．
【解析】在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．
①当点E 的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；
②当点E 的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC；
③当点E 的坐标为（6，2）时，∠ECD=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；
同理，当点E 的坐标为（4，2）、（4，5）、（4，0），
故答案为：（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12．求证：相似三角形面积的比等于相似比的平方．（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明）
【解析】已知：如图，已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C 分别与A1、B1、C1对应，△ABC 和△A1B1C1的相
似比为k．
求证：
=k2；
证明：作AD⊥BC 于D，A1D1⊥B1C1于D1，
∵△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C 分别与A1、B1、C1对应，
∴∠B=∠B1，
∵AD、A1D1分别是△ABC，△A1B1C1的高线，
∴∠BDA=∠B1D1A1，∴△ABD∽△A1B1D1，∴
=
=k，
∴
=
=k2．
13．如图所示，Rt△ABC∽Rt△DFE，CM、EN 分别是斜边AB、DF 上的中线，已知AC=9cm，CB=12cm，
DE=3cm．学科=网
（1）求CM 和EN 的长；
（2）你发现
的值与相似比有什么关系？得到什么结论？
【解析】（1）在Rt△ABC 中，AB=
=
=15，
∵CM 是斜边AB 的中线，
∴CM=
AB=7.5，
∵Rt△ABC∽Rt△DFE，
∴
，即
，
∴DF=5，
∵EN 为斜边DF 上的中线，
∴EN=
=2.5；
（2）∵
，相似比为
，
∴相似三角形对应中线的比等于相似比．
14．如图，点C、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且△ACP∽△PDB．
（1）求∠APB 的大小．
（2）说明线段AC、CD、BD 之间的数量关系．
15．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分
割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这
条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC 中，∠A=48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且AD=CD，则∠ACB=__________°．
（2）如图2，在△ABC 中，AC=2，BC=
，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰
三角形，求完美分割线CD 的长．
【解析】（1）当AD=CD 时，如图，∠ACD=∠A=48°，
∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．
（2）由已知得AC=AD=2，
∵△BCD∽△BAC，∴
=
，
设BD=x，∴（
）2=x（x+2），
∵x＞0，∴x=
–1，
∵△BCD∽△BAC，∴
=
，
∴CD=
×2=
–
．
故答案为：96．
